25
El exponente de Hurst en las Finanzas **************** Chaos and order in the capital markets : a new view of cycle Peters, Edgar E., Wiley, 1996. Páginas 61 a la 74 y de la 83 a la 98.
El exponente de Hurst en las Finanzas
****************
Chaos and order in the capital markets : a new view of cycle Peters, Edgar E., Wiley, 1996.
Páginas 61 a la 74 y de la 83 a la 98.
A lo largo del curso hemos desarrollado varias técnicas estadísticas dedicadas a verificar y/o estimar el nivel de aleatoriedad de los precios en los mercados de valores. La hipótesis admitida casi de manera ubícua es que las diferencias sucesivas de precios son independientes e identicamente distribuidas.
Cuando esta hipótesis deja de cumplirse todos los resultados paramétricos dejan de ser ciertos. Por tanto resultan de gran importancia los procedimientos de estudio de las series temporales que no impliquen ninguna hipótesis acerca de la distribución de los valores de las mismas.
H. E. Hurst (1900-1978) era un ingeniero hidraúlico británico que trabajó durante muchos años en Egipto al servicio del gobierno inglés, construyendo una represa en el rio Nilo.
H. E. Hurst, “The long-term storage capacity of reservoir”
Transactions of the American Society of Civil Engineers, 116, 1951.
En este trabajo Hurst desarrolló una metodología no paramétrica para el estudio de series de tiempo que ha encontrado aplicaciones en muchos campos.
A. Einstein, “On the movement of particles suspended in a stationary liquid demanded by molecular-kinetic theory of heat”, Annalen der Physik, 17, 1905, pp. 549-560.
Hurst poseía datos de las crecidas del Nilo durante 847 años (desde 622 D.C. Hasta el 1469 D.C.). Al observar el comportamiento de la serie temporal de las crecidas, observó que los diferentes valores no eran aleatorios. Más precisamente, notó que valores grandes eran seguidos con frecuencia por valores grandes. De manera similar años de sequía eran seguidos de años de sequía.
Hurst conocía el trabajo de Einstein sobre el movimiento browniano:
En el trabajo de Einstein básicamente se demostraba que el rango recorrido por una partícula en movimiento browniano debía de cumplir la siguiente relación:
R
5.0ttR Δ=Δ∝Sin embargo, en el movimiento browniano, las posiciones sucesivas son independientes entre sí (son una caminata aleatoria) y Hurst observaba cierta correlación entre valores sucesivos. Por tanto postuló una relación del tipo:
HtR Δ∝Nótese que aún no hemos definido rigurosamente a R.
El 29 de Marzo de 1900 Louis Jean-Baptiste Alphonse Bachelier, nacido en Le Havre, el 11 de Marzo de 1870, defendió su tesis de doctorado en Matemáticas en la Facultad de Ciencias de la Academia de París. El título de esta tesis fue muy elocuente: “La Teoría de la Especulación”. El director del trabajo de Bachelier fue Henri Poincaré.
Bachelier obtuvo la ecuación que caracteriza al movimiento browniano 5 años antes que A. Einstein. L. Bachelier, “Théorie de la Speculation”, Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure, pp. 21-86, 1900. A. Einstein, “On the movement of particles suspended in a stationary liquid demanded by molecular-kinetic theory of heat”, Annalen der Physik, 17, 1905, pp. 549-560.
El pecado original
Simulación del movimiento browniano
Serie de tiempo de los precios
Hipótesis de la caminata aleatoria
Los precios siguen una caminata aleatoria, es decir, las diferencias consecutivas distribuyen normal y son independientes entre sí. 1. En primer lugar, Bachelier debió calcular sus distribuciones
empíricas manualmente, haciendo uso de datos diarios, sin el auxilio de una computadora. Por tanto, habiendo observado una curva acampanada, con colas que caían rápidamente, resulta entendible su afirmación de que las variaciones en los precios seguían una distribución normal.
F. Jovanovic, Ph. Le Gal, “Does God practice a random Walk? The financial physics of a 19th century forerunner, J. Regnault”, European Journal of the History of Economic Thought, 8, 2001.
2. En 1863, el especulador francés J. Regnault había observado que mientras más tiempo uno conservara un activo financiero, mayores eran las ganancias o pérdidas que se podían tener a partir de las variaciones de su precio. Esta observación empírica podría ser explicada por:
J. Regnault, “Calcul des chances et philosophie de la Bourse”, Mallet-Bachelier, París, 1863, pp. 61-62.
H.-J. Girlich, “Bachelier’s Predecessors”, 2nd World Congress of the Bachelier Finance Society, Creta, 2002. En la página 2, dice textualmente: “Regnault’s book...contains an abundance of ideas for modeling the price behavior of financial markets. He empirically tested the law: the deviation of the prices increase with the square root of time, evaluating the mean value of the French 3% bond”.
tΔ∝σ
Construcción del Exponente de Hurst
Descríbamos rigurosamente la construcción de Hurst. Sea:
Nppp ,,, 21 …
Una serie de tiempo de precios o rendimientos. Dividamos la serie en partes iguales, es decir: . En cada uno de estos segmentos de la serie, se realizan los siguientes cálculos:
a Nan =
{ } akpEm nttk !! 1,1 == =
( )∑=
−=T
tktkT mpY
1,
( ) ( )kTTkTTk YYR ,, minmax −=
Dividamos ahora por la desviación standard en cada uno de los períodos:
kR
k
k
k SR
SR =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
Denotemos por último:
akkn SRE
SR
!1=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
Hurst postuló que: H
n
AnSR =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
Por lo tanto, si hacemos una regresión logarítmica:
[ ] [ ]nHASR
n
lnlnln +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
Entonces la pendiente de esta regresión será el estimador del exponente de Hurst de la serie.
Ventajas de este método
A- No depende de la distribución de los datos.
B- En el caso de caminata aleatoria la reconoce.
0 200 400 600 800 1000 12003790
3795
3800
3805
3810
3815
a=5
n=200
¿Qué nos dice realmente el exponente de Hurst?
Si 5.00 << HEl rango movimiento de los precios es menor que el que tendría una caminata aleatoria. A este fenómeno se le llama mean reversing.
Si 5.0=HDe acuerdo al trabajo de Einstein sería una caminata aleatoria.
Si 15.0 ≤< HEl rango de movimiento de los precios es mayor que una caminata aleatoria. A este fenómeno se le llama persistente.
El exponente de Hurst fue introducido por primera vez en estudios económicos por B. B. Mandelbrot:
B. B. Mandelbrot, “Statistical methodology for nonperiodic cycles: from covariance to R/S analysis”, Annals of Economic and Social Measurement, 1, 259-290, 1972.
Más adelante, han aparecido varios refinamientos del mismo. En particular, pasaremos a continuación a estudiar uno propuesto por A. Lo.
El problema fundamental es, ¿cómo distinguir entre las influencias de las correlaciones de corto alcance y las influencias de las correlaciones de largo alcance?
A. Lo propone construir un rango standarizado no por la desviación standard usual, sino por la siguiente cantidad:
∑=
∧∧∧+=
q
jjjpn qq
1
22
)(2)( γωσσ
Donde:
2
p
∧σ
Es la varianza de los precios en el período correpondiente.
j
∧γ Es el valor de la función de autocorrelación
con el lag j.
11)(
+−=qjqjω nq <
Es decir, A. Lo propone construir:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛∧
n
R
σen vez de ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛SR
A. W. Lo, “Long-term memory in stock market prices”
Econometrica, 59, 1279-1313, 1991.
Todo el problema es ahora la elección del parámetro .
Existen varias propuestas.
q
4 nq ∝P. Phillips, “Time series regression with a unit root”
Econometrica, 55, 277-301, 1987.
32
22
2312
23
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
∝γγNq
A. W. Lo, “Long-term memory in stock market prices”
Econometrica, 59, 1279-1313, 1991.
6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 116
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
y = 0.99*x - 0.84
ln(R/S) ajuste
IPC 1999
6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 116
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
y = 0.99*x - 0.84
ln(R/S) ajuste
IPC 2000
6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.56
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
y = 1*x - 0.91
ln(R/S) ajuste
IPC 2001
6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 116
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
y = 0.98*x - 0.76
ln(R/S) ajuste
IPC 2002
6 7 8 9 10 11 126
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
10.5
11
y = 0.99*x - 0.87
ln(R/S) ajuste
IPC 1999-2002
FIN
