Aljabar LinearAljabar Linear
Pertemuan 3Pertemuan 3
Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)
Fika Hastarita R, STFika Hastarita R, ST
Ahmad Sahru R, S.KomAhmad Sahru R, S.Kom
PembahasanPembahasan
Perkalian Cross (Cross Product)Perkalian Cross (Cross Product)- Model Model cross productcross product- Sifat Sifat cross productcross product
Scalar Triple ProductScalar Triple Product - Model - Model Scalar Triple ProductScalar Triple Product
- - Representasi Geometrik Representasi Geometrik Scalar Triple Scalar Triple ProductProduct
PendahuluanPendahuluan
Selain dot product ada fungsi perkalian product lain Selain dot product ada fungsi perkalian product lain dalam vektor yaitu cross product yang menghasilkan dalam vektor yaitu cross product yang menghasilkan suatu vektor , dan scalar triple product untuk suatu vektor , dan scalar triple product untuk perkalian tiga buah vektor yang menghasilkan nilai perkalian tiga buah vektor yang menghasilkan nilai scalarscalar
Tiap model perkalian vektor memiliki tujuan yang Tiap model perkalian vektor memiliki tujuan yang berbeda-beda, tergantung kebutuhanberbeda-beda, tergantung kebutuhan
Dan tiap perkalian vektor dapat digunakan oleh Dan tiap perkalian vektor dapat digunakan oleh vektor 2 dimensi maupun 3 dimensivektor 2 dimensi maupun 3 dimensi
Perkalian CrossPerkalian Cross
((CROSS PRODUCTCROSS PRODUCT))
Pengertian : ……Pengertian : ……
Cross product dari 2 buah vektor adala suatu vektor Cross product dari 2 buah vektor adala suatu vektor baru yang besarnya sama dengan luas jajaran genjang baru yang besarnya sama dengan luas jajaran genjang yang diapit oleh kedua vektor tersebut, arahnya tegak yang diapit oleh kedua vektor tersebut, arahnya tegak lurus bidang yang dibentuk oleh kedua vektorlurus bidang yang dibentuk oleh kedua vektor
Hasilkali titik dua buah vektor menghasilkan skalar, sedangkan hasilkali silang atau cross product antara dua buah vektor menghasilkan sebuah vektor yang tegaklurus pada kedua vektor tersebut. Perkalian silang antara dua buah vektor hanya berlaku untuk vektor-vektor di ruang.
KegunaanKegunaan
Secara geometris, hasil perkalian silang antara dua buah vektor merupakan luas dari bangun segiempat yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Sifat ini dapat diturunkan dari persamaan lagrange.
Untuk itu, kita dapat menghitung luas bangun segi banyak yang terletak di ruang , dengan menggunakan perkalian silang antara dua vektor.
Visualisasi Cross ProductVisualisasi Cross Product
Sifat – sifat Cross ProductSifat – sifat Cross Product
Rumus UmumRumus Umumv = a x b, dimana |v| = |a| |b| sin α
v = 0, jika α = 0 atau salah satu dari a dan b sama dengan nol
Rumus KomponenRumus KomponenJika diketahui 2 buah vektor :Jika diketahui 2 buah vektor :aa = [a1,a2,a3] dan = [a1,a2,a3] dan b b = [b1,b2,b3], = [b1,b2,b3], maka persilangan antar keduanya maka persilangan antar keduanya v v = = a a x x b, b, menghasilkanmenghasilkanv v = [v1,v2,v3] dimana:= [v1,v2,v3] dimana:v1=a2.b3 - a3.b2v1=a2.b3 - a3.b2v2=a3.b1 – a1.b3v2=a3.b1 – a1.b3 v3 = a1b2 – a2.b1v3 = a1b2 – a2.b1
Formulasi LainFormulasi Lain
Dalam formulasi yang lain, hasil kal silang dapat Dalam formulasi yang lain, hasil kal silang dapat diformulasikan dengan formulasi berikut:diformulasikan dengan formulasi berikut:
Contoh soalContoh soal
Diketahui a = [4,0,-1] dan b = [-2,1,3] dengan Diketahui a = [4,0,-1] dan b = [-2,1,3] dengan menggunakan koordinat tangan kanan, menggunakan koordinat tangan kanan,
hitunglah v = a x b !hitunglah v = a x b !
Jawab:Jawab:
Contoh soal 2:Contoh soal 2:
Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik sudut A ( 2, -3, 1 ), B ( -1,4,-1 ) dan C (2,0,3 ). Hitung luas segitiga tersebut.
Jawab :
Misal u dan v berturut-turut merupakan vektor posisi dari ruas garis AB dan AC.
SCALAR TRIPLESCALAR TRIPLEPRODUCTPRODUCT
Scalar Triple ProductScalar Triple Product
shg pertama, brsmnrt 3 orde determinan ekspansimrpk Ini
,,vac)(b a
] v, v,[v vcbandaikan c)(b a c)b(a
sebagaiandidefinisk)(ditulis
],,[],,,[,],,[
vektor tigadariproduct tripleScalar
21
213
13
132
32
321
332211
321
321321321
cc
bba
cc
bba
cc
bba
vavava
cba
ccccbbbbaaaa
321
321
321
c)(b ac)b(a
ccc
bbb
bbb
Scalar Triple ProductScalar Triple ProductGeometric representationGeometric representation
a,b,c vektora,b,c vektor ββ sudut antara (bxc) dan sudut antara (bxc) dan
aa h tinggi parallelogramh tinggi parallelogram
b
||luasmempunyaicdan b sisi dgalasgenjangjajaran
cos||
cos|||||)(|
)(
cbarea
hheighta
cbacba
cbaBesar
c
b x c
a
β h
Sifat Hasil Kali Triple ScalarSifat Hasil Kali Triple Scalar
Hasil Kali LainnyaHasil Kali Lainnya
Latihan (1)Latihan (1)
1. Diketahui a = (2,1,-3) , b = (3,1,1), c = (0,2,-2) . Tentukan ( bila terdefinisi /mungkin ) :a. a x (b - 2 c) c. a x b x cb. a·b x c
2. Carilah sebuah vektor yang tegak lurus terhadap u dan v bilaa. u = (-1,2,-3) dan v = (0,2,4)b. u = (4,-2,1) dan v = (0,2,-1) .
3. Hitung luas segitiga ABC bila diketahui titik-titik sudutnya.a. A ( 1,2,3 ), B ( -1,2,-3 ) dan C ( 0,3,1 )b. A ( 0,4,-3 ) , B ( -2,3,0 ) dan C ( 4,1,1 )
SummarySummary
Cross Product antara 2 vektor menghasilkan nilai Cross Product antara 2 vektor menghasilkan nilai vektor yang arah hasilnya sesuai dengan kaidah vektor yang arah hasilnya sesuai dengan kaidah tangan kanantangan kanan
TugasTugas
1. Diketahui u = (4,-2,1) , v = (0,2,-1) dan w = (3,0,-2). Tentukan vektor proyeksi dan normnya bila vektor u diproyeksikan secara orthogonal terhadap sebuah vektor yang tegaklurus terhadap vektor v dan w.
2. Diketahui segitiga ABC , A ( 1,2,3 ) , B( -1,2,-3 ) dan C( 1,1,1 ) .a. Hitung luas ABCb.Tentukan panjang proyeksi dari sisi AB pada sisi AC.c. Hitung besar sudut ACB.
Daftar PustakaDaftar Pustaka
Advanced Engineering Mathematic, chapter 8Advanced Engineering Mathematic, chapter 8
Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1 Edisi Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1 Edisi
7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi
7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta
Noor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar LinearNoor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar Linear
