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COMUNICACIN DIGITAL
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CAPTULO III
CODIFICACIN DIGITAL DE SEALES ANALGICAS
MODULACIN EN PORTADORA SINUSOIDAL PARA MODULADORADIGITAL
Modulacin
Para la transmisin de datos digitales, existen principalmente tres mtodos demodulacin que permiten alterar el ancho de banda sobre el cual ser enviada lainformacin.
Estos tres mtodos son muy empleados debido a su relativa sencillez ya que son idealespara la transmisin de datos digitales, ellos son:
ASK (Amplitude Shift Keying). FSK (Frequency Shift Keying). PSK (Phase Shift Keying).
FAMILIA ASK ( Manipulacin por desplazamiento de amplitud).
El ASK que es el mtodo que nos atae en especial, es una forma de modulacinmediante la cual la amplitud de la seal est dada por la ecuacin.
casosotrosen
TtWotASenA
;0
0);(
Corrimiento de Ampli tud
ASK entonces, puede ser descrito como la multiplicacin de la seal de entrada f(t)=A(valido en sistemas digitales) por la seal de la portadora. Adems, esta tcnica es muy
similar a la modulacin en amplitud AM, con la nica diferencia que para este caso m =0.
Moduladora (seal / informacin) baja frecuencia seal digitalSeal Portadora alta frecuencia seal senoidalModulada alta frecuencia seal senoidal
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Modulacin por corr imiento en la ampl i tud (ASK=Ampli tude shi ft keying)
En el dominio de la frecuencia, tal y como ya lo habamos mencionado, el efecto de lamodulacin por ASK permite que cualquier seal digital sea adecuada para sertransmitida en un canal de ancho de banda restringida sin ningn problema, adems alestar en funcin de una sola frecuencia, es posible controlar e incluso evitar los efectosdel ruido sobre la seal con tan slo utilizar un filtro pasabandas, o bien, transmitir msde una seal independientes entre s sobre un mismo canal, con tan slo modularlas enfrecuencias diferentes.
a. BASK.- Se trabaja con una seal digital binaria, tiene solo dos niveles.
b. MASK.-Se trabaja con una seal digital multinivel
a. SEAL MASK
m_aria Seal digital con m niveles de amplitud.
Ap(t) = Ep(t) = Amax Sen wt
Para cada nivel de amplitud de una seal m_aria se tiene una amplitud de laportadora.
A0= V1Sen wt
A1= V2Sen wt
A2= V3Sen wt
A3= VmaxSen wt
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SEAL MODULADORA Y SEAL MODULADA
REPRESENTACIN FASORIAL.
CIRCULO DE INDECISIN.- Es el lugar geomtrico del espacio que delimitadentro de un valor fijo de probabilidad. Si la seal esta dentro del circulo dedecisin genera su nivel correspondiente, si esta fuera del circulo no genera nada.Los crculos de decisin no deben ser secantes, ni tampoco tangentes.
Una seal es regular cuando la amplitud entre los niveles es la misma
V1= 2V V2= 2V V3= 2V Vmax= 2V Regular
V1= 2V V2= 6V V3= 14V Vmax= 16V Irregular
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b. SEAL BASK.-Seal digital binaria; dos niveles de amplitud.
Ap(t) = Ep(t) = Amax Sen wt Para cada nivel de amplitud de la seal se tiene unaamplitud de portadora.
A0 V1Sen wt
A1 V2Sen wt
w =T
2
Ep(t) = E2Sen w0tw0>> w
Para mantener la seal moduladora sea de baja frecuencia y portadora alta frecuencia.
2
21 EEE
0 Emp(t)= E1Sen wot
1 Emp(t)= E2Sen wot
E2> E1
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PORTADOR VIRTUA L .-No tiene informacin ni en 1, ni en 0
ayuda a detectar los equipos de Tx y Rx.
twSenEtEv oo)(
2
21
0
EE
E 1002 EEEEE
2
12 EEE
NDICE DE MODULACIN (ma).- Profundidad con que se modula la seal.
Eo
Ema
12
12
EE
EEma
ma 1 cuando mucho = 1
ma = 1 cuando E1 = 0
Si ma > 1 tiene sobre modulacin entonces la seal se desfasa 1800.
BASK
Moduladora.
TT
W 2
Portadora
SenWottmaQEotEmp
WWoToT
Wo
)(1)(
2
0
2
21 EE
Eo
12
12
EE
EEma
Si : Q(t) = 1 Si : Q(t) = -1
Emp(t) = E2Sen w0t Emp(t) = E1Sen w0t
Q (t) = Onda cuadrada modulante que vara entre +1 y -1 con periodo T.
Emp(t) = E0Sen w0t + E0.ma.Q(t)Sen w0t .
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ANAL ISIS DE FOURIER
Potencia
0
21 pmaP
2
2
00
Ep
SEAL OOK.- Seal de encendido y apagado (ON, OFF)
Cuando la seal de informacin es 1 lgico Emp(t) = E2 Sen w0t; pero cuando laseal de informacin es 0 lgico Emp(t) = 0
Potencia
00
2 21 ppmaPT
2
2
0
0
Ep
2
0EPT
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CIRCUITOS MODULADORES
MODULADOR MASK
MODULADOR BASK
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MODULADOR OOK
CIRCUITOS DEMODULADORES
DETECCIN DE ENVOLVENTEUn detector de envolvente ideal es un circuito que produce una forma de onda en susalida que proporciona la envolvente real, R(t), de su entrada. De acuerdo con laecuacin )()( tKRtVsalida
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DETECCIN SINCRONA
FAMILIA FSK.- Manipulacin por corrimiento de frecuencia
La frecuencia va a variar mientras que la amplitud y la fase se mantienen constantes.
a.-MFSK.- Trabaja con una seal digital multinivel ,m_aria.A cada nivel de la seal le corresponde una frecuencia portadora
b.- BFSK.- Trabaja con una seal binaria es decir en la seal modulada tendramosnicamente dos frecuencia.
Para 1Lgico
Emp(t) = Eo Senw2tEmp(t) = Eo Sen(w0+ wd)t
Para 0 LgicoEmp(t) = Eo Senw1t
Emp(t) = Eo Sen(w0- wd)t
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PORTADORA VIRTUAL
Ev(t) = Eo Senw0t wd = w2w0= w0w1
w0 =2
w 12 w wd =
2
w 12 w
Emp(t) = Eo Sen2
1(w2+ w1+ w2w1)t
Emp(t) = Eo Sen2
1(2w2)t
Emp(t) = Eo Senw2t
Emp(t) = Eo Sen2
1(w2+ w1- w2+ w1)t
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Emp(t) = Eo Sen2
1(2w1)t
Emp(t) = Eo Senw1t
ANLISIS DE LA SEAL OOK
Dos seales en contratase o en forma complementaria
Si sumamos las dos seales tenemos BFSK = OOK1 + OOK2
Seal deinformacin
OOK1 OOK2
1 Lgico Emp(t) = Eo Senw2t Emp(t) = 0
0 Lgico Emp(t) = 0 Emp(t) = Eo Senw1t
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ESPECTRO DE FRECUENCIA.- Supongamos una seal de onda cuadrada conperiodo T.
Espec tro s eal OOK 1
n n
nSen
EotEmp
2
)2
(
2)( nw)tj(w2e
Espec tro s eal OOK 1
n n
nSen
EotEmp
2
)
2
(
2)( nw)tj(w1
e
nT
TnnwT
2
.2
2
e-jnwT/2= e-jn = Cos n - j Sen n =(-1)n
n
n
n
nSen
EotEmp
2
)2
(
)1(
2
)( ej(w1 +nw)t
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Decidor monitorea las entradas 1,2,3 y 4; si existe presencia de voltaje en 1 genera elnivel correspondiente a esa seal en el tiempo .
FAMILIA PSK (Multiplexacin por Corrimiento de Fase).
ARACTERSTICAS
Fase cambia.Amplitud Constante.
Frecuencia Constante.
)()(
)()(
tWpWpt
WptEpSentEp
La modulacin FSK es un caso especial de PSK por que:
cambiatWpcambia )(
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MODULADOR PSK
DEMODULADOR PSK
En el demodulador balanceado debe ser sincronizado en f
y coherente en fase.
Como primer elemento el demodulador balanceado (D.B.) tenemos un filtro pasa bajos(FPB), segundo el comparador de seales y tercero un FPB.
Al comparar las seales en el DB2 tenemos:
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1122
112
)1(*)(
iCosiWptCoseE
WptiWptCosWptiWptCoseE
WptSeneiWptSenE
pp
pp
pp
Filtro Pasa Bajo
12
iCoseE pp
Si:1i
)(2 MaximoValor
eE pp
MPSK.- Seal digital multinivel
CARACTERSTICASSe trabaja con una seal digital m_aria .A cada nivel de seal digital le corresponde una fase determinada.
La Mayor Fase Nivel Digital Superior.
CRCULO DE DECISIN.- Es el lugar geomtrico del espacio que delimita dentro deun valor fijo de probabilidad. Si la seal esta dentro del circulo de decisin genera sunivel correspondiente, si esta fuera del circulo no genera nada.
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CARACTERSTICAS
Los crculos de decisin no deben ser secantes.Los crculos de decisin no deben ser tangentes.
Cuando los crculos de decisiones se hacen tangentes o secantes lo que se hace esaumentar la potencia de la seal.
2. BPSK.- Seal binariaDesvi de fase mayor en 1 Lgico.
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21
)2()("0"
)1()("1"
WpEpSentEmp
WptEpSentEmp
PORTADORA VIRTUAL
IIdWptEpSentEm
IdWptEpSentEm
FasedeDesviod
InicialFase
WptEoSentEv
02
01
122001
210
0
)("0"
)("1"
2
2
)()(
ESPECTRO
OOK Modulo en Forma Complementaria.
Informacin:
WWpT
digitalSeal
c
TWT
2
2,
Para el espectro de la seal tenemos:
Modulacin en contra fase.
n
tnWWpjjnj
n
tnWWpjj en
nSen
eeEo
en
nSen
eEo
tEmp )(2)(1
2
)2
(
2
2
)2
(
2)(
n
tnWWpjjnj
n
tnWWpjj en
SaeeEo
en
SaeEo
tEmp )(2)(1 )2
(2
)2
(2
)(
Termino de fase.- Indica que la seales estn moduladas en forma complementario.
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fasedenoTermie jn .
Representado en Serie de Fourier.
......................................)3(33
2*
2**)(
tWWpSentWWpSendEoSen
tWWpSentWWpSendEoSenSenWptdEoCostEmp
Ancho de banda mnimo.
WAB 2min
Si desarrollamos la ecuacin del espectro se encuentra:
tWWpSentWWpSendEpsen
dSenWptEpCostEmp 2
)(
CASO PARTICULAR
Cuando )180(90 1oood
3. PRK (Manipulacin por Inversin de Fase).- Cuando las seales tengan undesfase de 1800 por lo que el desvi de fase es siempre 900.
oo
oo
4522251
021801
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La condicin es que 21 para que PRK debe ser o180
090
190
2210
90
o
o
o
CosdCos
dSenSen
d
La seal PRK es una seal OOK pero suprimida su portadora.Es igual que la seal BPSK solo cambia en este caso.
tWWpSentWWpSenEotWWpSentWWpSenEotEmp )3()3(32)()(2)(
Una seal PRK se la considera como una seal OOK suprimida.
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CIRCUITOS MODULADORES Y DEMODULADORES.
1. SEAL MPSK
2. SEAL BPSK
3. SEAL PRK.
Para la seal PRK cambia la fase 1800La relacin entre fase es 1800
El circuito es el mismo que el BPSK.
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CIRCUITOS DEMODULADORES
1.-CONVENCIONAL
Con seal binaria no hay problemas
Con seal multinivel existe problemas.
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2.- BALANCEADOS.
Las seales que ingresan al demodulador deben ser sncronas en frecuencia y coherentesen fase (Fases deben mantenerse un tiempo determinado).
La amplitud puede ser la misma pero no necesariamente.
SISTEMA COHERENTE Y DIFERENCIAL
Las seales deben ser sincrnicas en frecuencia y coherentes en fase se debe garantizarque la coherencia se de tanto en el lado del transmisor como el receptor (A) propagarselas seales sufren un retardo de grupo o se desfasan.
COHERENTES
1.- DETECCIN SNCRONA CON OSCILADOR LIBRE.
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Con dos niveles digitales el circuito trabaja correctamente, pero con mas nivelesdigitales existe problemas por las desfases ya que el decisor no puede identificar a quenivel lgico corresponde la seal (fase).
2.- DETECCIN SNCRONA CON FASE CERRADA (LAZO CERRADO)
Referencia de fase de la portadora se puede obtener de la seal que esta llegandooriginalmente o se puede generar localmente.
vco = Oscilador controlado por voltaje.
Ejemplo
4 PSK (regular)
Estado 1 => Eocos wptEstado 2 => Eocos (wpt + 90)Estado 3 => Eocos (wpt + 180)Estado 4 => Eocos (wpt + 270)
* se multiplica por 4 : de acuerdo al nivel de la seal
Eocos 4wpt = Eocos 4wptEocos (4wpt + 360) = Eocos 4wpt fase = 0Eocos (4wpt + 720) = Eocos 4wptEocos (4wpt + 1080)= Eocos 4wpt
vco = oscilador controlado por voltaje su frecuencia y su fase dependen de una tensinde control.En el circuito esta tensin de control la tenemos a la salida del corrector de fase.La diferencia de fase es transformada en tensin en el corrector de fase si son iguales lasfases la diferencia de fase es 0.La generacin de fase se lo hace en forma secuencial.
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SISTEMA DIFERENCIAL
Trabaja con una fase de referencia previa o anterior, es decir teniendo 01 llega 02 ycompara 02 con 01 si llegara 03 se comparara con 02 es decir la fase que llega se tomacomo referencia.
Ejemplo:
Seal digital 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0
= 0: 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1
Si la frecuencia 00 0000000000 0000 Es 1800
1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0
MODULACIN EN PORTADORA TREN DE PULSOS (MICPCM)
La seal moduladora es la seal de informacin, la cual debe ser digital.La seal portadora debe ser una seal digital al igual que la seal modulada.En 1937 A.H.REEVES propone un sistema Mic para la transmisin de la voz y da laidea del teorema de muestreo y la multiplexacin por divisin en el tiempo (TDM).1947 1948 C. SHANON formaliza matemticamente el sistema mic, sistema naquist
binario en sus tesis doctorales.1962 implementa el primer sistema de comunicaciones digitales con tecnologa digital
porque utilizaba circuitos electrnicos digitales.
Conversin Anlogo / Digital
Se realizan para esto tres pasos:
1. Muestreo2. Cuantificacin3. Codificacin
1. Muestreo.- Es tomar muestras discretas de una seal continua en el tiempoLa amplitud de los pulsos muestreados debe ser directamente proporcional a la amplitudde la seal analgica en el instante del muestreo.
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Teorema del muestreo.- La frecuencia de muestreo debe ser el doble de la frecuenciamxima presente en la seal.
NyquistdemuestreodeIntercalofm
tm
muestreodevelocidadfsfmfsfm
(1
(22
SEAL PAM (Modulacin por Amplitud de Pulsos)Se modifica la amplitud de la seal digital resultante se mantiene constante su duraciny su posicin
La amplitud de los puntos muestreados es directamente proporcional a la amplitud de laseal analgica en el instante del muestreo.
)()( AnalgicaAmplitudPAMAmplitud
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PAM no Balanceada.- Es cuando se tiene niveles positivos y negativos en la seal demuestreo.
PAM Balan ceada.-Es cuando se desplaza el eje horizontal haciaabajo, esto mediante los pulsos.
)11(
)(*)(
20
21
2int)(
)()(
)(
ogeneralescaladefactork
tEotkxE
T
T
TdeervaloconTperiododeunitarioFuncint
tEotEp
balanceadaNoPAM
RA
Eo
k
AEo
k
BalanceadaPAMSealAEo
km
funcinlaaafecta
noqueporoteresteparaosdiviLoEo
kASenwt
Eo
kAtEoE
kASenwttEoE
tkxtEoE
tEotkxtEoE
PAM
BalanceadaPAM
BalanceadaPAM
BalanceadaPAM
BalanceadaPAM
///
1
1
.
mindim1)(*
1)(*
)(1)(*
)(*)()(
)(
)(
)(
)(
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SEAL PAM DE PRIMER ESPECIE.- Es una seal Cuasi analgica.Los pulsos siguen fielmente a la seal analgica.
SEAL PAM DE SEGUNDA ESPECIE.- En una seal cuasi analgica, por queno sabemos cuantos niveles lgicos tenemos en la seal.
La seal del pulso es el valor de la amplitud en el punto medio de la amplitud de laseal analgica.
x
SenxTipoLateralesndasBSenwtmEom
x
SenxTipoPulsadaPortadoratEo
SenwtmEomtEoE
SenwtmEo
kAtEoE
PAM
PAMBalanceadaPAM
BalanceadaPAM
:
:)(
)(
1)(
)(
)(
a
Ciclo de Trabajo:
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%100*%T
TonCT
T
Ton
ToffTon
TonCT
No es necesariamente ToffTon
a. MUESTREO IDEAL
En el muestreo ideal en el instante de muestreo (T), tiende a cero es decir se trata de unasucesin de muestras infinitas. Cuando los impulsos estn dados por la Delta deDirac().
Para obtener Xm(t) se multiplica la seal peridica )(t
.1258
11
8
4:
)(2
)(*)()(
segundostmKhzfm
tmKhzfm
Khzvoz
NyquistdeVelocidadfsfm
ttxtXm
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n
TT
n
TT
n
Tm
n
Tm
Tm
n
T
nffXffXm
nfffXffXm
nTtnTxtx
nTttxtx
ttxtx
nTtt
)(
)()(
)(*)()(
)()()(
)(*)()(
)(
Si la seal tiene impulsos en sus extremos fsfm 2 .
Para recuperar la seal de informacin se trabaja con filtros pasabajos LPf (Low pass
filter) con una frecuencia de corte.
fcorte= fs ( frecuencia ms alta de la seal.
f(t) =n
nfotSincfs
nX )2()
2(
En teora se debe sumar un nmero infinito de muestras, esto genera un error de
truncamiento, pero en la practica se suma un nmero finito de valores muestreados y elresto se elimina.
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a.
MUESTREO UNIFORME O NATURAL
RCTn
CTnSenCTCn
Of fON
ON
TrabajodeCicloCT
TTrabajodeCicloCT
///)(
%100*
%100*)(
1
n
tjnw
m
m
Cnetxtx
tptxtx
1)()(
)(*)()(
nnffCnXfXm )()( 1
El espectro de la seal se repite cada 1f pero multiplicado por CN .
La seal )(1 tx se puede recuperar con un filtro pasa bajos.
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La amplitud es igual al valor de la funcin evaluada en el tiempo medio del intervalo detiempo de muestra. Una forma de onda analgica x(t) se muestra mediante techo plano con una razn de
muestreo de Khz8 y un ancho de pulso de segundos100 .
Supongase queB
FfX 2)( KhzB 3 .
triangularFuncin
h(t) pulso de muestra
n
n
m
n
n
m
n
B
nff
f
fSen
TfXn
f
fSenthFfHnConvolucintxnttthtx
nffXfHT
fXmmuestradePulsonttth
nffCnxfXmtxnttthtx
nffCnxfXmT
tT
t
Tt
Tt
th
1
1
1
1
2
1
)(
)()()(*)()()(
)(1
)()()(
)()(*)()()(
)(
22;
2;0
22;
2;1
)(
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Su espectro es:
RfXm
BSafXm
fSi
BnfffsegSaKhzfXm
eB
f
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1
2
2
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MODULADOR PAM DE PRIMER ESPECIE
MODULADOR PAM DE SEGUNDA ESPECIE
SEAL PWM (Modulacin por anchura de pulsos).
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La anchura de los pulsos de la seal PWM es directamente proporcional a la amplitudde la seal analgica.
AnalgicaSealAPWM ..
La duracin mxima del pulso debe coincidir con el Vmax instantneo de la sealanalgica.
TIPOS DE SEALES PWM:
1. Vara e l flanco de subida manteniendo el flanco de bajada. (PWM Asimtrica)
2. Constante el flanco de subida sin variar el flanco de subida. (PWM Asimtrica)3. Vara el flanco de subida y baria el flanco de bajada. (PWM Simtrica)
SEAL PWM SIMTRICA.- La duracin de los pulsos vara en los dos flancos
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SEAL PWM ASIMTRICA
Se mantiene constante el flanco de subida, mientras que vara el flanco de bajada. Otambin puede mantenerse constante el flanco de bajada y variara el flanco de subida.
ndice de modulacin mPWM=0
.Vmk
Esta seal no se utiliza para transmisin porque genera distorsin.
MODULACIN PPM Y PFM (Modulacin por Pulso de Diferencia) y(Modulacin por Posicin de fase).
CARACTERSTICAS:
La amplitud del pulso y la duracin o ancho de pulso se mantiene constante.Vara el desfasamiento relativo entre los pulsos (Frecuencia de ocurrencia de los
pulsos).
SEAL PPM.- La informacin viaja en los retardos de pulso medido () enrelacin a una portadora no modulada.
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(mmimo) =0 /2
(mximo) =
SEAL PFM
La informacin viaja el los retardos de pulsos () medidas en relacin a una referencia
de ocurrencia del pulso anterior.
)lim()(
)(
max
min
itehayNot
t
2. CUANTIFICACIN
Definicin.- Es un proceso de aproximar valores muestrados a niveles de cuantificacin(niveles de voltaje predeterminado). La aproximacin se realiza matemticamente.
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CARACTERSTICA S
La amplitud depende de la seal anloga en el instante que se realiza el muestreoLa seal PAM pseudo analgica, dbil a las interferencias (ruido)
Ejemplo:
0 1 2 3 4 50.8 2.1
Niveles de cuantificacin (NC)
1a
AmxNC
Sumamos 1 para tomar un nivel de voltaje cero.a es el espaciamiento que queremos que exista entre los niveles de cuantificacin.
Si el valor es al punto medio del nivel de cuantificacin se escoge el valor inmediatoinferior.
Se la utiliza cuando es cuantificacin uniforme y no uniforme.
CUANTIFICACIN LINEAL (HOMOGNEA), (UNIFORME).Cuando los niveles cunticos tienen igual espaciamiento o separacin.
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Cuando el paso que existe entre los niveles de cuantificacin es el mismo.Al realizar la aproximacin (cuantificacin) se produce un error de aproximacinllamado ruido de cuantificacin (es mayor para amplitudes de las seales bajas) (esmenor para amplitudes altas de la seal). Hace que la relacin S/R sea diferente.
Si la relacin S/R es baja es difcil de recuperar la seal de informacin.
RUIDO DE CUANTIFICACIN
En amplitudes altas el ruido de cuantificacin es bajo.En amplitudes bajas el ruido de cuantificacin es alto.
CUANTIFICACIN NO LINEAL (NO UNIFORME) (NO HOMOGNEA)
Cuando los espaciamiento entre los niveles de cuantificacin no es constante
0 1 2 6 10 15 17 20
CARACTERSTICA S
Gracias a este tipo de cuantificacin podemos conseguir que el ruido decuantificacin sea constante.
A amplitudes altas las comprimimos
A amplitudes bajas se las expanden.
En el transmisor se conoce como compresor y en el receptor como expansor.Si aumentamos el nmero de niveles de cuantificacin podemos disminuir el
ruido.
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LEY A.-Se la utiliza en Europa y tiene un sistema que trabaja con 32 canales.
A
xAy
ln1
)1
0(A
x A = 87.6
lnA1
xln1y
LEY .- Se la utiliza en Estados Unidos Y en el Japn. Este sistema trabaja con 24canales
)1ln(
)1ln( xy =>
)1(lg
1(lg
10
10 xy
)10( x = 255
x = 0 y = 0x = 1 y = 1
3. CODIFICACIN
La codificacin es un proceso por el cual se asignar un conjunto de bits o secuencia deceros o unos lgicos (binarios) a cada valor cuantificacin.fm = 8KHZ
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NC = 256 (bits) A cada nivel de cuantificacin debemos asignar 8 bits.
00112
00011
00000
NC
NC
NC
)64(64
8*8
demultiplooKbpsVs
bitsKhzVs
Ejemplo:Codificar los siguientes valores muestreados.a. 12.75 Voltios.b. 44.2 Voltios.c. 87.65 Voltios
a. 12.75 Voltios
6333.63
100*63333.0
100*
63333.0
)2551ln(
)1275.02551ln(
)1ln(
)1ln(
1275.0100
75.12
100
255
)(
)(
)(
)(
Nm
Nm
Nm
mNm
Y
Y
yY
y
y
xy
VxV
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100 | Pgina Ing. Mg. Juan Pablo Pal lo Noroa
b. 44.2 Voltios
8537.85
100*8537.0
100*
8537.0
)2551ln(
)442.02551ln(
)1ln(
)1ln(
442.0100
2.44
100
255
)(
)(
)(
)(
Nm
Nm
Nm
m
Nm
Y
Y
yY
y
y
xy
V
xV
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c. 87.65 Voltios
9863.97
100*9763.0
100*
9763.0
)2551ln(
)8765.02551ln(
)1ln(
)1ln(
8765.0100
65.87
100
255
)(
)(
)(
)(
Nm
Nm
Nm
m
Nm
Y
Y
yY
y
y
xy
V
xV