Movimiento armónico simple

Problema No 1Un resorte cuelga verticalmente. Cuando un cuerpo de masa M=1.65kg se suspende de él, su longitud aumenta 7.33cm. Después se monta el resorte horizontalmente y se sujeta de él un bloque de masa m=2.34kg. El bloque puede deslizarse libremente por la superficie horizontal sin fricción, a)¿Cuál es la constante de fuerza k del resorte?. b)¿Cuál es la magnitud de la fuerza horizontal necesaria para estirarlo una distanci de 11.6cm?. c)¿Cuándo se desplaza una distancia de 11.6cm y se libera, ¿con qué periodo oscilará?.

a) La constante de fuerza k se determina a partir de la fuerza MG necesaria para estirar el resorte, el desplazamiento vertical medio y=-7.33cm. Cuando el cuerpo suspendido cuelga en reposo Fy=0; el componente y de la fuerza neta en el cuerpo es Fy=-ky-Mg así que ky=-Mg, esto es

mN

k mSmkg

yMg

/221

0733.0)/8.9)(65.1( 2

b) La magnitud de loa fuerza horizontal necesaria para alargar el resorte 11.6cm se determina mediant la ley de Hooke, usando para ello la constante de fuerza que encontramos en la parte a)

NmmNkxF 6.25)116.0)(/221(

mssT mNkg

km 6596589.022 /221

43.2

c)El periodo no depende de la amplitud, sino tan sólo de los valores de la masa del bloque y de la constante de fuerza que se da en la ecuación del movimiento armónico simple,

Problema No 2Un bloque de 50kg se desplaza entre guías verticales, como se muestra. Se tira del bloque 40mm hacia debajo de su posición de equilibrio y se suelta. Para cada una de las dispociciones de los resortes, determínese el periodo de vibración, la velocidad y aceleración máxima del bloque.

k1=4kN/m

k2=6kN/m

a)

b)

a) En primer lugar, se determina la constante k de un solo resorte equivalente a los dos resortes mediante el cálculo de la magnitud de fuerza P requerida para producir una deflexión las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los resortes son, respectivamente,

La constante k del resorte equivalente es:

21 kyk

)( 2121 kkkkP

mNmkNmkNmkNkkP

k /10/10/6/4 421

mk

n Periodo de vibración: Como m=50kg, la ecuación da

kgmN

mk

n 50/102 4 sradn /14.14

nn

2 sn 444.0

k1 k2

P

Velocidad máxima:

sm

sradmx

m

nmm

/566.0

)/14.14)(040.0(

smvm /566.0

Aceleración máxima:

2

22

/00.8

)/14.14)(040.0(

sma

sradmxa

m

nmm

2/00.8 smam

b) En primer lugar, se determinará la constante k de uno solo resorte equivalente a los dos resortes mediante el cálculo del alargamiento total de los resortes sometidos a una carga estática dada P. Para facilitar rl cálculo, se utiliza una carga estática de magnitud P=12kN

mNmkNk

m

mkNP

mkNkN

mkNkN

kP

kP

/2400/.2

5

512

/612

/412

21 21

l1

l2

l1+

l2+

P

Periodo de vibración:kg

mNmk

n 50/24002 sradn /39.6

nn

2 sn 907.0

Velocidad máxima:

sm

sradmx

m

nmm

/277.0

)/93.6)(040.0(

smvm /277.0

Aceleración máxima:

2

22

/920.1

)/93.6)(040.0(

sma

sradmxa

m

nmm

2/920.1 smam

Una partícula de 10 Kg se mueve sobre el eje X hacia el origen con una fuerza igual a – 40x (n), estando x expresada en metros. Si inicialmente se encuentra a 5 m del origen y con una velocidad de 15 m/s dirigida hacia el mismo, calcular:

Problema No 3

a) La amplitud del movimiento•En primer lugar debemos ordenar los datos, mientras los memorizamos, y expresarlos en el S.I. Esto nos va a evitar utilizar unidades inadecuadas cuando vayamos a sustituirlas en las fórmulas:

m=10 KgF=- 40x N x0=5 m

v0=15 m/s

Aplicamos las fórmulas que relacionan los datos entre sí: F=- 40xF=m·a=- m 2x- 40x=- m 2x ; 40=10 2 ; =2 rad/sLa ecuación de la velocidad en función de la posición es:

b) El instante en que pasa por primera vez por el origen.El enunciado dice que está a 5 m del origen y esto da lugar a dos posibilidades: ir hacia el extremo o volver del extremo. El dato de la velocidad nos indica que vuelve hacia el centro (Ojo, podían darnos en el enunciado su valor como negativo). Por lo tanto podemos poner la fórmula de la posición partiendo del extremo (usando el coseno). Llegará al centro cuando el desfase inicial más el ángulo girado sea / 2

5=9cos( ·0 + 0) ; 0=0’98 rad

(coseno en vez de seno puesto que el movimiento se dirige hacia el centro y para t=0-> x=A)Pasa por el origen cuando el ángulo girado ( ·t + 0) valga /2

/2=( 2t + 0’98 ) ; t=0’29 s

            

Al colgar la masa, el muelle se estira hasta A, por lo tanto k·OA=m·g=> 1000· OA=1·9,8(suponemos g=10)OA=0,01 m=1 cmEl peso nos ayuda a alcanzar la fuerza recuperadora de 40 N en consecuencia sólo tenemos que tirar con una fuerza de 30 N.Frecup= Fracción + pesoLa elongación se mide desde el punto de equilibrio (A) y por lo tanto la amplitud será de 3 cm.Sólo cuenta como fuerza recuperadora ejecutante del M.A.S la que sobrepasa el peso. La oscilación tiene punto de equilibrio el A y en él la fuerza resultante es cero y la aceleración también es cero.