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EQUILIBRIO Henia Balter 2011 Curso Básico de Metodología de los Radioisótopos CIN – Facultad de Ciencias
EQUILIBRIO
Henia Balter
2011
Curso Básico de Metodología de los Radioisótopos
CIN – Facultad de Ciencias
A B CTA
T
Decaimiento consecutivo
A: Radionucleido Padre
B: Radionicleido Hijo
C: Nucleido Estable
l: Constante de decaimiento
T1/2 = ln2/l
lA lB
Actividad
AA = - dNA = lANA Actividad del padre
dt
N = Numero de átomos
Resolución de la ecuación diferencial
NA = NAo e –lAt
AB = - dNB = lANA – lBNB Actividad del hijo
dt
Actividad del hijo
AB = - dNB = lANA – lBNB
dt
Cuando NB = 0 dNB ≈ lANA
dt
Cuando NB es infinitesimal dNB / dt :
1o toma valores positivos decrecientes
2o se iguala a cero
3o Toma valores negativos
dNB = lANA – lBNB
dt
Reordenando dNB + lBNB - lANA = 0 (1)
dt
Si para t = 0 NA = Nao entonces
NA = NAo e –lAt
Sustituyendo en (1) tenemos:
dNB + lBNB - lA NAo e –lA
t = 0
dt
dNB + lBNB - lA NAo e –lAt
= 0
dt
Solución de la ecuación diferencial
NB = NAo lA (e –lAt - e –lBt ) + NB
o e –lt
lB – lA
Si a t=0 NBo = 0
NB = NAo lA (e –lAt - e –lBt ) ECUACION GENERAL
lB – lA
Dado que A = lN N = A
l
Sustituyendo obtenemos
AB = AAo l (e –lAt - e –lBt )
lB – lA
Además l = ln2 T Sustituyendo nuevamente obtenemos
AB = AA
o TA (e –ln2 . t/TA - e –ln2 . t/TB )
TA – TB
Actividad total en el sistema
Atotal = AA + AB
Actividad del hijo después de separarse del sistema
AB = ABo e – l t
Casos
1. TA < TB No se llega al equilibrio
Ejemplo 131Te 131I 131Xe 1.25 d 8.06 d
2. TA > TB Equilibrio transitorio
Ejemplo 99Mo 99mTc 99Tc 66 h 6 h
3. TA >> TB Equilibrio secular
Ejemplo 68Ge 68Ga 68Zn 280 d 1.13 h
TA < TB
En este caso no puede alcanzarse un equilibrio entre el padre y el hijo.
La relación de actividades de B a A se incrementa a medida que transcurre el
tiempo, llega a un máximo y después comienza a disminuir
Ver programa
TA > TB
Partimos de NB = 0 para t=0, al transcurrir t :
1. NB crece regida por TB
2. NB llega a un maximo
3. NB decrece regida por TA
TA > TB
Consideremos la ecuación general NB = NA
o lA (e –lAt - e –lBt ) lB – lA
Cuando t>> TB e –lBt 0 Entonces NB = NA
o lA e –lAt lB – lA Como NA = NA
o e –lAt
Tenemos NB = lA . NA
lB – lA O lo que es igual AB = TA . AA
TA–TB
Equilibrio secular
Equilibrio Transitorio
Equilibrio Secular TA >100 TB
TA >> TB
TA-TB tiende a TA
entonces AB ≈ AA al llegar al equilibrio
Para cualquier tiempo dado:
AB = AAo (e –lAt - e –lBt )
Cuando t << TA e –lAt 1
Entonces AB = AAo (1 - e –lBt )
Equilibrio Transitorio TA <100 TB
TA > TB
Al llegar al equilibrio
AB = TA . AA
TA–TB
Se requieren 4 a 7 TB para alcanzar el equilibrio
Para cualquier tiempo dado se aplica la ecuación general:
AB = AAo TA (e –lAt - e –lBt )
TA-TB
Cuando se alcanza la máxima actividad? Recordemos la ecuación general
NB = NAo lA (e –lAt - e –lBt )
lB – lA
Para t=0 NB=0 y para t = ∞ NB 0 Debe existir un máximo de NB entre 0 e ∞ Matemáticamente corresponde al punto en que la derivada se iguala a cero
dNB = NA
o lA (-lAe –lAt + lBe –lBt ) dt lB – lA
Esta igualdad se cumple cuando lAe –lAt = lBe –lBt Despejando obtenemos Tmax = . 1 .ln lB
lB-lA lA
Factor f
Generalmente el RN padre decae produciendo
mas de un producto
Entonces debemos tener en cuenta la
FRACCION con que se produce el RN hijo de
interes
Factor f
AB = dNB = lAfANA – lBNB
dt
Resolviendo la ecuación diferencial:
AB = AAo fA TA (e –ln2 . t/TA - e –ln2 . t/TB )
TA – TB
