Movimiento Oscilatorio 02.pptx

8/16/2019 Movimiento Oscilatorio 02.pptx

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Lic. Fis. Jorge Daniel Torres Alvarez

MOVIMIENTO OSCILATORIO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE

CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERIAESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DEMINAS

CICLO ACADEMICO 2016-I


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Al tratar el MAS heos consi!era!o "#e las oscilaciones tienen

#na a$lit#! constante en el tie$o. %ero los sisteas reales

sie$re e&$erientan $e"#e'as (#erzas !e rozaiento "#e al

transc#rrir el tie$o van aortig#an!o )!isin#*en!o+ la

a$lit#! !e las oscilaciones hasta eliinarlas. Este ti$o !e

oviiento c#*a a$lit#! se re!#ce con el tie$o, se !enoina

Moviiento Oscilatorio Aortig#a!o )MOA+.

MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTI-ADO )MOA+

Movimiento Oscilatorio


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na a$licaci/n 0til !el MOA lo teneos en los veh1c#los, "#e

e!iante aortig#a!ores logran eliinar las oscilaciones en el

enor tie$o $osi2le. De no e&istir aortig#a!ores, #n si$le

2ache $ro!#cir1a oscilaciones !e larga !#raci/n, las c#ales

crear1an incoo!i!a! en los $asa3eros, inseg#ri!a! en el

con!#ctor * !estr#cci/n !e la carrocer1a.

%ara oscilaciones con veloci!a! enor "#e la veloci!a! !el

soni!o )a (in !e no $ro!#cir t#r2#lencia+ la (#erza aortig#a!ora

es o$#esta * $ro$orcional a la veloci!a!.



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Fa 4 5 λ v (01)

!on!e λ es #na constante !e $ro$orcionali!a!

entre la (#erza * la veloci!a!. Se !enoina

(actor !e aortig#aiento, "#e !e$en!e !e la

viscosi!a! !el e!io * la (ora !el c#er$o

oscilante. Las #ni!a!es !e λ son 6N.s78 4

69g7s8. El signo negativo en la Ec. ):;+ in!ica "#e

la (#erza aortig#a!ora sie$re es o$#esta a la

veloci!a!.

Fig#ra :;

Líquido

9

Fa

v

&

F<



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%ara #na elongaci/n & !el resorte * veloci!a! v !e la asa, las

(#erzas "#e act0an so2re ella son la (#erza rec#$era!ora F< !el

resorte * la (#erza aortig#a!ora !el l1"#i!o Fa.

Coo o!elo (1sico !e MOA #sareos #n oscila!or ar/nico con

s# asa oscilan!o !entro !e #n l1"#i!o aortig#a!or.

A$lican!o al sistea la seg#n!a le* !e Ne=ton se tiene

ΣF 4 F< > Fa 4 !?&

!t?



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Entonces

(04)!?&

!t?!&

!t> ?γ > )ωo+

? & 4 :

La constanteγ

se !enoina frecuencia de amortiguamiento, se

i!e en 6ra!7s8 *ωo es la (rec#encia ang#lar !el MAS.

Esta es la ec#aci/n !i(erencial rige el MOA * !i(iere !e la

ec#aci/n !el MAS en el t@rino )γ

!&7!t + * la sol#ci/n es #na

(#nci/n "#e se calc#la $or @to!os ateticos avanza!os.



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%ara el caso !e $e"#e'o aortig#aiento )γ

ω

o +, la (#nci/n

sol#ci/n !e la ec#aci/n !i(erencial $#e!e !e!#cirse

e$1ricaente a $artir !el gr(ico "#e !e3a #n oscila!or

ar/nico aortig#a!o so2re #na ho3a !e $a$el "#e se

!esliza a veloci!a! constante (rente a la asa "#e lleva #n

arca!or, coo se #estra en la Fig#ra :?.

nien!o los $#ntos !e &io !es$lazaiento !e las

oscilaciones aortig#a!as, a #no * otro la!o !el e3e central )t+,

o2teneos #na c#rva envolvente "#e re$resenta la a$lit#! !el

MOA. Esta c#rva es !el ti$o e&$onencial .



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(05)A 4 Ao e-γ t

!on!e Ao es la a$lit#! inicial !el MOA en t 4 : * γ es #na

constante $ositiva a !eterinar.

La c#rva oscilante !e2e ser !el ti$o seno o coseno. Elegios la

(#nci/n ti$oB sen)ω

t >α

+, !on!eω

es la (rec#encia ang#lar !el

MOA *α

es la (ase inicial.

Coo las !os c#rvas estn interrelaciona!as, s#s ec#aciones

ta2i@n !e2en relacionarse en #na sola (#nci/n !el ti$o



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o

t

%a$el /vil>Ao

AoCurva envolvente A(t)

Fig#ra :?.

9



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(06) 4 Ao e-γ t sen )

ω

t >α

+

Esta (#nci/n !e(ine la $osici/n !e la asa en c#al"#ier instante.

%ara veri(icar "#e esta (#nci/n satis(ace la Ec. ):+, o2teneos

las res$ectivas !eriva!as * s#stit#ios. acien!o #n $oco !e

atetica se tiene "#eB

La (rec#encia ang#lar !el MOA es

ω

4 )ω

o+?

5γ

?

(07)

* #san!o la Ec.):G+ esta e&$resi/n toa la (ora

ω

4 59

λ

?

?(08)



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* el $er1o!o !el MOA es

(09)T 4 4)ωo+

? 5 γ?

?π

?π

9

λ ?

? 5

El logarito !e la relaci/n entre !os a$lit#!es s#cesivas !el

MOA se !enoina decremento logarítmico !e la a$lit#! * esta

e&$resa!o coo

(10)

β

4 Ln 6 8 4 Ln e γT Ao e-

γ t

Ao e -γ )t > T+

β

4γ

T



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En las oscilaciones aortig#a!as, la energ1a "#e $ier!e la asa

oscilante es a2sor2i!a $or el e!io aortig#a!or "#e lo ro!ea.

Si el aortig#aiento es $e"#e'o, )γ

ωo +, el sistea oscila

!#rante #n cierto tie$o antes !e !etenerse. %ero si el

aortig#aiento es gran!e, la oscilaci/n es r$i!aente

eliina!a con a$enas e!ia oscilaci/n, coo s#ce!e con el

oviiento oscilatorio cr1ticaente aortig#a!o )Fig#ra :G+, o

no logra co$letar #na oscilaci/n coo s#ce!e en el

oviiento oscilatorio so2re aortig#a!o )Fig#ra :+.



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t:

γ

≅

ωo

Fig#ra :G. Oscilaciones cr1ticaente aortig#a!as

Fig#ra :. Oscilaciones so2re aortig#a!as

t:

γ ωo



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Ejemplo 01. Una masa de 0.200 kg se mueve en el extremo de

un resorte con k = 400 [!m". #u despla$amiento inicial es de

0.%00 m. Una &uer$a amortiguadora ' = ( λ v) donde ' est* en

+ v en m!s) act,a so-re la masa + la amplitud del movimiento

disminu+e a 0.100 m en .00 [s". /alcule la constante de

amortiguamiento λ.

#olucin



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Ejemplo 02. Un oscilador armnico de masa 200 g + resorte de

constante el*stica 400 !m oscila en un medio viscoso cu+a

&uer$a retardatri$ es 'a = ( v !m. as oscilaciones tienen

una amplitud inicial de 0.14 m + &ase inicialπ

!% radianes.

/alcular) a3 el perodo) b3 el decremento logartmico) + en t =

0.1 s) c3 amplitud d3 la posicin) e3 la velocidad) f 3 la energa

potencial + g 3 la energa cin5tica de las oscilaciones.

#olucin



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MOVIMIENTO OSCILATORIO FORHADO )MOF+

El aortig#aiento !e las oscilaciones !e #n sistea $#e!e evitarse

e!iante la a$licaci/n !e #na (#erza i$#lsora e&terna !e nat#raleza

oscilante * reg#la!a, "#e haga el tra2a3o !e ree$lazar la energ1a$er!i!a $or el sistea en ca!a oscilaci/n.

%or e3e$lo, c#an!o #n ni'o esta en #n col#$io, se lo $#e!e

antener oscilan!o con #na a$lit#! constante !n!ole #n

e$#3oncito #na vez en ca!a ciclo. El ni'o iso ta2i@n $#e!e

generar esta (#erza e!iante el ca2io !e s# centro !e grave!a!,

inclinn!ose hacia !elante o hacia atrs en ca!a ciclo.



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%ara "#e esta (#erza a$lica!a sea e(ectiva !e2e ser $eri/!ica, ig#al

"#e el oviiento. %or lo tanto, la (rec#encia con la c#al oscilar

el col#$io es i$#esta $or la (#erza e&terna.

Coo o!elo $rctico !e oscilaciones (orza!as

o i$#lsa!as consi!ereos #n oscila!or

ar/nico aortig#a!o, coo el !e la Fig#ra :

ovi@n!ose 2a3o la acci/n !e #na (#erza

i$#lsora e&terna !e ti$o ar/nico F 4 Fo cos

ωF t , !on!e Fo es la a$lit#! o valor &io

!e la (#erza *ωF es la (rec#encia ang#lar !e

la (#erza.Fig#ra :

9

Fv

&

F<

Fa



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A$lican!o la ?!a. Le* !e Ne=ton al sistea se tieneB

4 5 9 & 5λ

v > Fo cos ωF t!?&

!t?

Divi!ien!o entre la asa * reor!enan!o t@rinos se tiene "#e

$#e!e escri2irse en la (ora

(11)> ?γ > )ωo+? & 4 h cos ωF t

!?&

!t?!&

!t

!on!e ? γ 4 , )ωo+? 4 * h 4 , son constantes

$ro$ias !el sistea.

λ

9

Fo



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La ec#aci/n !i(erencial );;+ rige el MOF, s# sol#ci/n es la2oriosa *no lo $resentareos a"#1. En l#gar !e ello, analiceos el $roceso

e!iante el c#al la (#erza i$#lsora e&terna logra i$oner s#

(rec#encia !e oscilaci/nωF so2re el sistea, !es$#@s !e #n

$er1o!o s#(icienteente largo.

En #n inicio, el sistea vi2ra en #n esta!o transitorio !#rante el

c#al se o2serva #na co2inaci/n !e oscilaciones li2res *

oscilaciones (orza!as. %ero l#ego "#e la energ1a entrega!a $or la(#erza en ca!a ciclo, es ig#al a la energ1a $er!i!a en ca!a ciclo, el

sistea alcanza #n estado de oscilaciones estacionario !#rante el

c#al las oscilaciones ten!rn #na a$lit#! constante.



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En el instante estacionario, la sol#ci/n $artic#lar !e la Ec. );;+ es

la (#nci/n

& 4 A sen )ω

F t 5

α

+

(12)

!on!eB A es la a$lit#! !e las oscilaciones (orza!as $ara #n

!eterina!a (rec#encia ang#lar ωF !e la (#erza i$#lsora *

α es el !es(asa3e inicial entre la (#erza i$#lsora * las

oscilaciones estacionarias. El signo negativo nos in!ica

"#e $riero es la (#erza i$#lsora * l#ego !es$#@s

a$arecen las oscilaciones estacionarias.



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%ara veri(icar "#e esta (#nci/n satis(ace la Ec.);;+, o2teneos las

res$ectivas !eriva!as * s#stit#ios. acien!o #n $oco !e

atetica o2teneosB

La (ase inicial !el MOF a $artir !eB

tan α 4)ωF+

? 5

)ωo+?

?γ

ωF

α

4 tan-;

6 8

)ωF+

? 5

)ωo+

?

? γ ωF

(13)

* la a$lit#! !e las oscilaciones estacionarias !el MOF

A 4Fo 7

6 )ωF+? 5 )ωo+

? 8? > γ?

)ωF+?

(14)



23/33

Seg0n estas ec#aciones, la (ase inicial * la a$lit#! !el MOF no

son constantes ar2itrarias, sino canti!a!es (i3as "#e $#e!en variar

seg0n coo var1e la (rec#enciaωF !e la (#erza a$lica!a.

Seg0n la Ec.);+, la a$lit#! tiene #n &io $ron#ncia!o

c#an!o el !enoina!or tenga #n valor 1nio. Este valor se

o2tiene !erivan!o la a$lit#! A con res$ecto a la (rec#encia

ang#lar ωF * l#ego a$lican!o el @to!o !e &ios *

1nios.Coo res#lta!o !e este $roceso atetico, o2teneos la

llaa!a (rec#encia !e resonancia



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ωR 4 )ωo+? 5 ?

γ

?

(15)

/

ωR4 59

λ

?

? ?(16)

Ahora, c#an!o la (rec#encia ωF !e la (#erza a$lica!a es ig#al

la (rec#encia !e resonanciaωR , se o2tiene lo "#e se

!enoina resonancia en la amplitud .

La resonancia en la a$lit#! se o2tiene s#stit#*en!o, en la Ec.);G+,

el valor !eωF $or el valor ωR !e la Ec. );+.



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AR 4Fo 7

6 )ωo+? 5 ?

γ

? 5 )ωo+

? 8? > γ

? 6)ωo+

? 5 ?

γ

?8

!e !on!e entonces la amplitud de resonancia es:

(17)AR 4Fo 7

?γ

)ωo+

? 5γ

?

Seg0n esta ec#aci/n, c#anto enor sea el aortig#aiento, )γ

/

λ

+, s $ron#ncia!a ser la a$lit#! !e resonancia, !e (ora tal

"#e c#an!oγ

4 : /λ

4 : , la a$lit#! !e resonancia ser in(inita.

Se $#e!e veri(icar "#e esto oc#rre c#an!o



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ωR 4 ωo 4

97

(18)

Si gra(icaos la a$lit#! en (#nci/n !e la (rec#enciaωF se

tiene la c#rva !e la Fig#ra , $ara #n !eterina!o valor !eλ

.

A

:

ωA ωF

Fo 9

Fig#ra :

λ



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28/33

A

:ωo

ωF

Fo

9

Fig#ra :K

λ; $e"#e'o

λ: 4 :

∞

A;A?

λ? gran!e

Sin aortig#aiento

En esta (ig#ra veos "#e, la

a$lit#! !e resonancia es a*or

c#anto s cercana est@ la

(rec#enciaωF a la (rec#encia

nat#ral ωo !el sistea. El a#ento

!e la a$lit#! a (rec#encias

cercanas a la (rec#encia nat#ral !el

sistea )ωF ≈ ωo+ se !enoina

resonancia.



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En (1sica ha* #chos e3e$los !e resonanciaB

%o!eos sintonizar #na estaci/n !e ra!io o televisi/n gracias a la

resonancia !e los circ#itos !el rece$tor con la (rec#encia !e las

on!as transiti!as.

La vi2raci/n !e #na !e las r#e!as no 2alancea!as !e #n veh1c#lo

"#e se #eve a gran veloci!a!.

El r#i!o !e los altavoces 2aratos, c#an!o #na nota #sical

coinci!e con la (rec#encia !el cono !el altavoz.

no, "#e *a lo analizaos, es el !e #n ni'o en el col#$io.



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La resonancia en sisteas ecnicos coo $#entes o$lata(oras $#e!e !estr#irlos, $or acci/n !e (#erzas c#*a

(rec#encia es cercana a la (rec#encia nat#ral.

El Puente de Tacoma Narrows



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El Puente de Tacoma Narrows es un puente colante de

1600 metros de lon!tud con una d!stanc!a entre soportes de

850 m (el tercero mas rande del mundo en la "poca en #ue

$ue constru!do)% El puente es parte de la carretera &as'!nton

tates oute 16 en su paso a tra*"s de Tacoma Narrows de

Puet ound desde Tacoma a +! ,ar-or (Estados .n!dos)%



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Ejemplo 0%. Un oscilador armnico de masa m = 0)6 kg +

constante el*stica 7 = 180 !m oscila en un medio donde la

&uer$a amortiguadora es ' = ( 9dx/dt 3. /alcular a3 la

&recuencia angular de las oscilaciones amortiguadas + -3 la

amplitud de resonancia de este sistema si es sometido a una

&uer$a de amplitud 8 .

#olucin



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Ejemplo 04. #e tiene un oscilador armnico simple sinamortiguamiento de masa 2 7g + constante el*stica 7 = 160 !m)

al cual se le aplica la &uer$a ' = 60 /os :0 t . a3 Escri-ir la

ecuacin din*mica del oscilador) -3 la &uncin solucin de la

ecuacin + c3 discutir la resonancia en este caso.

#olucin


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