Post on 11-Mar-2020
transcript
Second-Order Systems
2
Second-Order Systems
000 xMxkxcf si
is fxkxcxM 000
onacceleratimassforces
The force-measuring spring scale
3
Second-Order Systems
i
sss
fk
xxk
cx
k
M 1000 is fxkxcxM 000
The force-measuring spring scale
i
nn
Kfxxx
002
0 2
Mk
c
kK
M
k
s
s
sn
2
Nm
1
secrad,
4
Second-Order Systems
)(2)(
)(22
2
0 sGss
K
sF
sX
nn
n
i
In transfer function (Laplace Transform)
)(2
)(22
2
0 sFss
KsX i
nn
n
5
Second-Order Systems
22
2
2
)(
nn
n
ss
K
sR
sC
22
2
2 nn
n
ss
K
R(s) C(s)
Standard form of second-order system
6
Second-Order Systems
1222
2,1 nnnnns
Characteristic equation
02 22 nnss
ซ่ึงจะได ้
7
Second-Order Systems
10 ed Underdamp.4
0 Undamped.3
1 damped Critically 2.
1 Overdamped 1.
8
Unit-Step response of
Second-Order Systems
1)(
ssRIn Laplace transform
sss
KsC
nn
n 1
2)(
22
2
22 2
21)(
nn
n
ss
s
sKsC
เราสามารถท า partial fraction
Eq.1
9
Unit-Step response of
Second-Order Systems
sssss
KsC n 1)(
21
2
1222
2,1 nnnnns
โดยท่ี
หรือ เขียนอยูใ่นรูป
Eq.2
10
Unit-Step response of
Second-Order Systems
21
2
21
2
01
0
)(ssssss
ssCA nns
s
2
3
1
21)(ss
A
ss
A
s
AKsC
โดยท่ี
เราสามารถท า partial fraction
21
2
1
2
2
2
12
1
1)(
sssssssCssA nn
ss
ss
11
Unit-Step response of
Second-Order Systems
21
2
2
2
1
2
23
2
2)(
sssssssCssA nn
ss
ss
และ
12
Unit-Step response of
Second-Order Systems
2
3
1
21)(ss
A
ss
A
s
AKsC
1222
1 nnnnns
1 , Overdamped 1. Case ท า partial fraction
โดยท่ี
1222
2 nnnnns
13
Unit-Step response of
Second-Order Systems
112
1
2122
1
22222
A
22222
2
21
2
2
2
3
122 nnnn
nn
sssA
112
1
2122
1
22223
A
22222
2
21
2
1
2
2
122 nnnn
nn
sssA
12
2
21
2
1 n
nn
ssA
โดยท่ี
14
Unit-Step response of
Second-Order Systems
2
3
1
21)(
ss
A
ss
A
sKsC
tstseAeAKtc 21
321
หาผลเฉลย Inverse Laplace transform
1
22
1
22
2
2
112
1
112
11
nn
nn
e
eKtc
15
Unit-Step response of
Second-Order Systems
16
Unit-Step response of
Second-Order Systems
222
21
2
21)(
n
n
nn
n
s
s
sK
ss
s
sKsC
tn
t nn teeKtc
1
1 , damped Critically 2. Case
2
11)(
n
n
n sssKsC
หาผลเฉลย Inverse Laplace transform
Partial fraction
17
Unit-Step response of
Second-Order Systems
18
Unit-Step response of
Second-Order Systems
0 , Undamped3. Case
sRs
KsCn
n
22
2
)(
22
2
2
)(
nn
n
ss
K
sR
sC
ssK
ssKsC
n
n
n
n
22
2
22
2 1)(
จากฟังกช์ัน่ถ่ายโอน
เปิดตาราง Laplace Transform pairs (หนา้ท่ี 18) t
s
cos1
22
2
tKtc ncos1
19
Unit-Step response of
Second-Order Systems
20
Unit-Step response of
Second-Order Systems
22 2)(
nnss
CBs
s
AKsC
10 ed Underdamp.4
ท า partial fraction
sss
KsC
nn
n 1
2)(
22
2
จากฟังกช์ัน่ถ่ายโอน
2222 2 nnn CsBsssA
2222 2 nnn CsBsAsAAs
21
Unit-Step response of
Second-Order Systems
222 2 nnn AsCAsBA
122 AA nn
10 BBA
nn CCA 202
22 2
21)(
nn
n
ss
s
sKsC
ท า partial fraction
เราจะไดค่้า
22
Unit-Step response of
Second-Order Systems
22 2
21)(
nn
n
ss
s
sKsC
10 ed Underdamp.4
ท า partial fraction
โดยท่ี
sss
KsC
nn
n 1
2)(
22
2
จากฟังกช์ัน่ถ่ายโอน
02 22 nnss Characteristic equation
1222
2,1 nnnnns
23
Unit-Step response of
Second-Order Systems
โดยท่ี
02 22 nnss
Characteristic equation
1222
2,1 nnnnns
dn js 2,1ซ่ึงจะได ้
1
frequency natural damped1 2
j
nd โดยท่ี
24
Unit-Step response of
Second-Order Systems
2222
21)(
dn
n
dn
n
ss
s
sKsC
22
1)(
dn
nn
s
s
sKsC
22
222222
2
12
nn
nnndn
ss
sss
เราจดัรูปสมการใหม่
โดยท่ี
ซ่ึงจะได ้
25
Unit-Step response of
Second-Order Systems
222221
21)(
dn
d
dn
n
ss
s
sKsC
teteKtc d
t
d
t nn
sin1
cos12
หาผลเฉลย Inverse Laplace transform
2
1
2
1tansin
11 t
eKtc d
tnหรือ
26
Unit-Step response of
Second-Order Systems
te
sd
t
dn
d n
sin
22
1
L
te
s
sd
t
dn
n n
cos
22
1
L
Inverse Laplace transform
27
Unit-Step response of
Second-Order Systems
28
Unit-Step response of
Second-Order Systems
29
Definitions of
Transient-Response Specification
• Delay time, td
• Rise Time, tr
• Peak time, tp
• Maximum overshoot, Mp
• Settling time, ts
30
Definitions of
Transient-Response Specification
31
Definitions of
Transient-Response Specification
rd
t
rd
ttetetc rnrn
sin1
cos12
เราจะพิจารณา rise time (tr )ในกรณี underdamped
จากสมการ
rdrd
tttetc rn
sin1
cos12
32
Definitions of
Transient-Response Specification
0sin1
cos2
rdrd tt
0 rnt
e
0cos
sin
1cos
cos
2
rd
rd
rd
rd
t
t
t
t
ขณะท่ี
เราจะไดว้า่
n
drdt
21tan
33
Definitions of
Transient-Response Specification
d
rt1
เราจะไดว้า่
d
dn
d
d
rt11 tan
1tan
1
21, ndnโดยท่ี
จากสมการเราพิจารณาไดว้า่ถา้ตอ้งการ rise time (tr )มีค่านอ้ย ตอ้งให ้ มีค่ามาก n
34
Definitions of
Transient-Response Specification
d
rt1
dn js 2,1
35
Definitions of
Transient-Response Specification
ttetc dd
tn
sin1
cos12
เราจะพิจารณา peak time (tp )ในกรณี underdamped โดยการหาอนุพนัธ์ของ c(t) เท่ากบัศูนย ์
0cos1
sin
sin1
cos
2
2
tte
ttedt
dc
dd
dd
t
dd
t
n
n
n
36
Definitions of
Transient-Response Specification
0cos1
sin
sin1
cos
2
2
pd
t
dpdd
t
pd
t
npd
t
n
tt
te
te
tetedt
dc
pn
pn
pnpn
p
เราพิจารณาท่ี t=tp
37
Definitions of
Transient-Response Specification
0cos1
1sin
sin1
cos
2
2
2
pd
t
npdd
t
pd
t
npd
t
n
tt
te
te
tetedt
dc
pn
pn
pnpn
p
และเม่ือ 21 nd
38
Definitions of
Transient-Response Specification
0sinsin1 2
pdd
t
pd
t
n
tt
tetedt
dcpnpn
p
21 nd
01
sin2
2
dn
pd
t
tt
tedt
dcpn
p
เม่ือ เราจะไดส้มการใหม่ดงัน้ี
011
sin 2
2
2
nn
pd
t
tt
tedt
dcpn
p
39
Definitions of
Transient-Response Specification
011
1
1sin 2
2
2
2
2
nn
pd
t
tt
tedt
dcpn
p
0
1
1
1sin
2
2
2
2
nnpd
t
tt
tedt
dcpn
p
011
sin2
2
2
2
nnnpd
t
tt
tedt
dcpn
p
40
Definitions of
Transient-Response Specification
เราจะไดส้มการใหม่ดงัน้ี
0111
sin2
2
22
2
nnnpd
t
tt
tedt
dcpn
p
0sin1 2
pd
tn
tt
tedt
dcpn
p
41
Definitions of
Transient-Response Specification
0sin pdt
,3,2,,0 pdt
pdt
d
pt
เราจะไดว้า่
หรือ
ในขณะท่ี peak time ท่ีเกิดข้ึนคร้ังแรกท่ี
ดงันั้น
42
Definitions of
Transient-Response Specification
d
Ptt
ในกรณ ีunderdamped เราจะพิจารณา Maximum overshoot (Mp) ซ่ึงจะเกิดข้ึนท่ี peak time หรือ
เราสมมุติวา่ค่าสุดทา้ยของเอาทพ์ทุมีค่าเป็น 1
1 pp tcM
43
Definitions of
Transient-Response Specification
1sin1
cos12
pdpd
t
p tteM pn
sin1
cos2
dneM p
21
eeM dn
p
เราจะไดค่้า maximum overshoot
44
Definitions of
Transient-Response Specification
%100
dne
Maximum Percent Overshoot
c
ctcM
p
p
ในกรณีท่ีค่าสุดทา้ยของเอาทพ์ทุมีค่าไม่เท่ากบั 1
45
Definitions of
Transient-Response Specification
46
Unit-Step response of
Second-Order Systems
ในกรณ ีunderdamped เราจะพิจารณา Settling time(ts)
2
1
2
1tansin
11 t
eKtc d
tn
47
Definitions of
Transient-Response Specification
n
s Tt
44
ในกรณ ีunderdamped เราจะพิจารณา Settling time(ts)
n
s Tt
33
2% criterion
5% criterion
48
Definitions of Transient-Response Specification
Ex:
256
25
2
)(222
2
sssssR
sC
nn
n
secrad 5 ,6.0 nเม่ือระบบมีค่า
49
Definitions of Transient-Response Specification
Ex:
256
25)(2
sssR
sC
50
Definitions of Transient-Response Specification
Ex:
d
rt
46.015122 nd
rad 93.03
4tantan 11
n
d
ในกรณ ีunderdamped เราจะพิจารณา rise time (tr ) จากสมการ
sec 55.04
93.014.3
d
rt
โดยท่ี
51
Definitions of Transient-Response Specification
Ex:
sec 785.04
14.3
d
pt
เราจะพิจารณา peak time (tp )ในกรณี underdamped
ในกรณ ีunderdamped เราจะพิจารณา Maximum overshoot (Mp)
095.014.343 eeM dn
p
52
Definitions of Transient-Response Specification
Ex:
ในกรณ ีunderdamped เราจะพิจารณา Settling time(ts)
sec 33.13
44
n
st
sec 13
33
n
st
2% criterion
5% criterion
53
Definitions of Transient-Response Specification
Ex: effect of gain (K)
256
50)(2
sssR
sC
54
Impulse Response of Second-Order Systems
sRss
sCnn
n
22
2
2)(
เม่ือระบบมีฟังกช์ัน่ถ่ายโอน ดงัน้ี
ส าหรับระบบท่ีมีอินพทุเป็น unit-impulse function เท่ากบั 1
22
2
2)(
nn
n
sssC
55
Impulse Response of Second-Order Systems
1
22
22
2
2)(
n
n
nn
n
ssssC
t
nntetc
2
ในกรณีท่ี
หาผลเฉลย Inverse Laplace transform
tte
s
2
1จากตาราง Laplace transform
56
Impulse Response of Second-Order Systems
1ในกรณีท่ี
หาผลเฉลย Inverse Laplace transform
t
nt
n nn
eetc
1
2
1
2
22
1212
57
Impulse Response of Second-Order Systems
10 ในกรณีท่ี
หาผลเฉลย Inverse Laplace transform
2
21sin
1
n
tn netc
58
Impulse Response of Second-Order Systems
59
Unit-Ramp response of
Second-Order Systems
60
Unit-Ramp response of
Second-Order Systems
61
Unit-Ramp response of
Second-Order Systems
62
Unit-Ramp response of
Second-Order Systems
63
Unit-Ramp response of
Second-Order Systems