manual matematica financiera

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ACREDITADA POR LA ASSOCIATION OF COLLEGIATE BUSINESS SCHOOLS AND PROGRAMS (ACBSP)

Y EUROPEAN COUNCIL FOR BUSINESS EDUCATION (ECBE)

ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD Y FINANZAS

MANUAL:

MATEMÁTICA FINANCIERA

CICLO V

SEMESTRE ACADÉMICO 2012 - I - II

Material didáctico para uso exclusivo de clase

LIMA - PERÚ

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UNIVERSIDAD DE SAN MARTIN DE PORRES

RECTOR ING. JOSÉ ANTONIO CHANG ESCOBEDO

VICE RECTOR

ING. RAÚL EDUARDO BAO GARCÍA

FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES, ECONÓMICAS Y FINANCIERAS

DECANO DR. DOMINGO FÉLIX SÁENZ YAYA

DIRECTOR DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD Y FINANZAS

DR. JUAN AMADEO ALVA GÓMEZ

DIRECTOR ESCUELA DE ECONOMÍA DR. LUIS CARRANZA UGARTE

DIRECTOR DEL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CONTABILIDAD, ECONOMÍA Y FINANZAS

DR. LUIS HUMBERTO LUDEÑA SALDAÑA

DIRECTOR DE LA SECCIÓN DE POSTGRADO DR. AUGUSTO HIPÓLITO BLANCO FALCÓN

DIRECTOR DE LA OFICINA DE GRADOS Y TÍTULOS

DR. VICTOR LORET DE MOLA COBARRUBIA

DIRECTOR DE LA OFICINA DE EXTENSIÓN Y PROYECCIÓN UNIVERSITARIA DR. LUIS ORLANDO TORRICELLI FARFÁN

DIRECTOR DEL INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN

DR.SABINO TALLA RAMOS

SECRETARIO DE FACULTAD DR. LUIS ANTONIO CUEVA ZAMBRANO

JEFE DE LA OFICINA DE REGISTROS ACADÉMICOS

SRA. BELINDA MARGOT QUICAÑO MACEDO

JEFE DE LA OFICINA DE BIENESTAR UNIVERSITARIO LIC. MARÍA R. PIZARRO DIOSES

JEFE DE LA OFICINA DE ADMINISTRACIÓN

Mo. ABOG. LUIS FLORES BARROS

COORDINADOR ACADÉMICO DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD Y FINANZAS TURNO MAÑANA

DRA. SALINAS GUERRERO, YOLANDA MAURINA

COORDINADOR ACADÉMICO DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD Y FINANZAS TURNO NOCHE

DR. ULLOA LLERENA, ANTONIO AMILCAR

COORDINADOR ACADÉMICO DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE ECONOMÍA TURNO MAÑANA Y NOCHE

MG. VIDAL CAYCHO, RENZO JAIR

COORDINADOR DE LA SECCIÓN DE POSTGRADO DE CONTABILIDAD Y FINANZAS DR. CRISTIAN YONG CASTAÑEDA

COORDINADOR DE LA SECCIÓN DE POSTGRADO DE ECONOMÍA

DR. VICTOR LORET DE MOLA COBARRUBIA

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INTRODUCCIÓN Este Manual de Matemática Financiera responde a su enunciado tanto como es

dable responder, al tratarse de una obra de matemática aplicada destinada a estudiantes de Ciencias Financieras y Contables, Ciencias Económicas y Ciencias Administrativas, por ello el objetivo primordial es el de proveer al

alumno de una base firme de las destrezas matemático financieras que son necesarias para el ejercicio de su profesión, en momentos en los que el mundo

de las finanzas desea lograr para sus capitales – dinero -, la maximización de sus beneficios y rendimientos.

Este documento es fruto de la experiencia adquirida a través de más de treinta años de docencia universitaria en el curso de Matemática Financiera y

Actuarial. Antes de él, se experimentó muchas separatas y folletos con baterías de teoría y práctica del curso que fueron acumuladas en el tiempo y que finalmente compilados han permitido producir el presente texto sintetizado.

Sin salir de los límites de un tratado de ésta naturaleza creo haber condensado

cuanto es necesario y provechoso que conozcan mis alumnos respecto a la matemática financiera aplicada al quehacer empresarial; he puntualizado y simplificado claramente la información mínima indispensable respecto a la

utilización del cálculo actuarial. En cada capítulo se presenta un tema principal y afines con explicaciones y ejemplos, seguido de ejercicios desarrollados y a

continuación ejercicios por resolver. La secuencia de los capítulos está diseñada de tal manera que no es necesario conocer el tema precedente para resolver problemas de temas siguientes.

El manual en su primer capítulo presenta la esencia de nuestro curso como es

toda la teoría del Interés partiendo del Interés Simple, el Descuento, el Interés Compuesto y Descuento Compuesto, luego siguen los capítulos que tratan sobre la Teoría de la renta tocándose tópicos como son las Anualidades y sus

variantes. Luego la parte final trata de las múltiples aplicaciones la matemática financiera tratando las Amortizaciones y Fondos de Amortización, las

Inversiones, Bonos y Acciones, la Depreciación y para terminar los capítulos de la Matemática Actuarial, sobre Rentas Vitalicias y Seguros de Vida.

En el desarrollo he procurado ser claro y conciso en lo que a la teoría se refiere; los problemas propuestos se han dosificado por su grado de

complejidad de menos a más; en la resolución de los problemas he adoptado la fórmula que corresponde a cada caso, y se han propuesto problemas para resolver al final de cada punto tratado.

Para concluir aprovecho gustoso la ocasión para manifestar mi agradecimiento

a cuantos Gerentes de Empresas, Economistas, Contadores, Administradores de Empresas, Productores o Brockers de Seguros y de AFPs he consultado y que con tanta amabilidad como competencia me han ayudado con sus casos,

informes, consejos, sugerencias e indicaciones.

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DIAGRAMA DE CONTENIDOS

EL

INTERÉS

ANUALIDADES O

RENTAS

AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE

AMORTIZACIÓN

APLICACIONES

MATEMÁTICA FINANCIERA

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UNIDAD I

INTERÉS SIMPLE

DESCUENTO

INTERÉS

COMPUESTO

EL INTERÉS

DESCUENTO COMPUESTO

BANCO CENTRAL DE LA

RESERVA DEL PERÚ

• Emitir y regular la moneda nacional

• Dirigir y normar el sistema monetario

• Centralizar control de reservas de oro

• Estabilizar el cambio y la tasa de

interés

• Fija límites de inversión de AFP’s en el

exterior

• Redescuento de bancos

• Operaciones de mercado abierto

• Efectuar operaciones de cambio

• Recibir depósitos del sistema financiero

• Actuar como agente de compensación

de cheques

Funciones principales Operaciones con los bancos

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UNIDAD I: INTERÉS

Introducción al Interés Es un tema fundamental para todo aquel que quiera conocer cómo se desenvuelven o desarrollan las operaciones financieras, en este se explicará

conceptos fundamentales sobre los diferentes tipos de interés y los modelos matemáticos que estos describen y valora su importancia en las operaciones

financieras.

CONTENIDOS PROCEDIMENTALES

Formaliza y expresa con propiedad los conceptos teóricos el interés en el tiempo.

Identifica y explica las variables que participan en la generación de los modelos matemáticos correspondientes.

Distingue a través de casos las diferentes situaciones que se puedan presentar.

CONTENIDOS ACTITUDINALES

Valora la importancia de los modelos matemáticos para la resolución de

casos en operaciones financieras

Asume una actitud positiva acerca de la aplicación del interés a temas

financieros.

Aprecia la importancia del empleo de los modelos matemáticos correspondientes en la solución de casos.

CONTENIDOS CONCEPTUALES

UNIDAD I: INTERÉS

Tema 1. Definición de Interés Simple y sus factores, tasa de interés y tasa

interna de retorno. Cálculo del tiempo. Interés Simple exacto y ordinario. Modelo matemático del interés simple y sus variaciones.

Ejercicios de aplicación. Tema 2. Monto y sus aplicaciones. Capitalización y Actualización. Valor actual o

presente de una deuda, diagramas de tiempo-valor y de flujo de caja.

Descuento Racional o matemático. Ejercicios de aplicación. Fuente: Jaime A. García “Matemáticas Financieras”. Editorial Pearson.

4ta. Edición 2000. Lectura:Interés Simple, pp. 53 a 57

Tema 3. Pagos parciales y amortización a plazos. Regla Americana. Rutina de

aplicación y Regla Comercial. Rutina de aplicación. Casos prácticos. Ejercicios y problemas.

Fuente: Alberto Álvarez Arango "Matemáticas Financieras", Editorial Mc. Graw Hill 3ra. Edición Bogotá Colombia 2005. Lectura: Interés, pp. 1 a 18

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Tema 4. Descuento: puntos de vista del hombre común y punto de vista

financiero. Descuento ligado operaciones comerciales. Descuento único, descuentos sucesivos o en serie o en cadena. Tasa única

equivalente a una serie de descuentos sucesivos. Casos prácticos. Ejercicios.

Tema 5. Descuento Bancario o Financiero, definiciones. Modelo Matemático

descriptivo. Cálculo del valor presente de una deuda a descuento. Casos prácticos. Ejercicios y Problemas.

Fuente: Alberto Álvarez Arango Op. cit Lectura: Principios de equivalencia Descuento Comercial y Descuento Bancario, pp. 19 a 42.

Tema 6. Interés Compuesto. Operaciones financieras en el mediano y largo plazo. Interés compuesto caso octava maravilla del mundo, caso del

efecto de la bola de nieve.-Importancia o del Interés Compuesto. Definiciones previas: capitalización, periodo de interés, frecuencia de conversión, tiempo y tasa de interés. Modelo matemático descriptivo,

deducción de la fórmula. Aplicaciones. Cálculo del monto compuesto ejercicios problemas. Valor presente a interés compuesto de un capital,

Ecuaciones de valor. Ley del crecimiento orgánico. Fuente: Jhonny de Jesús Meza Orozco “Matemáticas Financieras Aplicadas” ECOE Ediciones 2da. Edición. Bogotá Colombia 2004.

Lectura: Interés Compuesto, pp. 93 a 158. Tema 7. Descuento a interés compuesto. Descuento compuesto bancario.

Valor actual de una deuda a descuento compuesto. Valor Futuro a descuento compuesto. Aplicación de Valor presente a descuento compuesto en procesos de depreciación. Casos aplicaciones y

problemas. Práctica dirigida laboratorio Nº 2

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Tema 1

Interés Simple Introducción Si arrendamos un bien inmueble valorizado en $90 000,00 –casa, oficina o

tienda comercial-, pagamos por el derecho de ocupación un alquiler de $12 000,00 fijado por lapsos de tiempo medidos por meses, trimestres, semestres o

años.(Para el caso es anual.) Si pedimos un préstamo a un banco de $90 000,00 también pagamos una cierta suma de dinero por el alquiler del dinero prestado -digamos que sean

$12 000,00 anuales- a este producto que pagamos se le llama interés.

Entonces los inversionistas en bienes raíces tienen su dinero invertido en inmuebles y la remuneración de su inversión se le llama alquiler, mientras que el beneficio de los capitales que prestan o alquilan las entidades del sistema

financiero se llama interés, es decir tanto el alquiler como el interés son producto de capitales invertidos.

Definiciones del Interés que la literatura de la especialidad refiere: Definición 1.- Se llama interés a la ganancia o utilidad producida por un

préstamo, depósito o inversión mediante una operación ya sea comercial bancaria o financiera. (Fernando Dávila Atencio).

Definición 2.- Interés es el pago por el uso del dinero ajeno. También puede

decirse que interés es el dinero que produce un capital al invertirlo, al otorgarlo

en préstamo o al pagarlo por la adquisición de bienes y servicios en operaciones crediticias. (José Luis Villalobos).

Definición 3.- El interés es el precio a pagar por disponer de un capital y que

depende en gran medida de los siguientes factores:

-Del beneficio económico o social a obtener con la utilización de dicho capital, -Del tiempo de la operación, a mayor tiempo mayor interés aunque la tasa de

interés permanezca invariable, -De la seguridad sobre el buen fin de la inversión, y del respaldo de la persona que solicita el crédito. Se supone que a mayor riesgo debe corresponder una

mayor tasa de interés y viceversa, -De la situación del mercado de dinero. Una mayor demanda sobre la oferta

presionará a un incremento de la tasa de interés, o a elegir entre aquellos demandantes de capital que presenten menor riesgo potencial. -De otras variables de carácter económico, político, social, etc. (Carlos Aliaga

Valdez). Definición 4.- El interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un

dinero tomado en préstamo.(Lincoyán Portus Govinden). Definición 5.- Podemos definir el interés como la ganancia generada por un

capital invertido en forma productiva. (Jorge Valencia de la L.).

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Definición 6.- El interés es la renta que se paga por el uso del dinero (Robert y

Hellen Cissell). Definición 7.- Remuneración que un prestatario paga a un prestamista por la

utilización del dinero. (Banco Central de Reserva del Perú).

Definición 8.- Interés es la cantidad que se paga por el uso del dinero que se

pide prestado.(Loyce C. Gossage, Ed. D.) Existen en la literatura del curso muchas otras definiciones acerca del tema del

interés, he consignado solo ocho de ellas, de autores nacionales y extranjeros y en conclusión notamos que todos definen el interés como remuneración,

suma de dinero que se paga, ganancia generada por el dinero invertido, etc., todas están en lo cierto, unas mas completas y complejas que otras, pero en resumen encierran lo mismo.

El interés definido desde un punto de vista utilitario presenta dos situaciones:

Punto de vista del prestamista.- Para un prestamista, es el dinero que cobra por los créditos, colocaciones o inversiones que hace. Punto de vista del prestatario.- Para un prestatario, el interés es el dinero que

paga por el dinero que recibe o toma en calidad de préstamo.

En la práctica el interés se calcula básicamente en función de los siguientes factores: el Capital o Principal o Stock inicial de efectivo, la tasa de interés y el tiempo o plazo; complementariamente a estos factores se debe tomar en

cuenta el riesgo que cada operación en particular acarrea, también las variables económicas, políticas y sociales, que se dan en el entorno

operacional, todas hacen que la tasa de interés y los plazos varíen. Definición de los factores que determinan el Interés:

El Capital o Principal o Stock Inicial de Efectivo ( P ), es la suma prestada, colocada, invertida o recibida en una operación con interés, este puede estar

dado en moneda nacional o en moneda extranjera. También se le llama valor actual o valor presente o valor líquido o volumen monetario o dinero, etc. La Tasa de Interés ( i ), es el índice o indicador del costo o precio del dinero en

una economía en particular. Se dice que cada país tiene un diferente espectro de tasas de interés - entendiéndose como tal, aquel que se constituye por

todos los valores que la tasa de interés puede asumir en un momento determinado en operaciones financieras pasivas y activas -.

La tasa de interés se enuncia o expresa como tanto por ciento (%), pero se le trabaja ecuacionalmente a tanto por uno en las fórmulas financieras,-valor que

obtiene simple-mente desplazando coma decimal dos lugares a la izquierda y quitando el símbolo % -. Algunos autores citan la importancia de la tasa de interés por ser un indicador de la salud económica de un país y por su utilidad

en Planificación económica.

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El Tiempo o Plazo ( t ), es el factor que refiere el periodo durante el cual el

prestatario estará en posesión de todo o parte del dinero prestado. Cuando el tiempo de un problema es expresado por una fracción de año, se manejará

mediante una fracción a/b en donde el numerador “a” expresará el número de meses o días citados en el caso-problema y el denominador “b” dependerá de la expresión que contenga el numerador, si son meses el denominador será 12

y si son días será 360. Interés Simple ( I ).- Su modelo matemático simplemente lo define como el

producto de los factores Capital o Principal ( P ), la Tasa de interés ( i ) y el tiempo ( t ). En esta operación el capital o principal permanece constante durante el plazo de la operación.

Interés Simple = Capital o Principal x Tasa de Interés x tiempo

I = P . i . t

Esta fórmula o modelo matemático nos refiere que el interés es directamente proporcional al capital, tasa de interés y el tiempo o plazo. Ejemplo: Una pareja compra una casa, financiada con un préstamo de $50

000,00 a la tasa del 15% de interés simple. El plazo total del préstamo es de 10

años. a) ¿Cuál será el interés a pagarse durante todo el plazo?,

b) ¿Cuál es el interés vencido del primer trimestre? y c) ¿Cuál es el interés vencido de los primeros 45 días?

Factores:

I = ? P = $50 000,00 i = 15% o 0,15

t1

=10 años t2

= 3 meses t3

= 45días

Rpta. Este problema tiene tres respuestas

I1

= 50 000 x 0,15 x 10 = $75 000,00

Que corresponde al plazo total de la deuda que es de 10 años

I2

= 50 000 x 0,15 x 3/12 = $1 875,00

Que corresponde a la segunda interrogante, por un tiempo de 3 meses. I3

= 50 000 x 0,15 x 45/360 = $937,50

y esta última que corresponde al interés vencido por 45 días. Como se aprecia en el desarrollo del ejercicio los factores capital y tasa de

interés se mantienen constantes, siendo el factor tiempo el elemento que particularmente ha variado para que se note su modo operativo o de trabajo en

cada caso.

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Ejemplo: Juan Alegre recibió un préstamo de $35 000,00 al 18% para invertirlos

en un negocio. ¿Cuánto pagará por un año al prestamista por concepto de interés?

Factores: I =? P = $35 000 i = 18% o 0,18 t = 1 año I = 35 000 x 0,18 x 1 = $6 300,00

Rpta. El Sr. Juan Alegre pagó al prestamista $6 300 por concepto de intereses. Si el plazo fuera por dos años. Al final de dicho plazo el interés devengado

será: I = 35 000 x 0,18 x 2 = $12 600,00

Al final de un n - ésimo año el total de intereses devengados será de: I = 35 000 x 0,18 x n

Para que la ecuación funcione los factores tasa de interés y tiempo deben ser homogéneos, es decir si la tasa de interés es anual, el tiempo de la operación

deberá ser expresado en años. Si la tasa fuera mensual, el tiempo habrá de citarse en meses.

Las aplicaciones fundamentales del interés simple se tienen en las cuentas de ahorro, los certificados de depósito, las cuentas a plazo, las letras de cambio,

los pagarés, etc.

Determinación de los factores Capital o Principal, Tasa de interés y Tiempo o Plazo: Cuando se conoce tres elementos de la ecuación del interés es posible

determinar el cuarto factor a partir de las siguientes ecuaciones:

Capital = tiempoxerésdeTasa

SimpleInterés

int Tasa de Interés =

tiempoxCapital

SimpleInterés

Tiempo = InterésdeTasaxCapital

SimpleInterés

Problemas de aplicación ¿Qué inversión fue la que produjo en 2 años un interés de S/.34 566,00 si la tasa de interés de la operación era del 24%?

Factores: P= ? I = S/.34 566,00 i = 24% o 0,24 t = 2 años

P = 224,0

56634

x = S/. 72 012,50

¿Cuál fue el crédito que se otorgó si se pagó $22 222,22 dólares americanos por concepto de intereses al cabo de 9 meses si la tasa de interés que se acordó fue de 17,5%?

Factores: P = ? I = U.S. $22 222,22 i = 17,5% o 0,175 t = 9 meses

12

P = 12/9175,0

22,22222

x = $ 169 312,15

¿A qué tasa de interés anual tendrá que colocarse un capital de S/.23 456,78 para que en el plazo de 30 meses produzca S/. 12 345,67?

Factores: I = S/.12 345,67 P = S/.23 456,78 t = 30 meses i = ?

i = 12/3078,45623

67,34512

x = 0,210526252964 ó 21,05%

¿Durante qué plazo deberá colocarse $11 222,33 para que al 9,6% anual produzca un interés de $3 232,03?

Factores: I = $3 232,03 P = $ 11 222,33 i = 9,6% o 0,096 t = ?

t = 096,033,22211

03,2323

x = 3 años

Si el resultado de un problema de cálculo de tiempo fuera fraccionario se multiplicará dicha fracción por 360 días y obtendrá el número de días al que se

aplicará el redondeo correspondiente. ¿Determinar el plazo de inversión necesario para que un capital de $678 901, sea remunerado con un interés de: $144 500, si la tasa que rige la operación es

del 14,4%? Factores: I = $144 500 P = 678 901 i = 14,4% o 0,144 t = ?

t = 144,0901678

500144

x = 1,478083288 años

Para convertirlo a días multiplicamos el resultado por 360 y tenemos:

t = 1,478083288 x 360 = 532,1099836 o 532 días

Una persona colocó la cuarta parte de su capital al 36% anual durante 4 meses y el resto al 24% por un año. Si por la primera inversión cobró S/. 84 000,00 de intereses. ¿Cuánto cobró de interés por el resto? ¿Cuál era su capital? ¿Qué

suma invirtió en cada caso?¿Cuántorecibió de intereses en total ?

Rpta. Primera: ¿Cuánto invirtió en el primer caso? Como colocó la cuarta parte de su capital este será igual a P/4=? El interés que recibió por dicha inversión fue de S/.84 000 = I; tiempo de inversión t

1 = 4 ms.

La tasa de interés fue del: 36% Luego tenemos

P/4 = 36,012/4

84000

x = S/. 700 000

El capital total invertido P = ? P/4 = S/.700 000 P =700 000 x 4 = S/. 2´800 000

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El resto invertido o segunda inversión: 2´800 000 – 700 000 = S/.2´100 000

Interés rentado por la segunda inversión: I = 2´100 000 x 0,24 x 1 = S/.504 000 Cobró en total por intereses: 84 000 + 504 000 = S/.588 000

Calcular los intereses rentados por $25 000, $33 500 y $44 750 durante 45, 57 y 73 días respectivamente a la tasa del 9%. Como es la misma tasa de interés se puede aplicar el método de los números mercantiles o numerales y tenemos

I =[25 000x0.09x45/360]+[33 500x0.09x57/360]+[44 750x0.09x73/360]= I = 281,25 + 477,375 + 816,6875 = $ 1 575,31

Si multiplicamos 0,09 x 360 el denominador Δ = 4 000 que sería el número mercantil o númeral que corresponde y el interés rentado será I = $1 575,31

TALLER N° 1 ACTIVIDAD APLICATIVA

INTERÉS SIMPLE Objetivo:

Verificar la comprensión acerca de los elementos del interés simple Autoevaluación: dadas las características prácticas e instrumentales del curso, a continuación se formulan ejercicios de comprobación de los diferentes puntos

dictados: 1. Determinar el interés moratorio cobrado a una letra de cambio no pagada

a su vencimiento, si su valor nominal es de $4 567,89 si es cancelada el día de hoy 14 de marzo de 2008 sabiendo que venció el 04 de diciembre de 2007 si se cobra una tasa de interés del 33%.

2. Hallar el capital prestado en una operación que liquidó por concepto de intereses S/. 2 222,22 entre el 15 de octubre de 2007 y el día de hoy 14 de marzo de 2008 si la tasa de interés que se aplicó fue del 18,5%.

3. ¿A qué tasa de interés de prestaron $25 000,00 si se paga por concepto de intereses

S/.1 234,56 entre el 20 de septiembre del 2006 y el 28 de febrero del 2008?

4. ¿Cuál fue el plazo de inversión de un principal de € 83 444,55 si se

liquidaron intereses por la suma de € 12 345,67, a la tasa de 12,75%.?

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Tema 2

El Monto o Valor Futuro

Cuando los intereses producidos por un capital determinado se suman a éste, la cantidad que se obtiene se llama monto, factor que denotaremos por la letra

S mayúscula. Es decir

S = P + I ( 1

)

Si reemplazamos en ( 1

) al factor I por sus factores que lo determinan nos

queda: S=P + P.i.t

Como observamos el factor P se repite en el miembro de la derecha de la igualdad lo factorizamos y nos queda:

S = P [1 + i. t],

que es la fórmula ( 2

) para calcular el monto de una obligación sin pasar por el

cálculo previo del interés.

Problema de aplicación: Una persona solicita un préstamo de $25 000 dólares al 18% anual durante 56 días. ¿Cuánto deberá pagar al vencer el plazo? Factores I = ? S = ? P = $25 000 i = 18% o 0.18 t = 56 días

Podemos obtener el resultado de dos maneras:

1ra. Calculando primero el interés y lo sumamos al capital prestado I = 25 000 x 0,18 x 56/360 = 700,00

Interés que sumamos al capital y nos queda

S = 25 000 + 700 = 25 700.

La segunda opción es directa y aplicamos la fórmula ( 2

)

Aplicando la fórmula del monto obtenemos: S = 25 000 [1+ (0,18) x (56/360)]= 25 700

El monto se utiliza para valuar instrumentos financieros en el corto plazo a interés simple, tales como letras de cambio, pagarés, intereses moratorios y compensatorios por plazos relativamente cortos, etc.

Valor presente de una deuda a interés simple.

Es aquel valor que tiene un instrumento financiero en una fecha anterior a la de su vencimiento. La fórmula de determinación del valor presente la obtenemos despejando el factor capital de la ecuación de monto

P = ti

S

.1 Fórmula ( 3 )

Problemas de aplicación:

Determinar el valor presente de una letra de cambio que tiene un valor de vencimiento de $ 23 456,67 que se vende 75 días antes de su vencimiento a la tasa del 24% de interés anual

Factores: P = ? S = $23 456,67 i = 24% o 0,24 t = 75 días

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Aplicando la fórmula ( 3 )

P = )360/7524,01(

67,45623

x = $ 22 339,69

¿Cuánto se pagó por un pagaré cuyo valor de vencimiento era de S/. 333 333,33, que se vendió faltando 100 días para su vencimiento a la tasa de 27.5% y luego nuevamente faltando 45 días a la tasa de 33%?

Parte 1 Factores : P1

= ? S = S/.333 333,33 i = 27,5% o 0,275 t = 100 días

P1 = )36/100275,01(

33,333333

x = S/. 309 677,416258

Parte 2 Factores: P2

= ? S= S/.333 333,33 i = 33% o 0,33 t = 45 días

P2 = )360/4533,01(

33,333333

x = S/. 320 128,05

TALLER N° 2 ACTIVIDAD APLICATIVA MONTO A INTERÉS SIMPLE Y VALOR PRESENTE

Objetivo:

Verificar la comprensión acerca de los elementos del monto y el valor presente Autoevaluación: Dadas las características prácticas e instrumentales del curso, a continuación se formulan ejercicios de comprobación de los diferentes puntos

dictados: 5. Determinar el monto o valor de vencimiento o valor futuro anotado en una

letra de cambio que se emitió al financiar una venta de $34 123,45 a la tasa del 21% de interés entre el día de hoy 14 de marzo de 2005 sabiendo que su vencimiento es el 04 de diciembre de 2005.

6. Hallar el capital prestado en una operación que se liquidó con pagaré de $56 789,12 entre el 04 de octubre de 2004 y el día 29 de septiembre de

2005 si la tasa de interés que se aplicó fue del 14,25%. 7. Determinar el valor presente de una letra de cambio de $50 000,00 que

se vendió a la tasa del 21% de interés el día de hoy 11 de abril de 2005

sabiendo que su vencimiento es el 04 de septiembre de 2005. 8. Hallar el capital prestado en una operación que se liquidó con pagaré de

$56 789,12 entre el 04 de octubre de 2004 y el día 29 de septiembre de 2005 si la tasa de interés que se aplicó fue del 14,25%.

Tema N° 3

Amortización a Interés Simple o Pagos Parciales

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En el desarrollo de este tema trata de aplicaciones del interés simple a

través de casos prácticos respecto al tratamiento que reciben las

amortizaciones que se hacen a deudas en términos del interés simple. Tratará de Casos como el de la regla de los Estados Unidos de Norteamérica (USAR) y

Regla Comercial o del Comerciante o Merchant Ruler (MR). En el desarrollo en si el alumno aplicará lo aprendido en los dos primeros temas estudiados ya que a través de una rutina para cada regla se determinará

saldos pendientes de pago, luego de haber sido amortizadas las deudas respectivas.

El enfoque es práctico en base a casos. Por ejemplo: La Empresa de Inversiones A & B S.A. obtuvo un préstamo de $ 4’500 000,00

el 28 de abril del 2003 con vencimiento al 02 de abril del 2008, a la tasa del 20% de interés. Entre las partes se acuerda la aceptación de amortizaciones

proponiendo el deudor el siguiente calendario de amortizaciones: 1ra. El 23 de abril del 2004 importe $ 1’400 000,00 2do.El 20 de Octubre del 2004 importe $ 600 000,00

3ro.El 17 de abril del 2005 importe $ 800 000,00 4to.El 10 de Octubre del 2005 importe $ 900 000,00

5to.El 9 de Mayo del 2006 importe $ 750 000,00 6to.El 30 de septiembre del 2006 importe $ 850 000,00 7mo.El 14 de febrero del 2007 importe $ 1’000 000,00

Si las amortizaciones fueron tratadas por las reglas en estudio, determinar su saldo en la fecha de vencimiento. En este caso el alumno a través de una práctica dirigida resuelve en aula el

problema previa referencia del profesor acerca de los pasos a seguir en cada caso. En la práctica al aplicarse los conocimientos el alumno resolverá dos

situaciones totalmente diferentes es decir las respuestas de la aplicación de ambas reglas reporta resultados diferentes, aunque en ambas situaciones los procesos que se siguen son lógicos.

Adicionalmente se propone para el mismo caso la aplicación de la M.R.

TALLER Nº 3 ACTIVIDAD APLICATIVA AMORTIZACIÓN A INTERÉS SIMPLE

Se propone a los alumnos la práctica intensiva en sus casas de problemas que se entregarán por escrito, para su correspondiente desarrollo.

AUTOEVALUACIÓN El Informe por escrito respectivo lo tendrá que presentar en la clase siguiente y

será anotado en el registro su cumplimiento o no, como factor de referencia para una evaluación en parte subjetiva por parte del profesor.

17

TEMA N° 4

El Descuento

En el desarrollo de este tema se hace un enfoque inicial, respecto a los puntos de vista existentes para el tratamiento o estudio del descuento: el punto de

vista del hombre de la calle y punto de vista financiero o bancario. El hombre común lo relaciona con aspectos de la compra venta de bienes y servicios y para él, la palabra descuento la interpreta como una rebaja

sustantiva que se aplica o deduce de un precio conocido o precio de lista de bien de capital artículo o servicio que se concede por alguna razón causa

motivo o circunstancia. Y en estos casos los descuentos se clasifican en: Únicos y

Sucesivos, En Serie o En Cadena o Eslabonados

Al respecto, se dice tal como lo refiere su expresión descuento único aquel que

se deduce directamente si esta expresado por una cantidad o previa cuantificación también se deduce del precio de lista o precio marcado de un bien artículo servicio

Ej. Un producto que vale S/.120,00 le aplican un descuento de S/.20,00 luego

por él pagaré S/.100,00. Una tienda hace descuento de temporada del 25% a sus productos en general.

¿Si una persona compra S/.360,00 de ellos, el valor líquido a pagar será?. Para ello previamente tengo que cuantificar el interés es decir determino el 25% de

360 que es 90, por tanto el valor líquido a pagar por la compra con el descuento único del 25% es de 360 – 90 = S/.270,00

Respecto a los descuentos sucesivos en serie o en cadena estos tienen que cumplir las siguientes propiedades: 1ra. No se pueden sumar dado que su

deducción o aplicación es uno por uno a saldos insolutos, aunque después veremos que se pueden convertir a una tasa única equivalente (T.U.E.) cuya fórmula empírica dice lo siguiente:

TUE = 1 - [ (1 – i

1) (1 – i

2)...........(1 – i

n) ]

Luego para aplicarlos en sí se les deduce uno por uno.

Ejemplo: Si la Empresa Avícola Santa Ángela ofrece descuentos del 20% +

12% + 8% + 2,5% a sus compradores mayoristas de huevos, por compras mayores de S/. 50 000,00. Si la Tienda Comercial Central hace una compra de S/. 75 000,00. ¿Cuánto pagará por su compra finalmente si se favorece con los

descuentos antes referidos? Rpta.

Valor Original de la compra: S/. 75 000,00 Menos el 1er. Descuento del 20% 15 000,00 Saldo después de deducir 1er. Dcto 60 000,00

18

Menos el 2do. Descuento del 12% 7 200,00

Saldo después de deducir el 2do. Dcto. 52 800,00 Menos el 3er. Descuento del 8% 4 224,00

Saldo después de deducir el 3er. Dcto. 48 576,00 Menos el 4to. Descuento del 2,5% 1 214,40 Por ser el último descuento por deducir

se le llama Saldo a pagar o valor líquido S/. 47 361,60 Resultado que también se podría obtener si aplicamos la TUE, es decir si

convertimos las 4 tasas de descuento en una tasa única equivalente aplicando la fórmula a la siguiente información: Si d

1= 20% o 0,2; d

2= 12% o 0,12; d

3= 8% o 0,08 y d

4= 0,025

TUE = 1 - [ (1- 0,2)(1-0,12)(1-0,08)(1-0,025)] = 0,368512

Luego si el valor bruto de la compra es de S/.75 000,00 y a este le deducimos el 36,8512% de descuento único tendré un valor líquido a pagar por la compra de :

75 000 – (0,368512 x 75 000) = 75 000 – 27 638,40 = S/.47 361,60

TALLER Nº 4 ACTIVIDAD APLICATIVA

El Descuento Comercial Objetivo:

Verificar la comprensión acerca de los elementos del descuento comercial

Se propone a los alumnos la práctica intensiva en sus casas de problemas que se entregarán por escrito, para su correspondiente desarrollo. AUTOEVALUACIÓN

Resolver los siguientes problemas: 1. Determinar el valor líquido a pagar en los siguientes casos:

a.- Un aceite para autos se vende a S/.67,50 el galón y por una promoción se hace un descuento de S/.15,00. b.- Una tienda vende sus artículos de verano con un descuento del 35%, si

una persona hace una compra de S/. 980,00 y se beneficia con el descuento antes referido.

2.- Tiendas Quality por fin de temporada vende todos los artículos de temporada con descuentos sucesivos del 25% +18% + 10%. Para un comprador de dichos artículos por la suma de S/.3 333,33. Deduciendo los

descuentos uno por uno y aplicando la TUE 3.- La Distribuidora de Alimentos S.A. ofrece a sus compradores de dulces

importados descuentos del 17,5% + 12,5% + 7,5% + 4,5%. Si la Tienda PUN DUN GUN EIRL, hace una compra por la suma de S/.123 456,78, de los artículos antes mencionados, Deduciendo los descuentos uno por uno y

aplicando la TUE. 4.- Determinar la TUE para los siguientes descuentos sucesivos:

a.- 20% + 20% b.- 25,5% + 15,4% + 5,6% c.- 30,75% + 20,25% + 10,875%

d.- 7,375% + 5,125% + 3,250 + 1,625%

TEMA N° 5

19

El Descuento Financiero o Bancario

En el mundo financiero las operaciones comerciales se realizan a través del

crédito y el pago se efectúa mediante documentos o instrumentos comerciales que son los llamados documentos de crédito, tal es el caso de las letras de

cambio, los pagarés, obligaciones financieras, etc, que tienen el valor de pago referido en su contenido. En estos instrumentos, la persona deudora al aceptarlos adquiere el compromiso de pago dentro de un tiempo determinado.

El acreedor que recibe estos documentos no tiene necesidad de esperar a su vencimiento para hacerlos efectivos o líquidos, ya que puede cobrarlos antes

en la institución bancaria con la que maneje sus operaciones financieras, lógico será que al venderlos recibirá una suma menor que la consignada en los documentos, ya que la entidad financiera le descontará los días de anticipación

o días que faltan para vencimiento. Esa diferencia valuada a partir del valor registrado en el documento constituye el Descuento Financiero o Bancario o

Simple, es un interés sustractivo o adelantado o negativo. Su fórmula o modelo matemático simplemente define al Descuento Simple o Bancario o Financiero y denota por la letra mayúscula D como el producto de

los factores Monto o valor de vencimiento o Valor Futuro (S), la tasa de interés cobrada por adelantado a la que se llama tasa de descuento denotada por la

letra (d) y el tiempo de anticipación al vencimiento por el que se practica la operación. Descuento Simple = Monto o Valor de Vencimiento o Valor Futuro x Tasa de

Descuento x Tiempo D = S . d . t

También se utiliza con frecuencia la fórmula del valor líquido: Valor Líquido P = Monto o Valor de Vencimiento Valor Futuro menos

Descuento Simple

P = S – D

Si reemplazamos D por los factores que lo determinan nos queda:

P = S – S.d.t Como vemos el factor monto se repite, por ello factorizamos y nos queda:

P = S (1 – d . t)

Problema de aplicación: Una letra de cambio de valor de vencimiento $22,500 va a ser vendida el día de hoy en el Banco Interamericano de Finanzas, cuando faltaban 60 días para el vencimiento si el banco aplica una tasa de descuento

del 25%. ¿Cuál será la retención o descuento practicado por el banco al documento, y cuál será el valor líquido abonado por dicho instrumento?

Factores: D = ? VF = $22 500 d = 25% o 0,25 t = 60 días Aplicando la fórmula del Descuento tenemos:

D = 22 500 x 0,25 x 60/360 = $937,50

20

Para determinar el valor líquido aplicamos:

P = 22 500 – 937,5 = $21 562,50

También si queremos obtener directamente el valor líquido sin pasar por el cálculo previo del Descuento aplicamos la ecuación respectiva y tenemos:

P = 22,500 [1 – (0,25) (60/360)] = $21 562,50 Problema de aplicación: Un pagaré de valor de vencimiento $27 850,00 va a

ser vendido el día de hoy en el Banco Interbank, cuando faltaban 180 días para el vencimiento si el banco aplica una tasa de descuento del 27,75%. ¿Cuál será la retención o descuento practicado por el banco al documento, y cuál

será el valor líquido abonado por dicho instrumento? Factores: D = ? VF = $27850,00 d = 27,75% o 0,2775 t = 180 días

Rpta. Aplicando la fórmula del Descuento tenemos:

D = 27 850 x 0,2775 x 180/360 = $3864,1875

Para determinar el valor líquido aplicamos: P = 27 850 – 3864,1875 = $23 985,8125

También si queremos obtener directamente el valor líquido sin pasar por el cálculo previo del Descuento aplicamos la ecuación respectiva y tenemos:

P = 27 850 [1 – (0,2775) (180/360)] = $23 985,8125

Problema de aplicación: Una obligación financiera paga a su vencimiento

$360,000 va a ser vendida el día de hoy al Scotianbank, cuando faltan 540 días para el vencimiento si el banco aplica una tasa de descuento del 14,5%. ¿Cuál será la retención o descuento practicado por el banco al documento, y cuál

será el valor líquido abonado por dicho instrumento? Factores: D = ? VF = $27 850 d = 14,5% o 0,25 t = 540 días

Aplicando la fórmula del Descuento tenemos: D = 360 000 x 0,145 x 540/360 = $78 300,00

Para determinar el valor líquido aplicamos:

P = 360 000 – 78 300 = $281 700,00 También si queremos obtener directamente el valor líquido sin pasar por el

cálculo previo del Descuento aplicamos la ecuación respectiva y tenemos: P = 360 000 [1 – (0,145) (540/360)] = $281 700,00

Problema de aplicación: Determinar el valor de vencimiento de una letra de

cambio si con ella se consigue un financiamiento de $2’250 500,00 documento

que va a ser emitido el día de hoy siendo su vencimiento programado a 5 años si el banco aplica una tasa de descuento del 7,5%. Factores: S= ? P = $2’250 500,00 d = 7,5% o 0,075 t = 5, años

Para determinar el valor futuro aplicamos su fórmula de determinación:

S = ).(1 td

P

P = )5)(075,0(1

500250'2 = S/. 1’406 562,50

21

TALLER Nº 5 ACTIVIDAD APLICATIVA DESCUENTO BANCARIO O FINANCIERO

Objetivo:

Verificar la comprensión acerca de los elementos del descuento bancario o financiero.


Resolver los siguientes problemas: 1.- Hallar el valor líquido pagado por una obligación financiera que paga al

vencimiento $250 000,00 Si se descuenta a la tasa del 21%, entre el 19 de marzo del 2006 y el 20 de junio del 2008

2.- Un proyecto de inversión requiere de $2’000 000,00 en efectivo para su ejecución dinero que sólo se consigue utilizando una línea de crédito de

descuento de pagarés autorizada en el Banco y en la que se cobra el 9,875% de descuento a un plazo de 5 años.

El Informe por escrito respectivo lo tendrá que presentar en la clase siguiente y será anotado en el registro su cumplimiento o no, como factor de referencia

para una evaluación en parte subjetiva por parte del profesor.

22

TEMA N°6

INTERÉS COMPUESTO

El interés compuesto simplemente es la aplicación reiterada del interés de tipo simple a un capital que crece a unidades constantes de tiempo llamados

periodos de conversión, capitalización o interés, por efecto de sumarse el interés al capital. En términos mas sencillos el interés compuesto es la operación que consiste en sumar el interés al capital periódicamente, formando

cada vez un nuevo capital. Este hecho de sumarse el interés al capital luego de un periodo o unidad de tiempo se conoce como capitalización del interés.

1.- Calcular la suma que se obtendría, al término de 3 años, si invertimos $150,000.00 al 18% capitalizando los intereses semestralmente, aplicando la

definición de interés compuesto dada inicialmente que dice que el interés compuesto es la aplicación reiterada del interés simple...... y también si la

inversión se realizara a interés simple a la misma tasa del 18% Aplicando la definición el procedimiento sería: Capital Inicial o al comienzo del plazo $150 000,00

Interés simple del 1er.semestre I = 150,000.00 x 0.18 x 6/12 = $ 13 500,00 Capital al comienzo del Segundo semestre $163 500,00

Interés simple del 2do.semestre I = 163,500.00 x 0.18 x 6/12 = $ 14 715,00 Capital al comienzo del Tercer semestre $178 215,00 Interés simple del 3er.semestre I = 178,215.00x 0.18 x 6/12 = $ 16 039,35

Y así hasta concluir el plazo tenemos la tabla demostrativa siguiente:

Tabla de Acumulación de Intereses

Semestre Capital al Comienzo. Interés del semestre Capital al término de cada semestre de cada semestre

1 150 000,00 13 500,00 163 500,00

2 163 500,00 14 715,00 178 215,00 3 178 215,00 16 039,35 194 254,35 4 194 254,35 17 482,89 211 737,24

5 211 737,24 19 056,35 230 793,59 6 230 793,59 20 771,43 251 565,02

TOTAL INTERESES ACUMULADOS 101 565,02 En la tabla de acumulación de intereses se observa en la columna Capital al

término del semestre, que al concluir el plazo de 6 semestres (3 años) la suma acumulada del capital más los intereses capitalizados semestre a semestre es

de $251 565,02 y se conoce como Monto Compuesto. Si calculamos la diferencia entre el Monto Compuesto y el Capital invertido inicialmente obtenemos el Interés Compuesto para nuestro ejemplo obtiene un valor de:

251 565,02 – 150 000,00 = $101 565,02. -El proceso descriptivo de estimación o cálculo anotado líneas arriba es

conocido como Método Largo o Método demostrativo del proceso de cálculo del Monto Compuesto, aplicable a situaciones o problemas de muy corto plazo.

23

Ahora si la operación anotada como ejemplo se hubiera realizado a interés

simple, el monto o valor futuro a este tipo de interés al final de los 3 años de inversión sería de: (aplicando la ecuación de monto simple)

S = P [ 1 + t . i ] = 150 000 [1+(3)(0,18) ] = $ 231 000,00

Comparando el resultado operativo del Monto Simple con el Monto Compuesto o Valor Futuro S observamos que existe una diferencia de $ 20 565,02 que en

la práctica viene a ser el interés generado por el propio interés. Cuando el plazo de una operación es largo, determina un número grande de

periodos de capitalización y hace que el método largo antes desarrollado sea prácticamente imposible de aplicar por lo trabajoso de su aplicación unitaria, es

en esos casos que se recurre a la aplicación de una ecuación o fórmula que simplifique dicho proceso de cálculo, dándose entonces el Método Corto, del que desarrollaremos la deducción de su ecuación previo tratamiento de los

factores vinculados a él.

Definiciones previas de los factores vinculados al interés compuesto. Capitalización: Proceso por el cual el interés generado en una unidad de tiempo se agrega o añade o suma al capital.

Periodo de conversión o de capitalización o de interés (pc): es el tiempo o

plazo que se mide o transcurre entre dos cómputos sucesivos de interés. Frecuencia de conversión o de capitalización o de interés (f

c): es el número

de veces por año que el interés se capitaliza o añade o suma al capital.

Entre el periodo y la frecuencia de conversión existe una directa correspondencia, es decir a cada periodo de conversión o de capitalización le corresponde una frecuencia determinada, siendo los periodos mas usados los

siguientes: Periodo de conversión (p

c) Frecuencia (f

c)

Anual 1

Semestral 2 Cuatrimestral 3

Trimestral 4Bimestral 6 Cada 45 días 8

Mensual 12 Cada 21 días 17,14

Quincenal 24 Semanal 51,43 Diario 360

Tasa de Interés: En problemas de interés compuesto, la tasa de interés

presenta 3 valores llamados: Tasa Nominal ( TNj ó j ), Tasa efectiva por periodo de conversión, capitalización o interés (TEPI ó i ) y Tasa efectiva anual ( TEA ).

24

La primera expresión es la tasa nominal, que denotaremos por la letra “j”

minúscula o las siglas TNj, en la mayoría de operaciones financieras se acostumbra a mencionar la tasa anual de interés, -el valor de dicha expresión

se cumple sólo en el caso de que la capitalización sea anual- y va acompañada de la frecuencia de conversión capitalización o de interés (f

c) y es a partir de

esos datos que se determina la segunda expresión llamada tasa efectiva por periodo, (esta se define como aquella tasa que efectivamente gana un capital

prestado o invertido por periodo de conversión capitalización o interés) la que denotaremos por la letra “i” minúscula,

Para obtener el valor de esta tasa efectiva por periodo bastará con dividir la tasa nominal entre la frecuencia de conversión, así por ejemplo si una

operación se lleva a cabo a la tasa del 18% capitalizable bimestralmente el valor de la tasa efectiva por periodo será:

i = 18%/6 = 3% que se interpreta como que la operación gana o cobra o paga el 3% efectivo cada bimestre, porque la tasa nominal j es igual al 18%, la frecuencia de

conversión que le corresponde a un intervalo bimestral es 6.

La tercera expresión es la tasa efectiva anual, la definimos como aquella tasa que efectivamente gana un capital en un año de inversión (es decir siempre que dejemos que el interés producido se capitalice durante un año). En la

actualidad un dispositivo legal obliga a las entidades financieras a comunicar a sus clientes la tasa efectiva anual que cobran en sus operaciones así como las

comisiones por cuota, portes y cargos por seguros al inicio de las operaciones. Tiempo: En problemas de interés compuesto el tiempo se trabaja bajo la forma

de unidades de tiempo que marcan el ritmo del proceso de capitalización siendo estas llamadas periodos de conversión o de capitalización o de interés.

Entonces el tiempo o plazo deberá ser expresado por un número "n" de periodos de conversión, que se obtiene multiplicando el tiempo en años o fracción de año por la frecuencia de conversión, o de capitalización o de

interés. Ejemplo: Una transacción económica se realiza a un plazo de 3 años a la tasa

de interés del 21% capitalizable mensualmente. ¿Cuántas capitalizaciones de interés se realizarán durante ese plazo?

Rpta. Para calcular dicho número, primero vemos qué frecuencia de

capitalización le corresponde a un periodo capitalización mensual y observamos que es 12, luego aplicamos la fórmula para calcular n y tenemos: n = 3 años x 12 = 36

Monto Compuesto o Valor Futuro Interés Compuesto

25

Proceso de deducción de su Fórmula de Cálculo o Método Corto.

Si un capital VP es colocado a la tasa de interés i por periodo de capitalización, el Monto Compuesto o Valor Futuro VF a interés compuesto al final de un

número n de periodos de capitalización teóricamente nos describirá la siguiente expresión:

Periodo Capital al Intereses generados Capital e intereses al Inicio del periodo en el periodo término de cada periodo

1 VP VPi VP + VPi = VP(1+i)

2 VP(1+ i) VP(1+ i)i VP(1+ i)+VP(1+ i)i = VP(1+i)2

3 VP(1+ i)2

VP(1+ i)2

i VP(1+ i)2

+VP(1+ i)2

i = VP(1+i)3

. . . . . . . . . . . .

n VP(1 + i)n-1

VP(1 + i)n-1

i VP(1+ i)n-1

+VP(1 + i)n-1

i = VP(1 +i)n

Luego tenemos la fórmula de cálculo del Monto compuesto o Valor Futuro a Interés Compuesto:

VF = VP( 1 + i )n

, en donde VF = Monto Compuesto o Valor Futuro a Interés Compuesto o Valor de Vencimiento

VP = Capital o Capital Inicial

(1 + i)n

= Factor de Simple de Capitalización de la Unidad Monetaria o factor simple de capitalización FSC siglas que corresponden a la hoja de cálculo excel.

Los valores del factor simple de capitalización de la unidad monetaria (1 + i)n

se pueden determinar por multiplicación sucesiva, utilizando tablas financieras

preelaboradas, logaritmos, por la fórmula del binomio de Newton o calculadoras con funciones. Se podrá utilizar las tablas financieras si ellas registran los

valores que estamos trabajando de "i", sino se recurrirá a la utilización de calculadoras científicas que tienen tanto logaritmos como exponentes. Problemas de aplicación: Batería de Problemas resueltos

1.- Calcular los montos compuestos resultantes de invertir $50, $9 000 y $360 000 a la tasa del 14% capitalizable trimestralmente al cabo de 5 años. Rpta. Factores: VP

1=$50 VP

2=$9 000 VP

3=$360 000

j = 14% pc

= trimestral fc

= 4 i = 14%/4 = 3,5% o 0,035

t = 5 años n = 5 x 4 = 20 VF1

= ? VF 2

=? VF3

=?

VF1

= 50 (1 + 0,035)20

= 50 x 1,98978886347 = $99,4894431735 ≅ $99,49

VF2

= 9 000 (1 + 0,035)20

= 9 000 x 1,98978886347 ≅ $17 908,10

VF3

= 360 000 (1 + 0,035)20

= 360 000 x 1,98978886347 ≅ $716 323,99

26

2.- Se invierten S/.12 000 nuevos soles durante 3 años a la tasa del 18%

capitalizable o convertible bimestralmente. Determinar el Monto Compuesto, Interés Compuesto y la Tasa efectiva anual.

Rpta. VP = S/.12 000 j = 18% pc = Bimestral f

c = 6 i = 18%/6 = 3% t =3años

n =3x6 = 18 Aplicando la fórmula tendremos:

VF = 12 000(1+ 0,03)18

= S/.20 419,20

Ic

= 20 419,20 – 12 000 = S/.8 419,20

TEA = (1 + i)fc

– 1 = (1 + 0,03)6

– 1 = 0,19405229653 o ≅19,41%

3.- Se invierten $147 500 dólares americanos durante 30 meses a la tasa del

14,4% capitalizable o convertible mensualmente. Determinar el Monto Compuesto, Interés Compuesto y la Tasa efectiva anual. Rpta. VP = S/.147 500 j = 14,4% p

c = mensual f

c = 12 i = 14,4%/12 = 1,2%

t =30 meses n = 30/12 x 12 = 30 Aplicando la fórmula tendremos:

VF = 147 500 (1+ 0,012)30

= $210 963,54 Ic

= 210 963,54 – 147 500 = $63 463,54

TEA = (1 + i)fc

– 1 = (1 + 0,012)12

– 1 = 0,15389462418 o ≅15,39%

4.- Calcular los montos compuestos resultantes de invertir $66,888 a la tasa del

12% capitalizable semestralmente, trimestralmente, bimestralmente, mensualmente y quincenalmente al cabo de 4 años. Rpta. Factores: VP

1-2-3-4 y 5 = $66 888 j

1-2-3-4 y 5 = 12%

pc1

= semestral fc1

=2 i1

= 12%/2 = 6% t1

= 4 años n1

= 4x2 = 8 VF1

= ?

pc2

= trimestral fc2

=4 i2 = 12%/4 = 3% t

2 = 4 años n

2 = 4x4 = 16 VF

2 = ?

pc3

= bimestral fc3

=6 i3 = 12%/6 = 2% t

3 = 4 años n

3 = 4x6 = 24 VF

3 = ?

pc4

= mensual fc4

=12 i4

= 12%/12 = 1% t4

= 4 años n4

= 4x12 = 48 VF4 = ?

pc5

= quincenal fc5

=24 i5

= 12%/24 = 0.5% t 5

=4 años n5

= 4x24 = 96 VF5

= ?

VF1

= 66 888 (1 + 0,06)8

= 66 888 x 1,59384807453 = $106 609,31

VF2

= 66 888 (1 + 0,03)16

= 66 888 x 1,6047064391 = $107 335,60

VF3

= 66 888 (1 + 0,02)24

= 66 888 x 1,60843724948 = $107 585,15

VF4

= 66 888 (1 + 0,01)48

= 66 888 x 1,61222607768 = $107 838,58

VF5

= 66 888 (1 + 0,005)96

= 66 888 x 1,61414270846 = $107 966,78

Tasas Equivalentes.

27

Se dice que dos tasas anuales de interés con diferentes periodos de

conversión son equivalentes si producen el mismo interés compuesto al término del año.

5.- Hallar el monto compuesto o valor futuro de una unidad monetaria al final de un año a las tasas:

Caso 1: 8% capitalizable trimestralmente Caso 2: 8,243216% capitalizable anualmente.

Caso 1: VF = VP(1+i)n

= 1(1+ 0,08/4)4

= 1,08243216

Caso 2: VF = VP(1+i)1

= 1(1 + 0,08243216)1

= 1,08243216 Al obtener resultados similares podemos concluir que las tasas del 8%

capitalizable trimestralmente y 8,243216 capitalizable anualmente, son equivalentes.

6.- Hallar la tasa que capitalizada anualmente es equivalente a la tasa nominal del 18% capitalizable o convertible bimestralmente

1+i = (1 +0,18/6)6

i = (1 +0,03)6

– 1 i = 0,19405229653 o sea 19,41%

7.- Determinar la tasa nominal j convertible mensualmente equivalente a la tasa

efectiva anual del 12%.

1 + j/12 = (1,12)1/12

j = 12 [(1,12)1/12

–1 ] j = 0,1138655148 ó11,39%

8.- Determinar el tiempo necesario para que una inversión de $22 222

colocados a la tasa del 9,6% capitalizable bimestralmente se triplique es decir se acumule un monto compuesto o valor futuro de $66 666. Rpta. Datos: VP = $22 222; VF = $66 666; i = 9,6%/6 = 0,016

A partir de la ecuación general del monto compuesto: VF = VP(1+ i)n

igualamos

factores 66,666 = 22 222 (1+0,016)n

(1 + 0,016)n

= 66 666/22 222 = 3 Luego utilizando logaritmos despejo n:

n log (1,016) = log 3

luego n = log 3 /log 1,016 = 69,21112097 x 60 = 4 152,667258 = 4 153 días aprox.

También se puede convertir a años dividiendo el resultado entre 360: 4152,667258/360 =11,53518683 años y la fracción a la derecha de la parte

entera multiplicarla por 12 y obtendremos los meses adicionales:

28

0,53518683 x12= 6,422241933 meses y la fracción a la derecha de la parte

entera multiplicarla por 30 y obtendremos los días que directamente

redondearemos: 0,422241933 x 30= 12,667258 ≅ 13 días.

Ejercicios desarrollados y para desarrollar.

9.- Obtener los factores: Capital o principal, tasa nominal, periodo de conversión capitalización o interés, frecuencia de conversión, tasa efectiva por periodo, tiempo y número de periodos de conversión capitalización o interés y

determinar el monto compuesto, interés compuesto y tasa efectiva anual para los siguientes problemas.

a.- Una inversión de 80 000 nuevos soles a la tasa del 14% capitalizable trimestralmente durante 27 meses b.- Un crédito de 45 678,00 dólares americanos a la tasa de 12,6%

capitalizable mensualmente durante 900 días. c.- Una persona apertura una cuenta plazo con un depósito inicial de S/.7

500,00 cuentas que pagan un interés del 18% capitalizable diariamente durante 1 000 días.

10.- Un contrato de crédito hipotecario que financia el 80% del valor de una propiedad avaluada en $120 000,00 a la tasa del 17,1% de interés capitalizable

mensualmente a un plazo de 12 años. Determinar el valor futuro del contrato Rpta. Primero calculo el 80% de 120 000 = 96 000 (Capital Financiado) = P

Luego aplico la fórmula del Valor Futuro a mis factores predeterminados

VF= 96 000(1+ 0,01425)144

=96 000(7,671536544)= $736 467,5083

11.- Una persona invirtió en una cuenta de ahorros $ 33 333 dólares americanos la que pagaba un interés del 8,4% capitalizable mensualmente al cabo de 3 años de inversión, la tasa de interés fue bajada al 7,8% con

capitalización quincenal, tasa que duró 18 meses al término de dicho plazo bajó al 7,2% capitalizable bimestralmente. Si a la fecha han transcurrido 30 meses

del último cambio de la tasa de interés ¿Cuánto habrá acumulado en la cuenta? Rpta.

VF = 33 333 (1+0,084/12)36

(1+0,078/24)36

(1+0,072)15

= $57 593,4497

VF = 33 333(1,285467023)(1,123906189)(1,195935307) ≅ $57 593,45

12.- Hallar la tasa nominal j, convertible mensualmente equivalente a la tasa

efectiva anual del 12,9%. Rpta.

[1+(j/12)]12

= 1.129 traslado el exponente del miembro de la izquierda al de la

derecha y tendremos: 1+(j/12) = (1,129)1/12

despejando j tenemos

j = 12[(1,129)1/12

– 1] = 12[1,010162313 – 1]= 0,1219477546

29

j = 12,19477546% ≅ 12,19%

13.- Hallar la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal del 18% capitalizable o convertible trimestralmente.

Rpta.

1+ i = [1+ (0,18/4)]4

despejando i

tenemos i = (1+0,045)4

– 1 = 0,1925186006 luego i ≅ 19,25%.

14.- Determinar el plazo necesario para que una inversión de S/.34 567,89 invertidos a la tasa del 18% capitalizable o convertible diariamente determine

un monto compuesto o valor futuro de S/. 100 000,00. Rpta. Factores: P =34 567; F = 100 000; i = 0,18/360 = 0,0005 Reemplazamos en la

ecuación general de cálculo del valor futuro 100 000 = 34 567 (1 + 0,0005)n

2,892932566 = (1,0005)n

utilizando logaritmos despejamos el exponente “n” n log (1,0005) = log 2,892932566 n = log 2,892932566/log 1,0005 = n = 2 125,072524 periodos y dado que la capitalización es diaria la respuesta será n = 2 125 días.

TALLER 06 TALLER APLICATIVO

INTERÉS COMPUESTO Parte I Objetivo:

Verificar la comprensión acerca de los elementos del interés compuesto.

Se propone a los alumnos la práctica intensiva en sus casas de problemas que se entregarán por escrito, para su correspondiente desarrollo.

AUTOEVALUACIÓN

Resolver los siguientes problemas:

15.- Determinar el plazo necesario para que una inversión de $23 456 genere

un monto compuesto de $44 444 si se paga un interés del 21% capitalizable o convertible mensualmente. La respuesta la das tú.

16.- Determinar el plazo de inversión para que un principal de S/.15 750 determine un monto compuesto o valor futuro de S/. 43 210 estando invertido a

la tasa del 24% capitalizable bimestralmente. La respuesta la das tú. 17.- El día en que nació su primogénito, sus padres depositaron a su nombre,

$4 800 dólares en una cuenta de ahorro que paga el 6% capitalizable trimestralmente. ¿De cuánto dispondrá el hijo cuando cumpla los 21 años?

18.- Calcular el monto compuesto o valor futuro de una inversión de $42 000,00 a la tasa del 9% si la capitalización es: anual, semestral, trimestral, bimestral y

mensual. Las respuestas las das tú. Ley del Crecimiento Orgánico

30

El modelo matemático que describe el interés compuesto o ley del

interés compuesto se le llama también ley del crecimiento orgánico cuando es aplicada por los investigadores a todo fenómeno de la naturaleza, la ciencia, el

campo comercial o mundo empresarial que se modifique en proporción constante, para ello el operador del modelo debe tener suficiente experiencia para su uso, porque debe trasladar al futuro tasas o porcentajes de variación

que tuvieron vigencia en el pasado, haciendo las adecuaciones respectivas en las variables que opere

19.- La población de una determinada ciudad aumentó entre los años 1979 y 1999 a la tasa del 3,87% anual aproximadamente y el censo de dicha ciudad

de 1999 dio una población de 567 890 habitantes. ¿Cuál será la población previsible de dicha ciudad para los años 2005 y 2010 suponiendo que

continuara vigente la misma tasa de crecimiento poblacional? Rpta. Factores: Caso 1 VP = 567 890, i = 0,0387 y n

1999-2005 = 6 años F

2005 = ?

VF2005

= 567 890(1 + 0,0387)6

≅ 713 190 habitantes

Caso 2 P = 567 890, i = 0,0387 y n1999-2010

= 11 años F2010

= ?

VF2010

= 567 890(1 + 0,0387)11

≅ 862 295 habitantes

20.- Las utilidades de una empresa han crecido entre 1980 y 1998 a razón del 12,5% anual aproximadamente. Si las utilidades del año 1998 fueron de $444 444,44 ¿Cuáles serían las utilidades proyectadas de esa empresa para los

años: 2000, 2001 y 2002, si continuara vigente dicha tasa de crecimiento.? Rpta.

VF2000

= 444 444,44 (1 + 0,125)2

= $562 499,99

VF2001

= 444 444,44 (1 + 0,125)3

= $632 812,49

VF2002

= 444 444,44 (1 + 0,125)4

= $711 914,06

21.- En un establecimiento comercial las ventas se han venido incrementando

de manera constante año a año a la tasa de 6,75% anual. Si volumen de las ventas en 1998 fue de $376 450,00 dólares ¿Cuál será el volumen estimado para el año 1999, 2000, 2001, 2002, 2003 y 2004, respectivamente?

AUTOEVALUACIÓN

22.- Durante el periodo 1980 – 1997, el dividendo anual pagado por acción común de la empresa Grafica B & H S.A. aumentaron a razón del 7,75% anual

aproximadamente. Si dicho beneficio fue de S/.144,89 para 1997. ¿Qué dividendo o beneficio anual puede estimarse para el año 1999, 2000 y 2001?

Valor Actual, Presente o Líquido de una deuda a Interés Compuesto. Se define como aquel capital o principal P tal que, el monto compuesto o valor futuro a una fecha establecida sea igual a la cantidad dada o referida en el

presente. La fórmula de cálculo la obtenemos despejando el factor capital o

31

principal P a partir de la ecuación de monto compuesto o valor futuro a interés

compuesto F.

VP = VF / (1+ i)n

, cociente que se puede expresar como producto

empleando el exponente negativo: VP = VF (1+ i)-n

En donde VP = Valor actual, presente o líquido de una deuda a interés compuesto

VF = Monto Compuesto o Valor futuro a interés compuesto.

(1 + i)-n

= Factor del Valor actual, presente o líquido de la unidad monetaria, o Factor Simple de Actualización compuesto FSA

i;n, en donde i es la tasa efectiva

por periodo y n el número de periodos. Este factor en problemas de seguros

(matemática actuarial) se representa por el símbolo vn

, cuyos valores se

encuentran en tablas financieras como valor actual de la unidad monetaria. El valor actual presente o líquido es uno de los instrumentos más útiles y poderosos del análisis económico, porque permite al analista financiero

determinar el valor que tienen en el momento actual las cantidades que han de pagarse en el futuro.

Problemas de aplicación. Batería de Problemas resueltos

23.- Determinar el valor presente de una deuda de $18 000 dólares americanos a pagarse dentro de 5 años siendo la tasa del 8% capitalizable trimestralmente. Rpta. VF = $18 000; j =8%; p

c = trimestral; f

c = 4; i = 0,08/4 =0,02; t =5 años; n =

5x4 = 20

Aplicando la fórmula: VP = 18 000(1 + 0,02)-20

= 18 000 x 0,6729713331

VP = 12 113,484 redondeando ≅ $12 113,48

24.- Una letra de cambio vence en 4 años 7 meses, siendo su valor de vencimiento de $7 500 dólares americanos. ¿Cuál es su valor presente o actual, si la tasa a la

que se calcula éste es del 9% capitalizable bimestralmente? Rpta. Para dar respuesta a este problema analizaremos el hecho de que los

periodos de capitalización no son un número entero por lo tanto deberemos utilizar un número tal que comprenda o incluya dicho plazo. En ese caso sería 4 años 8 meses que es el tiempo que más se aproxima o mínimo necesario y

aplicamos la fórmula:

VP = 7 500(1+0,015)-28

= 7 500 x 0,6590992494 = $4 943,24437 Como en el plazo nos hemos excedido un mes aplicamos interés simple por

ese mes: 4 943,24437 x 0,09 x 1/12 = $37,07433278

El valor actual lo obtenemos sumando VP + el interés simple antes calculado:

VP = 4,943.24437 + 37.07433278 = $4,980.318703 ≅ $4,980.32

32

25.- Una persona desea adquirir una obra de arte y le presentan dos formas de

pago: la primera pagando 12 000 dólares al contado y la segunda pagando una cuota inicial de 4 000 dólares y 10 000 más en 30 meses. Si esta persona

puede invertir su dinero al 7,2% capitalizado trimestralmente. ¿Cuál de las dos ofertas es más conveniente y porqué? Para dar respuesta a éste problema calculemos el valor actual de los 10 000

dólares a pagar en 30 meses al 7,2% capitalizable trimestralmente:

VP = 10 000 ( 1 + 0,018 )-10

= 10 000 x 0,8366083984

VP = 8 366,083984 ≅ $8 366,08

Ahora analizaremos resultados: Si sumamos este valor presente calculado a la

cuota inicial dada tendremos: 4 000 + 8 366,08 = $12 366,08 Por tanto pagando al contado la persona ahorra 366.08 dólares valuados al

momento actual o presente. Es decir la primera opción es la mejor. 26.- ¿Qué capital será necesario para saldar una deuda de $65 750,00 el 31 de

diciembre del año 2010, si el préstamo tuvo lugar el 16 de enero del año 2007, a la tasa del 18% capitalizable diariamente?

Rpta. Factores: VF = 65,750 i= 0,18/360 = 0,0005 n = (1080/360)x360 = 1080

Luego VP = 65 750 (1 + 0,0005)-1080

= $112 812,2256 VP = $112 812,23

27.- Determinar el capital necesario para cancelar anticipadamente un pagaré el día de hoy, sabiendo que vence dentro 18 meses si nos otorgan un beneficio

de reducción de la tasa de interés del 21% capitalizable mensualmente, si el valor de vencimiento o valor nominal de dicho documento es de $445 566 Rpta. Factores: VF = 445 566 i = 0,21/12 = 0,0175 n = 18/12 x 12 = 18

Luego: VP = 445 566 (1+0,0175)-18

= $326 056,2

TALLER 06 TALLER APLICATIVO INTERÉS COMPUESTO Parte II

28.- Las ventas de la compañía XYZ crecen mensualmente a una tasa

constante del 2,375%, si las ventas de diciembre de 2007 de la empresa fueron de:$678 901,23 Cuáles serán las ventas esperadas o probables para Diciembre del 2008; Octubre del 2005; Marzo del 2010 y Julio del 2012, siempre que la

tasa de incremento de las ventas se mantenga constante.

29.- Vendí un pagaré de $45 789,01 cuando faltaban 882 días para su vencimiento a la tasa del 24% efectivo anual que procedía de la capitalización semanal de los intereses. 162 días después de la operación anterior el pagaré

fue nuevamente vendido a la tasa del 27% capitalizable quincenalmente; 180 días después de la operación anterior lo vendieron nuevamente a la tasa del

19% efectivo anual que procedía de la capitalización cada 45 de los intereses. Faltando 330 días para el vencimiento fue finalmente vendido a la tasa del 25% con capitalización cada 21 días. Cuánto pagó cada uno por el documento.

33

Tema N° 7 Descuento Compuesto Bancario

El descuento compuesto bancario es una operación que consiste, en la aplicación sucesiva del descuento simple al valor nominal o valor del

vencimiento o valor futuro del instrumento o documento que se descuenta por unidades temporales o periodos de tiempo preestablecidos, obteniendo

sucesivamente también valores líquidos durante el plazo u horizonte temporal de la operación. Cálculo del valor actual, presente o líquido a descuento compuesto bancario:

VP1

= VF – VFd = VF ( 1 – d )

VP2

= VP1

– VP1d = VP

1 (1 – d) = VF (1 – d ) (1 – d) = VF ( 1 – d )

2

VP3

= VP2

– VP2d = VP

2 (1 – d) = VF (1 – d )

2

(1 – d) = VF ( 1 – d )3

. . . . . . . . . .

VPn

= VPn-1

– VPn-1

d = VPn-1

(1 – d) = VF(1 – d )n-1

(1 – d) = VF ( 1 – d )n

Finalmente tenemos:

VP = VF (1 – d )n

VP = Valor Actual, presente o líquido a descuento compuesto bancario VF = Valor Futuro o Monto compuesto o Valor nominal o Valor de vencimiento

(1 – d)n

= Factor del descuento de la unidad monetaria. Problemas de aplicación - Batería de Problemas Resueltos -

1.- El 31 de agosto de 2000, el Banco Santander aceptó descontar una letra de cambio de su cliente la empresa Transportes Altursa S.A. de valor de vencimiento S/.8 800,00 que vence en 120 días. ¿Cuál fue el valor líquido que

recibió la empresa en dicha fecha si la tasa nominal del descuento aplicada fue del 42%, con periodo bancario de descuento de 30 días?

Rpta. Factores: VF = S/.8 800,00 n = 4 d = 0,42/12 = 0,035 P= ?

VP = 8 800,00 (1 – 0,035)4

= S/.7 631,184006 VP = S/.7 631,18

2.- Si la empresa deseara conocer el importe de los descuentos mensuales

generados con respecto a la letra de cambio, elabore una tabla demostrativa del proceso del descuento aplicado a dicho documento.

Fecha Días Valor Actual Descuento Descuento o líquido mensual acumulado

29 –12 0 8 800,00 0 0,00

29 – 11 30 8 492,00 308,00 308,00 30 – 10 60 8 194,78 297,22 605,22

30 – 09 90 7 907,96 286,82 892,04 31 – 08 120 7 631,18 276,78 1 168,82

34

3.- Un pagaré de valor nominal $13 750,00 es descontado por un banco 4

meses antes de su vencimiento aplicando una tasa de interés adelantado del 21% con capitalización mensual ¿Cuánto deberá pagarse para cancelarlo 3

meses antes de su vencimiento? Rpta. Factores: VP = ? VF= $13 750,00 n = 3 d = 0,21/12 = 0,0175

VP = 13 750 (1 – 0,0175)3

= $13 040,68412 VP = $13 040,68

Modelo matemático para el cálculo del Descuento Compuesto Bancario

Sabemos por el descuento que D = VF – VP como VP = VF (1 – d)n

, entonces

D = VF – VF (1 – d)n

, Factorizando VF

D = VF [ 1 – (1 – d )n

] 4.- Determine el descuento compuesto bancario de una letra de cambio de

valor de vencimiento S/. 25 000.00 si vence en 60 días, si es descontada a la tasa del 48% nominal anual con periodo de descuento mensual. Rpta. Factores: VF = $25 000,00 n = 2 d = 0,48/12 = 0,04 D = ?

D = 25 000,00 [ 1 – ( 1 – 0,04 )2

] D = S/.1 960,00

Cálculo del Valor Nominal o Valor de Vencimiento o Valor Futuro de un documento a descontar. Hay casos en los cuales sabemos el importe o cantidad de dinero que

necesitamos y que conseguimos por vía del descuento compuesto bancario de documentos y nuestra pregunta es ¿Cuál sería el importe de documento a

suscribir en dicho caso si este es descontado? En ese caso y a partir de la ecuación del valor líquido VP despejo el factor valor de vencimiento VF y nos queda:

VF = VP (1 – d )-n

Problema de aplicación

5.- La empresa constructora Graña y Montero S.A. requiere para la ejecución de un proyecto a 120 días de capital de S/.250 000,00, por ello utiliza su línea

de crédito de descuento de pagarés. Determine el valor nominal o de vencimiento del instrumento a descontar a ese plazo, si la tasa de descuento que se aplica a la operación es del 54% con periodo de descuento bancario

quincenal? Rpta. VP = S/.250 000,00 n = 8 d = 0,54/24 = 0,0225 F = ?

VF = 250 000 (1 – 0,0225 )-8

= S/. 299 920,3126 VF = S/. 299 920,31


6.- La empresa El Gallo Ronco SAC, requiere de $250 000,00 para la ejecución de un proyecto de inversión a ejecutarse en los próximos tres años, si el dinero

es conseguido descontando un pagaré a la tasa del 18% ¿Cuál será el importe del documento a emitirse por concepto de dicho crédito?

35

Descuento compuesto bancario unitario o devengado en cada periodo de

descuento Dz.

Es posible calcular el descuento compuesto bancario unitario o devengado por cada periodo de descuento. Para un periodo z cualquiera, dicho descuento D

z

lo calculamos con la fórmula que deducimos a continuación:

Para z El Descuento El Valor Actual ó Líquido

z = 1 D

1 = VF d P

1 = VF – VF d = VF (1 – d)

z = 2 D2

= VF (1 – d) d P2

= VF(1 – d) – VF(1 – d)d = VF (1 – d)2

z = 3 D3

=VF (1 – d)2

d P3

= VF(1 – d)2

- VF(1 – d)2

d = VF (1 – d)3

...........

z = n Dn

= VF (1 – d)n-1

d Pn

= VF ( 1 – d )n

7.- Una letra de cambio de valor nominal $33 500,00 con fecha de vencimiento 15 de diciembre de 2002, fue descontada por un banco faltando 150 días para

su vencimiento y se le aplicó una tasa anual de descuento del 54% con periodo de descuento mensual. Calcule el valor líquido y el descuento realizado en

cada periodo de 30 días.

Fecha Días Valor Actual Descuento Descuento

o líquido Mensual Acumulado 15 – 12 0 33 500,00 0,00 0,00

15 – 11 30 31 992,50 1 507,50 1 507,50 16 – 10 60 30 552,84 1 439,66 2 947,16 16 – 09 90 29 177,96 1 374,88 4 322,04

17 – 08 120 27 864,95 1 313,01 5 635,05 18 – 07 150 26 611,03 1 253,92 6 888,97

Cálculo del valor presente o líquido: VP = VF (1 – d )n

VP = 33 500.00 ( 1 – 0,045 )5

= $26 611,03

Cálculo de los descuentos periódicos: D = VFd (1 – d)z-1

Para z = 1 D1

= 33 500,00 x 0,045 ( 1 – 0,045)1-1

= 1 507,50

Para z = 2 D2

= 33 500,00 x 0,045 ( 1 – 0,045)2-1

= 1 439,66

Para z = 3 D3

= 33 500,00 x 0,045 ( 1 – 0.045)3-1

= 1 374,88

Para z = 4 D4

= 33 500,00 x 0,045 ( 1 – 0.045)4-1

= 1 313,01

Para z = 5 D5 = 33 500,00 x 0,045 ( 1 – 0.045)

5-1

= 1 253,92

36

TALLER 07 TALLER APLICATIVO DESCUENTO COMPUESTO

Objetivo:

Verificar la comprensión acerca de los elementos del descuento comercial Se propone a los alumnos la práctica intensiva en sus casas de problemas que

se entregarán por escrito, para su correspondiente desarrollo. AUTOEVALUACIÓN

Resolver los siguientes problemas: 1.- Hallar el valor de una letra de cambio de $7 890,12 que fue vendida el día

de hoy (17/04/2005) sabiendo que vence el 07 /04/ 2007, a la tasa de descuento del 22,5 % deducible diariamente. 2.- Un proyecto de inversión requiere de $750 000 para su ejecución, dicho

dinero se puede conseguir descontando una obligación financiera de valor desconocido que será descontada a la tasa del 20% capitalizable

mensualmente.

37


UNIDAD II

MONTO ó VALOR FUTURO

PAGOS PERIODICOS DEL MONTO

VALOR

PRESENTE

ANUALIDADES O RENTAS

PAGOS PERIÓDICOS DEL VALOR PRESENTE

BANCO CENTRAL DE LA

RESERVA DEL PERÚ





interés


exterior






de cheques


38

UNIDAD II: ANUALIDADES o RENTAS

CAPACIDAD II

Identifica y explica los conceptos sobre los diferentes tipos de rentas o anualidades y sus modelos matemáticos que estos describen y valora su

importancia en el flujo de las operaciones financieras


• Calcula el valor futuro y el valor actual de las anualidades vencidas, anticipadas y diferidas.

• Comprende cómo están inversamente relacionados el valor actual y la tasa de interés. Cuando una aumenta la otra disminuye.


- Valoriza las diferentes anualidades, cuales son sus aplicaciones y su

importancia para la actividad profesional de economista


TEMA N° 8

Anualidades o Teoría de la Renta

La palabra anualidad se utiliza por costumbre que tiene su origen en los pagos que se hacían anualmente. En el mundo de las finanzas la palabra anualidad no significa pagos anuales sino pagos a intervalos iguales.

En particular en la matemática financiera se utiliza esta palabra con un

concepto más amplio, para referirse al sistema de pagos de cantidades fijas a periodos de tiempo iguales, que no solamente pueden ser anuales, sino de cualquier otra magnitud. Son ejemplos de anualidades: los sueldos, los pagos

que hacemos por servicios públicos, los programas de créditos pagaderos a plazos, las pensiones universitarias, las pensiones de jubilación etc.

Definición.- Una anualidad es una serie o sucesión de pagos, depósitos o retiros periódicos de cantidades iguales con interés compuesto. Definición de factores vinculados con las Anualidades o Rentas.

Tiempo o Plazo de la Anualidad o Renta.- Es el tiempo que transcurre entre las fechas de inicio o comienzo del periodo y vencimiento o término del último.

Intervalo o Periodo de Pago o Periodo de Renta.- Es el tiempo medido o fijado entre dos pagos sucesivos de la anualidad o renta. Pago Periódico de la Anualidad o Renta.- Es el importe o valor de cada uno de

los pagos, depósitos o retiros que se hacen. Renta Anual.- Resulta de la suma de todos los pagos hechos durante un año.

Tasa Interés de la Anualidad o Renta.- Es la tasa pactada o acordada por las partes que regirá para la anualidad o renta. Puede ser nominal o efectiva. Ejemplo de la identificación de los factores de las Anualidades o Rentas.

39

Una persona adquiere un equipo DVD mediante un contrato de compra-venta a

plazos en una tienda de electrodomésticos, a un plazo de 2 años por el que pagará $36,00 mensuales, cuotas que han sido financiadas a la tasa del 36%

efectivo anual. Los factores de la Anualidad o Renta son: Tiempo o plazo de la anualidad: 2 años Intervalo de Pago: Es de un mes o Mensual

Pago Periódico: $36,00 Renta Anual: $432,00

La tasa de interés efectiva anual es del 36% de la que se deduce la

TEM i = (1+0,36)1/12

- 1

Clasificación de las Anualidades o Rentas. - Las anualidades o rentas se clasifican según el tiempo o fechas extremas del

plazo en: Anualidades Ciertas y

Anualidades Eventuales, Contingentes o Aleatorias Anualidades Ciertas son aquellas cuyas fechas de inicio y término se conocen

perfectamente por estar claramente establecidas en la documentación vinculada con la operación. Por ejemplo el día 01 de septiembre de 2007 se

adquiere un equipo de sonido con un contrato de crédito que establece el pago de una cuota inicial de $50,00 y 18 cuotas mensuales de $50,00, contrato que vence 01 de Marzo del año 2009.

Anualidades Eventuales, Contingentes o Aleatorias, son aquellas en las

que la fecha de inicio o la de término de la anualidad o ambas se desconocen, ya que dependen de un suceso previsible del que las fechas antes referidas, no pueden prefijarse. Ejemplo: Las pensiones de viudez que otorga la seguridad

social, son anualidades que se pagan al fallecimiento del titular asegurado, fecha imposible de prefijar, esta pensión concluye al fallecimiento de la viuda

que la percibe, cuya fecha de deceso también sólo Dios sabe cuando ocurrirá. Anualidades o Rentas Perpetuas o Perpetuidades, son una variación de las

anualidades ciertas, en las que la duración del pago en teoría es ilimitada. Ejemplo. La Fundación XXX, concede anualmente una beca de estudios – por

cinco años - pagadera mensualmente, para estudiantes brillantes de escasos recursos económicos, para ello la fundación ha hecho un depósito en la empresa aseguradora El Pacífico, de tal magnitud que los intereses que este

depósito genera permitirán cubrir a perpetuidad los derechos académicos de los becarios, durante los cinco años de estudios, la aseguradora que actúa

como fideicomisario cumpliendo con el encargo de la fundación, entregará mensualmente a la entidad educativa los derechos pertinentes.

- Según la forma de ejecución de los pagos de renta o pagos periódicos, las anualidades o rentas se clasifican en:

Anualidades o Rentas Ordinarias o Vencidas o Post pagables y

40

Anualidades Anticipadas o Pre pagables.

Anualidades o Rentas Ordinarias o Vencidas o Post pagables, son aquellas

en las que el pago periódico o pago de la renta se efectúa al final del intervalo de pago. Ejemplo de este tipo de anualidad lo tenemos en los pagos de los servicios públicos de agua, luz, o teléfono, que se pagan de manera vencida.

Anualidades Anticipadas o Pre pagables, son aquellas en las que el pago

periódico se efectúa al principio del periodo de pago. Ejemplo los contratos de alquiler de inmobiliario, en los que se establece que la merced conductiva del inmueble o renta mensual o mensualidad se abonará a principio de cada mes.

- Según la fecha de ejecución del primer pago de la renta o anualidad se

clasifican en: Anualidades Inmediatas y Anualidades Diferidas

Anualidades inmediatas, son aquellas cuyo primer pago se realiza en el

primer periodo de pago, no interesando si es al principio o término del intervalo de pago.

Anualidades Diferidas, son aquellas cuyo primer pago periódico se efectúa algunos periodos después de que se suscribe el plazo de la anualidad o renta.

Ejemplo: los contratos de ventas a plazo de Sagafalabella con pagos diferidos que permite a sus clientes diferir los pagos desde uno hasta seis meses – claro que tiene un alto costo financiero, otro ejemplo lo constituyen aquellas agencias

de viaje como Hada Tours y Nuevo Mundo que se promocionan sus ventas con el slogan viaje ahora y pague después, en las que la oferta permite al

beneficiario pagar su crédito viajero 90 días o tres meses después de haber viajado.

- Según la concordancia entre los intervalos de pago y el periodo de capitalización las anualidades o rentas se clasifican en:

Anualidad Simple y Anualidad General

Anualidad Simple, es aquella en la que los intervalos de pago y el periodo de capitalización de los intereses son iguales. Ejemplo: contratos de alquiler de

oficinas comerciales con pagos trimestrales a una tasa de interés capitalizable trimestralmente

Anualidad General, es aquella en la que los intervalos de pago y el periodo de capitalización de los intereses no son iguales. Ejemplo: Una renta semestral a

una tasa de interés anual ó una renta trimestral a una tasa de interés mensual.

41

Tema N° 9

Valor de la Anualidades o Rentas

El valor de una anualidad o renta puede ser calculado al final o vencimiento de su plazo, a dicho cálculo se le denomina monto o valor futuro y en este caso lo

pagos periódicos se capitalizan y el valor de una anualidad o renta calculado al inicio o principio de su plazo se llama valor presente o valor actual siendo en este caso que los pagos periódicos son descontados. También el valor de una

anualidad o renta puede ser calculado en posiciones intermedias de su tiempo o plazo que da lugar al cálculo del monto o valor futuro parcial, cuando se

refiere al cálculo de la parte vencida de la anualidad y valor presente o actual parcial, cuando dicho cálculo se refiere a la parte de los pagos que faltan por vencer de la anualidad o renta.

Cálculo del Monto o Valor Futuro de las Anualidades Simples Ciertas

Ordinarias e Inmediata El monto o valor futuro de una anualidad de este tipo es el capital acumulado correspondiente todos los pagos periódicos y todos los intereses generados por

éstos, al término del plazo o mejor dicho, es la suma de todos los montos compuestos determinados por los pagos periódicos hechos a la anualidad o

renta. En la práctica es el caso que más se presenta en lo que se refiere al cálculo del

valor de las anualidades.

A partir de una ecuación de equivalencia financiera y tomando como fecha de referencia la fecha de vencimiento del plazo, el monto o valor futuro F de esta anualidad la obtenemos de la siguiente manera:

Momento Actual Vencimiento del Plazo

0 R1

R2

R3 ,,,,,,,,,,,

Rn-2

Rn-1

Rn

→ VF’n

= VR(1 + i)0

------------ → VF’n-1

= VR(1 + i)1

-------------------------- → VF’n-2

=VR(1 + i)2

……………………………..

------------------------------------ →VF’ 3

= VR(1 + i)n-3

------------------------------------------------------ → VF’2

= VR(1 + i)n-2

------------------------------------------------------------------- → VF’1

= VR(1 + i)n-1

→VF = ?

Utilizando un procedimiento que nos presenta de manera inversa el orden de los pagos periódicos realizados observamos en el gráfico que cada pago periódico de la anualidad esta impuesto a interés compuesto por n números de

periodos diferentes. El primero R1

estará durante n -1 periodos, el segundo R2

42

durante n – 2, el tercero R3

durante n – 3, el antepenúltimo durante 2 periodos,

el penúltimo durante 1 período y el último pago por coincidir con la fecha de

vencimiento del plazo no devenga interés por lo que teóricamente le hemos puesto al FSC exponente 0.

Luego el monto o valor futuro de la anualidad o renta simple cierta ordinaria e inmediata será igual a la suma de los montos compuestos parciales o valores

futuros parciales a interés compuesto generados por cada pago computados al vencimiento del plazo.

VFn

= R(1 + i)n-1

+ R(1 + i)n-2

+ R(1 + i)n-3

+..........+ R(1 + i)2

+ R(1 + i)1

+ R(1 + i)0

Si invertimos el orden de la progresión anterior nos queda:

VFn

= R + R(1 + i)1

+ R(1 + i)2

+...................+ R(1 + i)n -3

+ R(1 + i)n -2

+ R(1 + i)n -1

En conclusión tenemos que el monto o valor futuro de la anualidad VF

n es igual

a la suma de los términos de una progresión geométrica cuyo primer término a1

es R, su razón r es (1 + i), la que obtenemos aplicando la ecuación de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica (S

n ).

Sn

= a1

(rn

– 1)

r - 1 r ≠ 1 Luego basados en esa fórmula y adecuando a la nomenclatura o términos de

las anualidades tenemos que:

VFn = R )1(

1)1(

ii

i n

Finalmente nos queda la siguiente ecuación:

VFn

= R i

i n 1)1(

El término encerrado entre corchetes se le llama Factor de Capitalización de la

Serie (FCS) o también Factor de Capitalización de la Renta Unitaria o también Factor del Valor Futuro de la Anualidad o Renta, el mismo que se lee: “El

Factor de Capitalización de una Serie a una tasa i efectiva por periodo y por un número n de periodos de capitalización transforma una serie uniforme de pagos periódicos en un valor futuro VF

n”.

Ejemplo de aplicación:

Una persona deposita en una cuenta de ahorros $7,500 dólares anuales durante 6 años.¿Cuánto habrá acumulado en la cuenta si percibió una tasa

efectiva anual del 9%?

Para R = $ 7 500 i = 0,09 y n = 6

43

Para desarrollarlo utilizaremos un diagrama de flujo y tendremos:

7 500 7 500 7 500 7 500 7 500 7 500

R1

R2

R3

R4

R5

R6

--------→VF6

= 7 500,00(1 + 0,09)0

= 7 500,00

---------------→VF5

= 7 500,00(1 + 0,09)1

= 8 175,00

-----------------------→VF4

= 7 500,00(1 + 0,09)2

= 8 910,75

---------------------------------→ VF3

= 7 500,00(1 + 0,09)3

= 9 712,72

---------------------------------------→VF2

= 7 500,00(1 + 0,09)4

= 10 586,86

----------------------------------------------→VF1

=7 500,00(1 + 0,09)5

= 11 539,68

Si sumamos los montos compuestos calculados VF

1+VF

2+VF

3+VF

4+VF

5+VF

6

obtenemos el Valor Futuro o Monto de la Anualidad VF = $56 425,01

Observamos que cada uno de los pagos periódicos ha sido multiplicado por su FSC, obteniendo montos compuestos parciales a partir de cada pago periódico. En la práctica este método de cálculo empleado se llama método largo para el

cálculo del monto o valor futuro de una anualidad o renta, que es un método demostrativo de su concepto. Utilizable cuando el número de pagos de la

anualidad es relativamente corto, y poco útil por lo largo y tedioso que sería aplicarlo a un número de pagos periódicos bastante grande. En reemplazo de esta forma de determinación utilizamos la ecuación directa de estimación.

Aplicando la ecuación del Valor Futuro o Monto de la Anualidad o Renta y

obtenemos:

VF6

= 7 500,00 09,0

1)09,01( 6

= 7 500,00 x 7,523334565 = $ 56 425,01

Un trabajador de la empresa X, ha aportado a la AFP Nueva Vida, S/. 450,00 mensuales durante 20 años. ¿Cuánto tendrá acumulado a la fecha si en ese

lapso la tasa de interés pagada era del 14,4% capitalizable mensualmente? Rpta. R= S/.450,00 j = 14,4% i = 14,4%/12 = 1,2% t = 20 años n = 20x12 = 240

Aplicando la fórmula:

VF240

= 450 012,0

1)012,01( 240

= 450 x 1 375,957165 = S/. 619 180,72

Cálculo de monto posterior al término de una anualidad o renta Hay casos en los cuales el monto acumulado por una anualidad, continúa

invertido generando intereses en ese caso dicho interés se calcula en términos de interés compuesto. Ejemplo.- Una persona deposita $250,00 al final de cada quincena durante 6

años en una cuenta que paga una tasa del 14.4% capitalizable mensualmente.

44

Si no realiza mas depósitos determine el valor acumulado en la cuenta, 18

meses después de haber efectuado el último depósito.

Rpta. Factores: R =$250,00 j = 14,4% i = 14,4%/24= 0,6% t = 6 años n = 6 x 24= 144

Luego

VF144

= 250,00 006,0

1)006,01( 144

= $56 938,12

Este monto determinado se convertirá en el principal que capitalizará intereses durante 18 meses más a partir de los siguientes factores:

VP = $56 938,12 i = 0,006 t = 18 meses n = 18/12 x 24 = 36

VF = 56 938,12 (1 + 0,006)36

= $70 620,44

45

Tema N° 10

Valor Presente de una Anualidad o Renta Simple Cierta Ordinaria o Vencida e Inmediata.

El valor presente de una anualidad es aquel capital denotado por VP que con

sus intereses compuestos en el tiempo o plazo de la anualidad proporcionará un valor futuro equivalente al de la anualidad.

VPn

= R i

i n)1(1

En donde: VP

n = Es el valor presente de una anualidad de n pagos

R = Es el importe del pago periódico de la anualidad

i

i n)1(1 = Factor de Actualización de la serie de pagos FAS

i;n ya

desarrollado. Ejercicios de aplicación

1. Una persona alquila una propiedad por 5 años por la que le pagarán una renta mensual de $ 4 500,00. Si conviene con su inquilino que le abone el

importe de dicho contrato el día de hoy, ofreciéndole una compensación a la tasa del 24% de interés capitalizable mensualmente. Determine el valor

presente del contrato. Rpta. Factores R= $4 500,00 j =24% p = Mensual, fc = 12; i = 24%/12 = 2%

t = 5 años n = 5 x 12 = 60 Aplicando la fórmula del valor presente tenemos:

VP60

= 4 500,00 x 02,0

)02,01(1 60

= 4 500,00 x 34,76088668 =$156 423,99

2. Un automóvil se vende con una cuota inicial de $7 500,00 y 48 cuotas mensuales de $777,00. Si el crédito automotriz cobra un interés del 17,4% con

capitalización mensual, hallar el valor al contado del vehículo. Rpta.

Factores: R = $777,00 j = 17,4% pc

= mensual fc

= 12 i = 17,4/12 = 1,45%

t = 48 meses n = 48/12 x 12 = 48 Cuota Inicial = $7 500,00 Valor al Contado = Cuota Inicial + Valor presente de la cuotas Entonces tengo que hallar el valor presente de las 48 cuotas y sumarlas a la

cuota inicial para determinarlo:

VP48

= 777 x 0145,0

)0145,01(1 48

= 777 x 34,40871624 = $26 735,57

Luego el Precio al Contado del vehículo será: V.C. = 7 500,00 + 26 735,57 = $34 235,57

46

3. Una persona desea comprar una renta de $5 500,00 pagadera

trimestralmente, durante los siguientes 10 años. Hallar el costo de la renta o anualidad si estos fondos son remunerados con una tasa del 9% capitalizable

trimestralmente. Rpta. Factores: R = $5 500,00 j = 9% p

c = trimestral f

c = 4 i = 9%/4 = 2,25%

t = 10 años n = 10 x 4 = 40

VP40

= 5 500,00 x 0225,0

)0225,01(1 40

= 5 500,00 x 26,19352221= $144 064,37

TALLER 07 TALLER APLICATIVO

Anualidades o Rentas Objetivo:

Verificar la comprensión acerca de los elementos de las Anualidades o Rentas


Resolver los siguientes problemas:

1.- Determinar el monto y valor presente de contrato de alquiler por el que se paga $2750,00 mensuales si el contrato es por 5 años, y la tasa que rige la operación es del 12,5% efectiva anual

2.- Una persona deposita $75 semanales durante 18 años en un banco que paga el 5% efectivo anual. Cuánto tendrá acumulado en su cuenta al cabo de

dicho plazo. 3.- Determinar la depósito bimestral que se tiene que hacer para disponer de $2’000 000 dentro de 8 años si la tasa que paga la entidad que los recibe es

del 7,5% efectiva anual. 4.- Hallar la pensión de jubilación que recibirá de su AFP un afiliado si su

cuenta personal de capitalización ha acumulado S/.1’111 111,11 y se le ha estimado una supervivencia probable de 25 años y la cuenta gana el 6,6% efectiva anual.

5.- Un automóvil es financiado por un banco al 70% en un programa de crédito automotriz pagadero en 4 años a la tasa del 7,5% efectiva anual, siendo su

costo de $35000,00. Hallar la cuota mensual que lo paga 6.- Una persona aportó a su AFP S/. 225,00 mensuales durante 44 años y 8 meses, al cabo de los cuales se jubiló y le han estimado una supervivencia

probable de 30años. Cuál será su pensión de jubilación si el fondo constituido con sus aportaciones gana el 6% efectivo anual

7.- Determinar la cantidad que debe aportase durante los próximos 20 años mensualmente a un fondo de retiro si se quiere recibir una pensión bimestral de S/.10 000.- si estos fondos ganan en la actualidad una tasa efectiva anual del

5,5%. 8.- Un TV de plasma es vendido en programa de crédito electrodoméstico a la

tasa de 30% efectivo anual y es pagadero en 3 años sin inicial y pagándose porél cuotas mensuales de S/.333.00. Hallar el valor al contado del aparato

47


UNIDAD III

AMORTIZACIÓN

APLICACIONES

FONDO DE

AMORTIZACIÓN

AMORTIZACIÓN Y FONDO DE AMORTIZACIÓN

APLICACIONES

BANCO CENTRAL DE LA

RESERVA DEL PERÚ





interés


exterior






de cheques


48

UNIDAD III: AMORTIZACIÓN Y FONDO DE

AMORTIZACIÓN

CAPACIDAD III

Identifica y explica los conceptos sobre los diferentes tipos o formas de

amortizar deudas, formas como se constituyen los fondos de amortización, los métodos matemáticos que se usan y valora su importancia en el flujo de las operaciones financieras


Desarrolla y evalúa cuadros de amortización o fondos de amortización. Analiza la amortización desde sus diferentes métodos. Desarrolla y describe las formas de constituir un fondo.


Reconoce y valora la importancia de la amortización y fondos de amortización en la liquidación de deudas. Reconoce y valora la importancia que tiene los fondos de amortización en la

elaboración de los estados financieros empresariales.


Tema N° 11 Amortización

La palabra amortizar tiene dos conceptos uno financiero y otro contable. El concepto financiero, parte de la palabra amortizar ( derivada de la

expresión a l’mort de origen francés que significa a la muerte) se usa para llamar así al proceso financiero por el cual se reduce progresivamente

(llegándose a cancelar) el volumen de una deuda y sus intereses, por intermedio de pagos iguales o diferentes a intervalos de tiempo iguales o distintos que pueden iniciarse al recibir el crédito(anticipados), al vencimiento

de cada periodo de pago (vencidos)o después de cierto plazo pactado (diferidos). Contablemente, se entiende como el proceso que consiste en disminuir el

valor de un activo, cargando este importe a gastos.

La amortización es una de las más grandes aplicaciones de las anualidades en las operaciones financieras de retorno o devolución de un crédito.

Existen diferentes sistemas de amortización y en ellos a su vez existen muchas variantes que dependen de la cuantía y de la frecuencia de los pagos, en todo, caso el interés simple o compuesto devengado se determina en base al saldo

pendiente de pago en el momento de hacerse la amortización. La Amortización a interés simple la vimos en el capítulo Nº2, ahora sólo trataremos aquellas

amortizaciones que devengan interés compuesto. Es importante denotar que los pagos periódicos de una amortización se fraccionan en dos partes una para

49

cubrir los intereses y el saldo o diferencia para amortizar el principal de la

deuda o capital vivo de la misma.

Sistemas o Clases de Amortización En base a la relación existente entre la amortización y los intereses de los pagos periódicos se tiene los siguientes sistemas o clases de amortización

Amortización Gradual. Es un sistema por cuotas de valor constante, con

intereses sobre saldos. En este sistema los pagos son iguales y se hacen a periodos de tiempo iguales. A medida que la deuda se va amortizando la cuota capital se incrementa geométricamente con una razón (1 + i) cuyo importe es

similar al decremento de la cuota interés. Conocido como Sistema Francés de amortización es el de uso mas generalizado y de mayor aplicación en el campo

financiero. Amortización Constante. Este sistema mantiene un valor igual para la

amortización –cuota capital– para cada periodo, por lo que el pago periódico se hace variable decreciente, al ser menor la cuota interés. Conocido como

Sistema Alemán de Amortización. En aplicación de este sistema es fácil calcular el saldo pendiente de pago en cualquier momento, particularmente útil cuando se hace refinanciamiento o se desea cancelar la deuda mediante un

pago único antes del vencimiento del plazo.

Amortización por cuotas incrementadas. Este sistema consiste en incrementar cada cierto tiempo el pago periódico. En la práctica es una aplicación de las anualidades variables, presentándose sistemas de

amortización con variación uniforme o con gradiente aritmético, el sistema en el que los pagos periódicos crecen geométricamente o con gradiente

geométrico y el sistema en el que las cuotas se incrementan usando un índice o indicador de referencia calculado por una entidad pública de reconocido prestigio tal es el caso del índice inflacionario o el índice de precios al

consumidor o algún otro que nos obligue a aumentar el valor de las cuotas de una manera variable.

Amortización por cuotas decrecientes. En este caso los modelos matemáticos son similares a los del sistema anterior, con la diferencia de que

los factores de variación son negativos.

Cálculo del Valor de las amortizaciones

Se presentan dos casos importantes:

- Determinar el importe de los pagos periódicos; - Hallar el número de pagos necesarios para amortizar una deuda.

Cuadros de Amortización

Se denomina así a la ordenación en columnas de cada uno de los elementos

notables del desarrollo de un préstamo: Número de Períodos; Servicio de la

50

deuda o pago periódico de la amortización; Cuotas interés; Cuotas capital;

Deuda extinguida después de cada período y Saldos sucesivos.

Por ejemplo del Caso de Amortización Gradual: Construir un cuadro de amortización para un préstamo de $1’500 000,00

pagadero en 5 años a la tasa del 7% efectivo anual.

Rpta. Para desarrollarlo primero aplicamos nuestra fórmula de cálculo del pago periódico de una anualidad cuando se conoce su valor presente.

R = 1’500 000,00 x FAS 0.07 : 5

= $ 365 836,04167

N°C Pago Periódico Cuota Interés Cuota Capital Deuda Extinguida Saldos Suc.

0 ------------------ ---------------- ---------------- --------------------- 1’500 000,00 1 365 836,04 105 000,00 260 836,04 260 835,04 1’239 163,96 2 365 836,04 86 741,48 279 094,56 539 930,60 960 069,40

3 365 836,04 67 204,86 298 631,18 838 561,78 661 438,22 4 365 836,04 46 300,68 319 535,36 1’158 097,14 341 902,86

5 365 836,06 23 933,20 341 902,86 1’500 000,00 -------------- 1’829180,22 329180,22 1’500000,00

En conclusión observamos lo siguiente:

La suma de las cuotas capital es igual al importe del préstamo. La suma de todos los pagos periódicos es igual a la suma de todas las cuotas interés y las cuotas capital.

En el último pago periódico notamos que tiene un valor 2 centavos mayor que los cuatro anteriores debido a que hemos redondeado el pago periódico al

centavo más próximo. Problemas

Una deuda de $800 000,00 se debe amortizar en 5 años con pagos anuales iguales al 9% efectivo sobre los saldos. Determinar el valor de cada cuota y

elaborar una tabla o cuadro de amortización para dicha deuda Ejemplo: Caso del Sistema de Amortización Constante

Una deuda de $360 000,00 debe cancelarse mediante 4 pagos semestrales

vencidos iguales más intereses al 18% capitalizable semestralmente, aplicando el sistema de amortización indicado elabore una tabla o cuadro de amortización para dicho caso.

Rpta. La cuota capital la obtenemos simplemente dividiendo el importe de la deuda

entre el número de pagos es decir 360 000/4 = 90 000 y a ella se le suma el interés del 9% efectivo determinado a partir del Saldo Sucesivo(Saldo del periodo anterior de la deuda) para el primer periodo será 9% de 360 000 que es

igual a 32 400 y así sucesivamente y se elabora el cuadro respectivo.

51

La Tabla o cuadro de amortización es el siguiente: N°C Pago Periódico Cuota interés Cuota Capital Deuda Extinguida Saldo Suc.

0 ------------------ ---------------- ---------------- -------------------- 360 000 1 122 400 32 400 90 000 90 000 270 000

2 114 300 24 300 90 000 180 000 180 000 3 106 200 16 200 90 000 270 000 90 000

4 98 100 8 100 90 000 360 000 ---------- - 441 000 81 000 360 000

Cuadro de Amortización de deudas correspondientes a Anualidades Generales. Para construirlo debemos considerar cada intervalo de pago como un período a

la tasa efectiva de interés correspondiente a ese intervalo

Por ejemplo

Construir el cuadro de amortización en cuatro pagos anuales iguales para una deuda de $700 000,00 al 6% capitalizable semestralmente.

También en este caso aplicamos la fórmula para determinar el pago periódico en el que incluimos la equivalencia de una tasa de interés capitalizable

semestralmente a una tasa anual sabiendo que la tasa efectiva por semestre es 6%/2 = 3% y también

i = (1 + 0,03)2

– 1 = 0,0609 efectiva anual

R = 4)0609,1(1

0609,000,000700 x= $ 202 430,53

La Tabla o Cuadro de amortización es el siguiente: N°C Pago Periódico Cuota Interés Cuota capital DeudaExtinguida Saldo Suc

0 ----------------- ---------------- --------------- ----------------- 700 000,00 1 202 430,53 42 630,00 159 800,53 159 800,53 540 199,47 2 202 430,53 32 898,15 169 532,38 329 332,91 370 667,09

3 202 430,53 22 573,63 179 856,90 509 189,81 190 810,19 4 202 430,53 11 620,34 190 810,19 700 000,00 --------------

809 722,12 109 722,12 700 000,00

Amortización a tasas variables

Es poco común pero es factible pactarse un crédito en el que se establecen tasas de interés que varíen de un período a otro en función del comportamiento de la economía en donde se practique la operación. En este caso el

procedimiento es simplemente producto del raciocinio y analogía de fórmulas aplicadas en el caso de la amortización con tasa uniforme.

52

Por ejemplo:

Un préstamo de $ 500 000,00, se debe amortizar en 4 cuotas anuales de $50 000,00; $100 000,00; $150 000,00 y $200 000,00 a las tasas del 9%, 7%, 12%

y 15% respectivamente. Construir un Cuadro de Amortización para este caso. Rpta. La tabla o cuadro de Amortización es el siguiente:

N°C Pago Period. Tasa Int. Cuota Ints Cuota capital Deuda Extinguida. Saldo Suc.

0 --------------- ---------- ------------ ---------------- -------------------- 500 000 1 95 000 0,09 45 000 50 000 50 000 450 000

2 131 500 0,07 31 500 100 000 150 000 350 000 3 192 000 0,12 42 000 150 000 300 000 200 000

4 230 000 0,15 30 000 200 000 500 000 ----------- 648 500 148 500 500 000

Para este tipo de operaciones se suele establecer con anticipación las cuotas capital o los pagos periódicos.

53


UNIDAD IV

VALORES

INVERSIONES: BONOS, OBLIGACIONES, ACCIONES

DEPRECIACIÓN

APLICACIONES

RENTAS PERPETUAS Y SEGUROS

BANCO CENTRAL DE LA

RESERVA DEL PERÚ





interés


exterior






de cheques


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UNIDAD IV: APLICACIONES

CAPACIDAD IV

Identifica y explica los conceptos sobre los diferentes tipos de aplicaciones –a productos financieros – bonos, acciones, obligaciones financieras; procesos de

depreciación a través de los modelos matemáticos que estas usan y valora su importancia en el flujo de las operaciones financieras.


Calcula el valor de los bonos, acciones, obligaciones financieras, es decir de

todo tipo de título o valor que se le proponga. Analiza la depreciación como una forma de escudo fiscal para incentivar a las empresas a la reinversión.

Desarrolla y describe las rentas perpetuas, los seguros de vida y otras para entender que se trata de una inversión y no de un gasto.


Reconoce y valora la importancia de las operaciones de compra venta de

títulos o valores bonos, acciones, obligaciones financieras, etc. Reconoce y valora la importancia que tiene la depreciación en la elaboración

de los estados financieros empresariales. Reconoce y valora la importancia de los seguros.


Tema N°12 INVERSIONES: BONOS,

OBLIGACIONES Y ACCIONES

En muchas ocasiones las empresas del sector público y privado requieren de capitales, para lo cual necesitan de la participación de inversionistas, que lo

quieran suministrar, para hacer atractiva la inversión, ofrecen muy buenos intereses a través de sus tasas de interés. En algunos casos, o mejor dicho para algunas inversiones además ofrecen el reintegro de su inversión en plazos

que son prefijados, ofreciéndoles ganancias de capital que son la diferencia entre lo que paga y lo que le devuelven al inversionista por los títulos – valores

en los que invirtió. Otro tipo de beneficio lo constituyen los dividendos del ejercicio, los mismos

que son pagados por las empresas o sociedades a sus accionistas o poseedores de estos títulos que fueron emitidos por la empresa, que dan lugar

a las ganancias o pérdidas que estas declaran para un determinado periodo – o ejercicio-.

Cada país a través de su Bolsa de Valores efectúa las transacciones de los diferentes títulos que en ese mercado se ofertan, tales como bonos de

55

diferentes empresas emisoras y de diferentes denominaciones, obligaciones,

acciones, etc.

En el mercado financiero los instrumentos más importantes para conseguir dinero de los inversionistas lo constituyen los Bonos, las Obligaciones y las Acciones. Antiguamente la diferencia entre un bono y una obligación residía en

que los bonos eran exclusivamente emitidos por el gobierno o dependencias autorizadas, y las obligaciones son emitidas por alguna empresa privada

autorizada. En la actualidad tanto el Estado como Inversionistas privados pueden emitir bonos y obligaciones.

Para los bonos existen muchos nombres que dependen del propósito para los que son emitidos. La obligaciones suelen ser llamadas convertibles,

subordinadas, indexadas, con rendimiento capitalizable, pero mayormente se conocen las obligaciones hipotecarias -aquellas que cuentan con una garantía real consistente en un hipoteca sobre bienes inmuebles que son propiedad de

la empresa emisora- Existen otras obligaciones no hipotecarias que son garantizadas por el prestigio y solvencia del ente emisor.

Las obligaciones pueden ser nominadas o nominales o registradas si en el texto de la misma aparece el nombre del comprador y carecen de valor para

otra persona que no sea aquella cuyo nombre esta inscrito o registrado y son innominadas o anónimas o al portador o no registradas cuando no incluyen el

nombre del comprador. Factores determinantes de un bono u obligación: Fechas: Se dice que existen tres fechas importantes a mencionar:

Fecha de emisión: definida como aquella que la empresa prestataria emite o coloca en el mercado de valores sus bonos u obligaciones.

Fecha de redención o vencimiento: aquella en que el organismo emisor se compromete a reintegrar el capital que prestaron los inversionistas. Fecha de compraventa: es aquella en la que el documento es negociado,

revendido o transferido a un tercero, operación que se realiza entre las dos fechas anteriores.

56

Tema N° 13

Valores

Todo título o valor de inversión se sustenta en ellos y estos valores básicamente son:

Valor Nominal o Denominación o Valor de Emisión (V.N.) es el valor consignado en el documento, que expresa el capital o principal que percibe el emisor, salvo que sea colocado a descuento. Por lo general son valores de 1,

10, 100 o múltiplos de 10. Valor de Redención V.R: es el valor que el emisor devuelve al inversionista o

comprador del título al término del plazo es decir en la fecha de redención y este valor puede ser: - A la Par si se redime a un valor igual al de su emisión o nominal.

- Con Premio o con Prima, si se redime a un valor mayor que su valor nominal y

- Con Descuento, si se redime a un valor menor que su valor de emisión o nominal.

Por ejemplo cuando se dice que un bono denominado a $1 000,00 se redime a 110, se interpreta como que el valor de redención será de $1 100,00 que quiere

decir que por cada mil dólares que se invierta se estará recibiendo $1 100,00 a la fecha de redención y se dice que estos bonos se redimen con prima o con premio. Si el valor de redención fuese $950,00 se dice que este bono se redime

con descuento a 95.

Para efectos de estudio también interesa el Valor de Compraventa (V.CV.) que se presenta cuando el bono es transferido en una fecha entre la fecha de emisión y la de redención y este también puede ser: a la par, con descuento o

con prima, valor que depende si se vende a un precio que es igual, mayor o menor que el precio de redención del bono.

La inversión en bonos y obligaciones determinan rendimientos en intereses y ganancias de inversión. Los rendimientos en intereses son regularmente a

interés de tipo simple porque se liquidan cada ejercicio y se expresan por la letra “i”. Las ganancias de inversión se obtienen a partir de una tasa de interés

capitalizable un número de veces al año y es la que el inversionista determina al invertir en estos títulos y se expresan por la letra “r”.

Los Bonos u obligaciones, son sustentados por un documento cuyo contenido o texto indican la razón social de la empresa que los emite, el valor nominal, la

fecha de redención, la tasa de interés que pagan expresados por “i”, las fechas de pagos de intereses a veces expresados en cupones seriados adheridos al cuerpo del documento o impresos en el reverso del título, el total de bonos o

títulos emitidos, nombre del comprador si son nominados y algunas cláusulas adicionales respecto a las condiciones para redimir el anticipadamente el título.

Para un comprador de bonos y obligaciones es importante determinar la suma que tiene que invertir para que ella le reporte el beneficio esperado. Este

57

beneficio dependerá de las tasas de interés que produzcan los cupones “i” y del

rendimiento “r” del título u obligación que está adquiriendo. Como el beneficio de los cupones no puede cambiarse porque dependen directamente de la

empresa emisora, en cambio las ganancias por la inversión si pueden variarse y establecerse de común acuerdo entre las partes, aunque siempre predomina el valor ofertado por el comprador. Estas operaciones se hacen casi siempre

con la presencia de una persona entendida en la materia – un agente de una sociedad corredora de valores - y estas se pueden realizar en una fecha de

pago de cupón o pago de intereses o entre fechas de cupones, es decir una fecha intermedia o mejor dicho no coincide con el vencimiento de cupón alguno.

Para determinar el Valor de una Obligación o Bono, incluyendo los intereses

refrendados por cupones seriados, contamos un número de períodos antes de su redención se aplica la suma de dos factores:

Primero: El valor presente a interés compuesto del valor de redención de documento V.R. en base al tiempo o plazo –periodos- que transcurre entre la

fecha de compraventa y la fecha de redención del título. A la tasa de beneficio i / f

c

Segundo: El valor presente de una anualidad de n pagos, en donde el pago periódico R es el importe de cada pago de intereses o cupón a la tasa de

interés anual o si el interés se paga fraccionado en base al número de periodos respectivo.

Valor de una

Obligación o = P(1 + i)-n

+ Rc

nfc

fi

fi

/

)/1(1

Bono Ejercicio de Aplicación

Encontrar el valor de compraventa de un bono de valor nominal $500,00 que se

emitió a la par y se colocó en la bolsa de valores a la tasa del 48% anual pagadero trimestralmente. Suponiendo que se transfiera 4 años antes de su redención y que se desea un beneficio del 36% anual capitalizable también

trimestralmente para su comprador. Rpta.

Factores: P = $500,00 (Valor del Bono) i = 0,48 Tasa de rendimiento capitalizable trimestralmente; fc = 4 por trimestral i / fc = 0,48 / 4 = 0,12 t = 4 años n = 4 x 4 = 16

Primero determinamos los intereses por cada cupón

R = 500 x 0,48/4 = 60,00 Además:

r = 36% p = trimestral fc = 4 r / fc

= 0,36 / 4 = 0,09 t = 4años n = 4x4=16

58

Valor pagado = 500,00 (1+ 0,09)-16

+ 60 09,0

)09,01(1 16

Valor pagado = 125,93 + 498,75= $624,68

La Corporación Financiera de Desarrollo emitió bonos tipo E de $10 000.00 que devengan un interés del 24% capitalizable cada 4 meses y vencen a la par en 10 años. Determinar su valor el día de hoy 01 de mayo fecha de pago de

intereses cuando ya han transcurrido de su emisión 7 cuadrimestres de un total de 30 – incluido el presente y se desea ganar un interés por la compra del 30%

también con la misma capitalización anotada Rpta. Factores: V.N. = 10 000.00 i = 0,24; f

c= 3; i / f

c = 0,24 / 3 = 0,08; n = 30 – 7 =23

Determinamos los intereses por cupón: R = 10 000 x 0,24 / 3 = 800,00

Además r = 0,30 p = cuatrimestral; fc

= 3; r / fc

= 0,30 / 3 = 0,10 n = 30 – 7 = 23

V.CV. =10 000,00(1+0,1) -23

+ 800 1,0

)1,01(1 23

=1 116,78 + 7 106,57 = $8 223,35

¿Cuál es la tasa de interés que ofrece COFIDE en el problema anterior por sus bonos si el valor de compraventa el 1ro de mayo de este año es de $8 550,00 y que exactamente falta para su redención 23 cuadrimestres?

Entonces planteamos la siguiente ecuación Para determinar el valor de la tasa de interés “i “necesitamos primero el valor

de los intereses por cupón R que determinaremos en base al número de cuadrimestres que faltan para la redención que son 23

8 550,00 = 10 000,00 (1+ 0,1) –23

+ R 1,0

)1,01(1 23

=

8 550,00 = 1 116,78 + R (8,883218422)

De donde

R = 883218422,8

78,116100,5508 = 836,7710493

Sabemos que R = VN ( i / fc) entonces

836,7710493 = 10 000 (i/3)

i = 0,2510313148

Resultado se interpreta como que COFIDE colocó sus bonos tipo E a una tasa aproximada del 25,1% de interés simple anual, de tal forma que el 1ro. de mayo se negociaron a

$8 550,00 ¿Cuál es el valor de una obligación hipotecaria de valor nominal $25 000,00

con intereses del 27% pagaderos en cupones bimestrales si se venden 18 meses antes de su vencimiento y se ofrece al inversionista un beneficio en la operación del 30% capitalizable trimestralmente?.

59

Rpta.

Primero determinamos la tasa compuesta bimestralmente r equivalente a una tasa del 30% capitalizable trimestralmente con la siguiente ecuación:

(1 + r / 6)6

= (1 + 0,30/4) 4

1 + r / 6 = ( 1 + 0,075) 4/6

de donde r / 6 = 1,049394965 - 1 = 0,049393965 r = 0,2963697907

Los otros factores son: VN =V.R.= 25 000,00 valor de la obligación en la fecha

de redención, de lo contrario es igual al valor nominal del título; “i” = 0,27 la tasa de interés simple pagadera bimestralmente; f

c = 6 número de cupones que

se cobran por año o frecuencia de conversión; t = 18 meses tiempo antes de su redención; n = (18/12 x 6) = 9 número de cupones pendientes de cobranza al

momento de hacer la compraventa. El Valor de cada cupón es: R = 25 000,00 x 0,27/6 = $1 125,00

Por lo que el valor de compraventa será:

V.CV. = 25 000,00 ( 1+ 0,049393965) –9

+ 1 125,00 049393965,0

)049393965,01(1 9

=

V.CV. = 16 199,17691 + 4 400,41155 = $20 599,58846

V.CV. = $20 599,59

Como, este resultado es menor que el valor de redención se interpreta que se está comprando a descuento que es la diferencia entre las dos cantidades es

decir Descuento = 25 000,00 – 20 599,59 = $4 400,41/25 000 = 0,176 o 17,6% de descuento o que se están vendiendo a 100 – 17,6 = 82,4

Una persona compró un lote de 12 obligaciones en $1 890,00 faltando 5 años

para su redención ¿Cuál es valor nominal y cual será su beneficio por su inversión si el rendimiento es del 28% nominal trimestral y el tipo de interés al que se colocó la emisión fue del 19,2% simple anual con cupones pagaderos

también trimestralmente Rpta.

Factores: Valor de cada obligación : $1 890,00 / 12 = $157,50 = VN La tasa nominal r = 28% pagadera trimestralmente; fc= 4 Frecuencia de conversión

r = 28% / 4 = 7% tasa efectiva por trimestre t = 5 años tiempo entre la compraventa y su redención;

n = 20 cupones que faltan cobrar, i = 19,2% tasa de interés de los cupones trimestrales Entonces desconocemos V.R. el valor de redención del documento y por tanto

también el pago trimestral por concepto de intereses teóricamente sería igual a R = VR(0,192 / 4) = P(0,048). a continuación aplicamos la ecuación:

60

157,50 = V.N. (1 + 0,07) –20

+ V.N. (0,0480) 07,0

)07,01(1 20

=

157,50 = V.N.(0,2584190028) + V.N. (0,5085126838)

157,50 = V.N.(0,7669316866) V.N. = 205,3637928

Resultado que se interpreta como que el valor de redención y emisión de las obligaciones en mención fue de $205,36. Luego los intereses que cobrará

dicha persona por cupón será R = 205,36 (0,048) = $ 9,86 y las Utilidades o beneficios por su inversión y por obligación U = 205,3637928 + 20(9,86) –

157,5 = $245,06 por cada una, por las doce se multiplicará: 245,06 x 12 = $2 940,76.

Una empresa azucarera emite obligaciones con un valor nominal de $250,00

redimibles a 130 (Con premio) a un plazo de 10 años, los intereses que se pagan son del 24% anual mediante cupones semestrales.¿Cuál es el precio a pagarse por cada obligación 3 años después de haberse emitido si se desea un

rendimiento en la operación 36% capitalizable semestralmente.? Calcular los intereses que gana el inversionista y elaborar un cuadro de acumulación de

descuento correspondiente Rpta. 1ra. Parte

Por que se redimen a 130, el valor de redención es 30% mayor que el de emisión esto es: V.R. = 250,00 x 1,3 = $325,00

El Valor de cada cupón semestral lo obtenemos así: R = 250,00 x 0,24/2 = $30,00 Este valor lo calculamos en base al valor nominal y no al de redención.

La tasa de rendimiento que se desea es r = 36% capitalizable semestralmente. Que nos da una tasa efectiva por semestre r / 2 = 36%/ 2= 18% o 0,18. Siendo

el plazo de 10 – 3 = 7 años que faltan para el vencimiento quedándonos 14 cupones por cobrar aplicando la ecuación de compraventa tenemos:

V.CV. = 325,00( 1 + 0,18 ) –14

+ 30,00 18,0

)18,01(1 14

=

V.CV. = 32,0284011 + 150,2418456 = 182,2702467 = $ 182,27

El Descuento con el que se adquiere la obligación es 325,00 – 182,27 =

$142,73 Rpta. II Parte

Intereses o Utilidad que obtiene el inversionista, que en la práctica son la diferencia entre el valor de redención más los intereses de los cupones y el

precio de compraventa. Intereses o Utilidad de la operación = 325 + 14 (30) – 182,27 = $562,73 Rpta. Parte III

61

El Cuadro de Acumulación del descuento, el mismo que se inicializa con el

valor de compraventa para el periodo 0, a continuación se obtiene el rendimiento por la tasa efectiva por semestre que es del 18% es decir

Interés efectivo por el 1er. Semestre = 187,27 x 0,36 /2 = 33,7086 Período Intereses Int. /Cupón Diferencia Valor Contable

0 ------------------- --------------- ------------------ 182,270246700 1 32,808644406 30,00 2,808644406 185,078891106

2 33,314200399 30,00 3,314200399 188,393091499 3 33,910756467 30,00 3,910756467 192,303847969 4 34,614692622 30,00 4,614692622 196,918540522

5 35,445337294 30,00 5,445337294 202,363877794 6 36,425498003 30,00 6,425498003 208,789375703

7 37,582087627 30,00 7,582087627 216,371463326 8 38,946863399 30,00 8,946863399 225,318326699 9 40,557298806 30,00 10,557298806 235,875625406

10 42,457612573 30,00 12,457612573 248,333237973 11 44,699982822 30,00 14,699982822 263,033220722

12 47,345979730 30,00 17,345979730 280,379200430 13 50,468256077 30,00 20,468256077 300,847456477 14 54,152542166 30,00 24,152542166 324,999999857

Ejercicio desarrollado en parte y para completar:

Un bono de $150,00 de valor nominal y cupones de $11,25 pagaderos trimestralmente se transfiere 3 años antes de su redención a) Obtener la tasa de interés a la que fue colocada la emisión.

b) El valor de compraventa si se quiere un rendimiento del 38% capitalizable trimestralmente.

c) La Utilidad o Intereses para quien adquiere un bono. d) El descuento con el que se comprae) Elaborar un cuadro de acumulación del descuento para el caso en mención.

Rpta. a) Para obtener la tasa de interés se despeja i de la ecuación siguiente:

11,25 = 150 ( i / 4) de donde i = 11,25 x4 / 150 = 0,3 o 30% Rpta. b)El valor de compraventa se obtiene sustituyendo valores en su ecuación

Valor Nominal V.N. = $150; r / 4 = 0,38 / 4 = 0,095 R = $11,25 t = 3 años n = 3 x 4 = 12

luego:

V.CV. = 150 (1+ 0,095) –12

+ 11,25 095,0

)095,01(1 12

=$129,0484818 = $129,05

c) La Utilidad o Intereses del Comprador

U= 150 +12(11,25) –129,05 = $155,95 d) Descuento

D = 150 – 129,0484818 = $20,9515182 e) El Cuadro a manera de práctica lo haces tú.

62

63

Tema N° 14

DEPRECIACIÓN Y AGOTAMIENTO

El valor de los activos –llámense: edificios, transportes, maquinaria, equipos, etc.- disminuye con el tiempo ya sea por el deterioro propio causado por el uso

que se les dá, o por los avances técnicos que pueden determinar su obsolescencia o operación o uso antieconómico -salvo los terrenos-, la cuantificación de dicha pérdida de valor se determina por procesos de

depreciación.

Toda empresa dedicada la fabricación de bienes y servicios debe considerar seriamente la formulación de provisiones por concepto de depreciación tanto para establecer sus costos operativos y de servicios, como para poder afrontar

los problemas financieros y de descapitalización que pudieran presentarse al término de la vida útil de sus activos.

Definición.

La depreciación es la pérdida de valor – no recuperada con el mantenimiento -

que sufre un activo fijo y tangible como consecuencia de su uso, deterioro y obsolescencia.

Factores que participan en el proceso de depreciación de un activo :

- Vida Util (V.U.), o llamada también duración probable de un activo, es el

tiempo supuesto que se le asigna al activo como referencia para ser

depreciado, este puede ser estimado en base al criterio de expertos, por asignación propia de los fabricantes de las maquinarias y equipos y para ello se le puede medir por un número puntual de años, o un número de

horas de operación o de servicio o un número específico de unidades de producción. En particular este factor, es determinante para las diferentes

clases o métodos para depreciar. - Costo Original (C.O), es el valor o precio que se ha pagado para adquirir el

activo, este viene refrendado en la factura de compra, si es un activo autofabricado como edificios, instalaciones de fábrica será el valor

declarado en su declaratoria de fábrica y si es un activo de segunda mano será valorizado a su precio de adquisición o por tasadores especializados que le asignarán un valor.

- Valor Residual o Valor de Rescate (V.R.) o Valor de Deshecho (V.D.) o

Valor de Salvamento (V.S.), es el valor que tiene un activo al término de su

vida útil y este puede ser positivo, negativo o nulo. Es positivo si al momento de darle de baja dicho activo tiene un valor

reventa en el mercado ya sea como activo útil –operativo- o como chatarra -al peso-.

Ej. Un automóvil con 10 años de uso, y que está totalmente depreciado encuentra en el mercado un precio de reventa entre $1,000 y $2,000, dependiendo de la condición en la que se encuentre. Claro, que si está

64

totalmente deteriorado también lo podrán vender pero al peso, en ese caso

su valor baja apreciablemente, dependiendo de la oferta del comprador que seguro la canibalizará –es decir tratará de sacar las partes utilizables para

comercializarlos como autopartes de segunda mano. Es negativo si es que ese activo para darle de baja hay que efectuar algún gasto adicional por tal motivo.

Ej. Una vieja casona no la quieren comprar mas que a precio de terreno limpio razón por la que el propietario para poder verderlo como tal, debe

disponer la demolición de la misma que tiene un costo de aproximado S/.10,000.00.

Es nulo, si el activo al término de su vida útil es un total y absoluto desperdicio, es decir en la práctica no vale nada, sólo para botar a la

basura. Ejemplo Una computadora afectada por un incendio.

Depreciación Total (D.T.), es el valor total en el que se deprecia un

activo, en la práctica resulta de la diferencia entre el Costo Original y el Valor de Salvamento o Residual es decir C.O. – V.S.

Cargo por Concepto de Depreciación (C.D.) o Provisiones por

Depreciación (P.D.), es la cantidad en la que se deprecia o disminuye el valor

contable de un activo en un ejercicio determinado. Es decir es aquella suma que deducimos de utilidades y que corresponden a la disminución que afecta al valor contable del activo. La determinación de los C.D. responde a los métodos

para depreciar que se utilizan. En la empresa moderna los cargos por concepto de depreciación suelen invertirse en títulos, efectos financieros u otras

inversiones para constituir un fondo aplicable a la sustitución del activo, aunque la práctica más común consiste en utilizar los fondos recobrados, en las operaciones propias de la empresa, particularmente para adquirir bienes de

capital de necesidad para la actividad empresarial que desarrollan, es decir son una fuente de fondos muy importante para cubrir objetivos específicos, la

inversión de estos fondos en nuevos activos, permiten obtener una mas alta rentabilidad que si se hubieran invertido como ya anotamos líneas arriba en títulos y efectos financieros.

Depreciación Acumulada (D.A.) o Fondo de Depreciación (F.D.). Este

factor resulta de la suma de los cargos por concepto de depreciación o provisiones de depreciación que se efectúan año a año. La cantidad acumulada en este fondo al término de su vida útil deberá ser igual a la Depreciación Total

y la misma sumada al valor de salvamento será igual al Costo Original. Valor Contable (V.C.) o Valor en Libros (V.L.). Es el valor que se le

asigna particularmente al activo en los libros de contabilidad de la empresa, en la práctica es el valor que tiene el activo al final de cualquier año luego de

depreciarse. Al inicio llamado año 0 o mejor dicho cuando el activo es registrado o ingresa como patrimonio de la empresa, este valor es igual al

costo original y en el último año de vida útil será igual al valor de salvamento o valor residual.

65

Agotamiento.- Es la pérdida progresiva de un activo por reducción de la

cantidad aprovechable del mismo. Tal es el caso de minas y pozos petroleros

que luego de explotarse van disminuyendo por la operación extractiva a la que se le somete hasta agotarse. Este tipo de activos llamados agotables no pueden reemplazarse.

Obsolescencia o Desuso. Esto ocurre cuando un activo por el desarrollo

tecnológico, nuevos inventos o por su alto costo operativo no resulta rentable o antieconómica su utilización.

Métodos para determinar la depreciación:

Método Uniforme o de la Línea Recta o Lineal.

Este método se basa en el hecho de que los cargos por depreciación anual son del mismo importe para todos los años de vida útil del activo. En la práctica comercial el Cargo Anual por Concepto de Depreciación (C.D.) se determina

dividiendo la diferencia entre el Costo Original (C.O.) del activo y el Valor de Salvamento (V.S.) o el Valor Residual (V.R.), diferencia que en la práctica es

igual a la Depreciación Total (D.T.) entre los Años de Vida Útil (V.U.) del activo. Es decir:

C.D. = ..

..

..

....

UV

TD

UV

SVOC

Ejercicio de aplicación.

La Compañía de Inversiones Palacio Real S.A. compró una mezcladora de concreto valorizada según factura en $17,500.00, la misma a la que se le ha

estimado una vida útil de 6 años y un valor de salvamento de $2,500.00. Utilizando el Método Uniforme o de la Línea Recta, obtener el Cargo Anual por

Concepto de Depreciación y construir un cuadro demostrativo del proceso de depreciación de dicho activo.

Rpta. Factores: C.O. $ 17 500,00 V.S. $2 500,00 V.U. 6 años C.D. = ?

C.D. = 6

500250017= $2 500,00

Resultado se interpreta como que la mezcladora de concreto, disminuirá su valor en $2,500.00 cada uno de los 6 años que estará en servicio. Siendo el

cuadro demostrativo del proceso de depreciación de dicho activo el siguiente:

V.U. C.D. D.A. V.C. ó V.L. Vida Útil Cargo por Depreciación Depreciación acumulada Valor en Libros 0 -------------------------------- --------------------------------- 17 500,00

66

1 2 500,00 2 500,00 15 000,00

2 2 500,00 5 000,00 12 500,00 3 2 500,00 7 500,00 10 000,00

4 2 500,00 10 000,00 7 500,00 5 2 500,00 12 500,00 5 000,00 6 2 500,00 15 000,00 2 500,00

Método de las Unidades de Producción u Operación

Este método es una variación del método uniforme que se aplica a determinados activos cuya vida útil es expresada en unidades de producción u operación tales como horas, kilómetros o millas recorridas, etc. En estos casos

primero tendremos que determinar el Cargo Anual por Concepto de Depreciación por unidad de producción u operación y luego en función del uso

operación o producción que se le haya controlado al activo por ejercicio se multiplicará el cargo antes estimado por las unidades de producción u operación ocurridas, como se verá en el ejercicio de aplicación a continuación.

Un Sistema Integrado de Cómputo tiene un costo original de $265,000.00, un valor de Salvamento de $25,000.00 y tiene una vida útil estimada por sus

fabricantes de 40,000 horas de operación. Con esa información determine el Cargo por Hora de Operación y luego estime los cargos anuales por concepto de depreciación si dicho activo operó en el 1er. Año 8,500 horas; el 2do. Año

7,750 horas; el 3er. Año 8,250 horas; el 4to. Año 7,500 horas y el 5to. Año 8,000 horas y construya una tabla descriptiva del proceso de la depreciación de

dicho activo Rpta.

Factores: C.O.= $265 000 V.S. =25 000 D.T. = 240 000 V.U. = 40 000 horas

C.D/hora de Operación

= 00040

000240

00040

00025000265= $6,00

V. U. C. D. D.A. o F.D. V.C. o V. L.

0 ----------------------------------- --------------- 265 000,00

1 8 500 x 6,00 = $51 000,00 51 000,00 214 000,00 2 7 750 x 6,00 = $46 500,00 97 500,00 167 500,00

3 8 250 x 6,00 = $49 500,00 147 000,00 118 000,00 4 7 500 x 6,00 = $45 000,00 192 000,00 73 000,00 5 8 000 x 6,00 = $48 000,00 240 000,00 25 000,00

Método de la Suma de los Dígitos de los Años de Vida Útil del activo.

Es un método clasificado como acelerado de depreciación porque los Cargos Anuales por concepto de Depreciación son considerados variables decrecientes ya que en los primeros años son mayores que en los últimos.

Para determinar los C.D. bastará con multiplicar la Depreciación Total por una fracción a/b, en donde el denominador b, resulta de la suma de sucesión de

números que van desde la unidad hasta el número de años de vida útil asignada al activo, respecto al numerador a, este representa el año en el sentido inverso en el que se está aplicando la depreciación. Entonces para un

67

activo con 8 años de vida útil el valor del denominador b será igual b =

1+2+3+4+5+6+7+8 = 36 y para el numerador a, de la misma fracción se reordenará la sucesión de manera inversa es decir, para la primera fracción

será 8, para la segunda será 7 y así sucesivamente hasta el octava fracción en donde al valor de a será igual a 1 o la unidad.

Ejercicio de aplicación de este método.

La Inversiones La Ponderosa S.A. adquirió una retroexcabadora a $320

000,00, máquina que tiene un valor residual o de salvamento estimado en el 15% de Costo original y una vida útil de 9 años. Con esa información elabore una tabla demostrativa del proceso de depreciación de dicho activo sabiendo

que se le aplica el método en estudio. Rpta.

Factores: C.O. = $320,000.00 V.S. =15% de $320,000.00 = $48,000.00 D.T. =$320,000.00 – $48,000.00 = $272,000,00 V.U. = 9 años Valor del Denominador b de la fracción a/b = 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45

V.U. C.D. D.A. o F.D. V.C. o V. L.

0 ------------------------------------- ---------------- 320 000,00 1 9/45 x 272 000 = 54 400,00 54 400,00 265 600,00

2 8/45 x 272 000 = 48 355,56 102 755,56 217 244,44

3 7/45 x 272 000 = 42 311,11 145 066,67 174 933,33 4 6/45 x 272 000 = 36 266,67 181 333,34 138 666,66

5 5/45 x 272 000 = 30 222,22 211 555,56 108 444,44 6 4/45 x 272 000 = 24 177,78 235 733,34 84 266,66 7 3/45 x 272 000 = 18 133,33 253 866,67 66 133,33

8 2/45 x 272 000 = 12 088,89 265 955,56 54 044,44 9 1/45 x 272 000 = 6 044,44 272 000,00 48 000,00

Método de la Tasa o Porcentaje Fijo del Saldo Decreciente o Variación Geométrica

Es otro método acelerado de depreciación en el que el Cargo Anual por Concepto de Depreciación es efectivamente una tasa o porcentaje fijo del Valor

en Libros o Valor Contable del activo del año precedente, en la práctica los C.D. son variables decrecientes, es decir los C.D. de los primeros años son de mayor cantidad que los de los últimos.

La Tasa o porcentaje fijo d se obtiene a partir de la siguiente expresión:

Tasa o Porcentaje Fijo “d” = 1 – originalCosto

SalvamentodeValorn

Ejercicio de Aplicación

Aplicando el método en estudio –tasa o porcentaje fijo del saldo decreciente-

determinar primero dicha tasa y con ella elaborar una tabla demostrativa del proceso de depreciación de un equipo profesional de sonido y video adquirido a

$32,000.00 al que se le estima una duración probable de 6 años –según fabricantes- y un valor residual o de salvamento de $4,000.00.

68

Rpta.

Factores: C.O. = $32,000.00 V.S. = $4,000.00 D.T. = $28,000.00 V.U. = 6 años

Determinación de la Tasa o Porcentaje fijo d = 1 – 6

√4,000/32,000 = 0.2928932188

V.U. C.D. D.A. o F.D. V.L. o V.C.

0 --------------------------------------------------- --------------- 32 000,00 1 0.2928932188 x 32 000,00 = 9 372,58 9 372,58 22 627,42 2 0.2928932188 x 22 627,42 = 6 627,42 16 000,00 16 000,00

3 0.2928932188 x 16 000,00 = 4 686,29 20 686,29 11 313,71 4 0.2928932188 x 11 313,71 = 3 313,71 24 000,00 8 000,00

5 0.2928932188 x 8 000,00 = 2 343,15 26 343,15 5 656,85 6 0.2928932188 x 5 656,85 = 1 656,85 28 000,00 4 000,00

Método de Depreciación por Fondo de Amortización A este método se le considera una variación también del método lineal o

uniforme ya que el Cargo Anual por Concepto de Depreciación es una cantidad igual para todos los años de vida útil del activo, con la diferencia de que estos cargos son depositados en un fondo que paga intereses, los mismos que son

agregados al cargo anual fijo conforme el fondo los va produciendo, generándose un nuevo o verdadero cargo neto por depreciación variable creciente para cada año por los incrementos del fondo año a año.

Para determinar el cargo anual fijo por concepto de depreciación recurrimos a la fórmula del pago periódico de una anualidad simple cierta ordinaria o vencida

e inmediata, cuando conocemos el monto o valor futuro de la anualidad, en la que adecuamos terminología de la depreciación a ella.

Haciendo el Pago Periódico R, igual al Cargo Anual por Concepto de Depreciación C.D., el Costo Original menos el Valor de Salvamento que es

igual a la Depreciación Total la hacemos igual al Monto o Valor Futuro de una Anualidad, la tasa de interés que rinde el fondo igual a la tasa de interés de la anualidad y la vida útil del activo igual al tiempo de la anualidad de ahí nos

queda la siguiente expresión

C.D. = 1)1(

...

1)1(

.)...(nn i

iTD

i

iSVOC

Ejercicio de Aplicación

Se compró una bomba de agua que costo $7,500.00 la misma que tiene una vida útil estimada por sus fabricantes de 7 años y al cabo de los cuales su valor

de salvamento es de $500.00, determine el cargo anual fijo por concepto de depreciación para dicho activo, y elabore una tabla demostrativa del proceso de

depreciación sabiendo que los cargos por ese concepto son depositados en una cuenta de ahorros que paga el 9.6% efectivo anual. Rpta.

Factores: C.O.=$7 500,00; V.S.=$500,00; D.T.=$7 000,00; V.U.=7 años; i=9,6%

69

C.D. = 1)096,01(

096,0)5005007(7

= $746,96

Intereses del Fondo V.U. C.D. al 9,6% Verdadera Deprec. D.A. o F.D. V.C. o V. L.

0 ---------- ---------------- -------------------- ----------- 7 500,00 1 746,96 0 746,96 746,96 6 753,04 2 746,96 71,71 818,67 1 565,63 5 934,37

3 746,96 150,30 897,26 2 462,88 5 037,12 4 746,96 236,44 983,40 3 446,28 4 053,72

5 746,96 330,84 1 077,80 4 524,08 2 975,92 6 746,96 434,31 1 181,27 5 705,35 1 794,65

7 746,96 547,71 1 294,67(5)* 7,000,00 500,00

(5)*ajuste por exceso

$0.02 debido al redondeo del C.D. La diferencia de 0,02 en exceso se origina en las aproximaciones de cálculo y se ajusta en libros contables al efectuar el último cargo anual por concepto de

depreciación.

Método de Depreciación con Intereses sobre la Inversión. En términos financieros, los capitales invertidos en activos productivos deben generar un interés o rédito, como cualquier inversión de dinero, a partir de este

concepto muchos empresarios determinan que los ingresos del negocio provean de fondos tanto para la depreciación como para pagar los intereses

sobre la inversión. El interés a cobrarse no deberá necesariamente ser igual al interés producido por el fondo para depreciación.

En la práctica este método es una ampliación del Método de Depreciación por Fondo de Amortización que consiste en que el capital invertido-o- prestado

para la compra del activo, es remunerado de manera aparte en favor del inversionista generando un mayor gasto por parte de la empresa, es decir a partir de los Cargos Anuales por Concepto de Depreciación resultantes de la

suma del cargo fijo calculado por el método, más los intereses del Fondo para Depreciación o Depreciación Acumulada y más el interés sobre la inversión

calculado a partir del valor en libros del año precedente, como se verá descriptivamente en el ejercicio de aplicación a continuación.

Ejemplo de aplicación del Método en estudio. Una máquina envasadora para una línea de producción de productos

alimenticios determinó la inversión de $33 000,00, a la que se le ha estimado un vida útil de 8 años y un valor de salvamento de $5 000,00, sabiendo que los cargos anuales por concepto de depreciación son depositados en una cuenta a

plazo que es remunerada a la tasa del 8,4% y que el inversionista cobre el 12,5% de intereses anuales sobre su inversión. Con esta información elabore

un cuadro demostrativo del proceso de depreciación para dicho activo en el que se muestre los intereses del Fondo para depreciación o Depreciación acumulada y los intereses sobre la inversión que cobra el inversionista.

70

Rpta.

Factores: C.O.=$33 000,00; V.S.=$5 000,00; D.T.=$28 000,00; V.U.=8 años Intereses pagados al Fondo para Depreciación= 8,4%

Intereses abonados al inversionista Capitalista que prestó el dinero = 12,5% Cálculo del Cargo Anual Fijo con aplicación de la fórmula

C.D. = 1)084,01(

084,0)000500033(8

x = $ 2 594,63

8, 4% 12,5% V.U. C.D. Int. F.D. Verd. C.D. F.D. o D.A. V.C. o V.L. Int.al Inv. Verd.Gast.

0 ----------- ----------- ----------- ------------- 33 000,00 ------------ ------------ 1 2 594,63 0 2 594,63 2 594,63 30 405,37 4 125,00 6 719,63 2 2 594,63 217,95 2 812,58 5 407,21 27 592,79 3 800,67 6 613,25

3 2 594,63 454,21 3 048,84 8 456,05 24 543,95 3 449,10 6 497,94 4 2 594,63 710,31 3 304,94 11 760,99 21 239,01 3 067,99 6 372,93

5 2 594,63 987,92 3 582,55 15 343,54 17 656,46 2 654,88 6 237,43 6 2 594,63 1 288,86 3 883,49 19 227,03 13 772,97 2 207,06 6 090,55 7 2 594,63 1 615,07 4 209,70 23 436,73 9 563,27 1 721,63 5 931,32

8 2 594,63 1 968,69 4 563,32 28 000,05* 5 000,00 1 195,41 5 758,73 *ajuste por exceso $0,05

Como se puede apreciar en la tabla en la columna del fondo para depreciación o depreciación acumulada en el último cargo hay exceso de $0.05 producido por redondeos en los cálculos, el mismo que deberá ajustarse en dicho último

cargo de dicha columna.

Agotamiento y Recuperación de la Inversión en Bienes Agotables. Por la definición entendemos por bienes agotables, aquellos activos que pierden su valor luego de un determinado tiempo de explotación al reducirse la

cantidad materia o bien explotado aprovechable del mismo, como decíamos en las definiciones es el caso de las minas y pozos petroleros.

En estos casos para recuperar la inversión es necesario efectuar reservas que se acumulen en un fondo de amortización.

Valor Actual Neto: VAN

71

Definición: Dado el flujo de caja de un proyecto o alternativa de inversión, se

define su valor Actual neto (VAN) como:

VAN = VA(I) – VA(E) Donde:

VA(I) : Valor actual de los ingresos

VA(E) : Valor actual de los egresos Para calcular el Valor actual neto debemos conocer lo siguiente:

a. el tiempo de duración del proyecto a alternativa conocida como vida útil;

b. el flujo de caja, es decir los egresos y los ingresos en el

tiempo; c. la tasa de descuento o tasa de oportunidad , que puede ser

constante o variable; d. valor de mercado del proyecto, (valor comercial) e. la matemática financiera necesaria para calcular el VA(I)

como el VA(E) El Valor Actual Neto,(VAN), del flujo de caja de un proyecto o alternativa de

inversión represéntale valor equivalente en nuevos soles de hoy, de la ganancia pérdida que se obtendrán al llevar a cabo el proyecto. Así, este índice puede interpretarse de la siguiente manera:

Si VAN > 0, significa que debe llevarse a cabo el proyecto, obtenemos ganancia, medida en soles de hoy,

Si VAN < 0, significa que llevar a cabo el proyecto o alternativa de inversión obtenemos una ganancia negativa (pérdida), medida en soles de hoy,

Si VAN = 0, significa que de llevarse a cabo el proyecto no se obtendrá pérdida ni ganancia.

Sin embargo es importante advertir que esta aplicación del índice del VAN es relativo, porque la decisión se tomará solamente de acuerdo al objetivo

planteado en el proyecto y no según los numerales arriba mencionados. A veces ocurre, que a pesar de tener un VAN positivo, la decisión puede ser de

no llevarse a cabo el proyecto, porque posiblemente este hecho quántico no satisface las expectativas del inversionista expresadas en el objetivo del proyecto, lo mismo puede ocurrir con los otros dos numerales. Pero el objetivo

de la asignatura es preparar al estudiante en la parte operatoria de los flujos de caja, y no el de habilitarlo en la evaluación y formulación de proyectos de

inversión, que corresponde a otra asignatura mas adelante.

Índice del VAN para un solo proyecto

Ejemplo Nº 1 . Supongamos que tenemos un proyecto, cuya inversión inicial es

de S/.3’000 000,00 costos mensuales de S/.95 000,00 el primer mes y aumentarán en S/.5 000,00 cada mes. Los ingresos se estiman en S/.245 000,00 el primer mes y aumentaran el 1% cada mes. El proyecto tendrá una

duración de dos años con un valor de desecho de S/ 500 000,00 al cabo de ese

72

tiempo; sí la tasa de oportunidad del inversionista es del 9 % efectivo anual,

determinar, utilizando el índice del VAN, si es rentable o no el proyecto. Solución: Primeramente hagamos el diagrama del flujo de caja:

500000 245 000 k = 1 %

0 1 2 ..... 24 meses

95000 100000 g=5000

3’000000

Io = 3’ 000 000,00 R = 245 000,00 (ingresos mensuales) k = 1 % mensual (incremento en los ingresos mensuales)

g = 5 000,00 (incremento mensual de los costos) i = 9 % tasa de oportunidad (tasa de Mercado)

C = Costo mensual (primer mes) F = 500 000,00 (Valor de desecho al final de la vida útil del proyecto) n = 2 años (24 meses)

En primer lugar calculemos la tasa de descuento mensual:

00721.0i

1)09.01(i

M

12/1M

Entonces la tasa de descuento mensual es 0,721 % equivalente al 9 % efectivo

anual, obteniendo:

41,448550´6)I(VA

840420)06864209,0)(1,87813620()I(VA

1881,1

00050006864209,11)1,620813'87()I(VA

09,1

000500

00721,1

01,11

01,000721,0

000245)I(VA

2

24

Calculemos ahora los egresos:

79.787168´5)E(VA

23.70041456.086754´23000000)E(VA

)00999732.1(28.69348196583744.2195000000000´3)E(VA

00721.1

24

00721.0

)00721.01(1

00721.0

5000

00721.0

)00721.01(195000000000´3)E(VA

24

2424

Por lo tanto tenemos: VAN = 6´448 550,41 - 5´787 168,79 = 661 381,62

73

Esto quiere decir que llevar a cabo el proyecto equivale a tener una ganancia

de S/.661 381,62 en nuevos soles de hoy, por lo tanto es rentable el proyecto. Ejemplo No. 2.- Un proyecto de inversión tiene la siguiente información:

a. Inversión inicial S/. 1´500 000,00; Nuevas inversiones: S/. 500 000,00 dentro de un año y S/. 200 000,00 dentro de año y medio b. Costos de operación/mes: S/.70 000,00 el primer mes y aumentarán en

1,5 % mensual c. Ingresos trimestrales de: S/.350 000,00 el primer trimestre y aumentarán el

2,5 % cada trimestre d. Valor de desecho (al final de su vida útil) S/. 1´100 000,00 e. Vida útil del proyecto: 3 años

f. Tasa de oportunidad del inversionista del 9 % efectivo anual g. El objetivo del inversionista es obtener una utilidad en soles de hoy, del 10 %

del valor actual de las inversiones del proyecto ¿Se debe llevar a cabo el proyecto?

Solución: Dibujemos el diagrama del flujo de caja:

1’100

000,00 350 000,00 k = 2,5 %

0 1 2 3 6 ... 12 ... 18 ... 36 meses

70 000,00 k = 1,5 %

1’500 000,00 500 000,00 200 000,00

La tasa de descuento del inversionista es del 9 % efectivo anual, equivalente al 2,177818 % trimestral y el 0,721 % mensual.

Calculando el Valor Actual de los ingresos VA(I) y el Valor Actual de los

egresos VA(E), tenemos:

61,031922´5)I(VA

40184987,182521´4)I(VA

401849)03850094,0(*)634279´108()I(VA

09,1

100000´1)

02177818,1

025,1(1

025.002177818,0

000350)I(VA

312

14,728006´5)E(VA

000500´16,71545854,739175273872´2)E(VA

000500´109,1

000500

00721,1

000200)

00721,1

015,1(1

015,000721,0

00070)E(VA

1836

Por tanto. El VAN = VA(I) – VA(E) = 5´031 922,61 – 5´006 728,14 = S/.25 194,47

El valor actual de las inversiones, que son las tres últimas cifras, es decir: 175739 + 458715 + 1´500000 = 2´134 454,00 y el 10 % de esa cantidad es:

74

S/.213 445,40 es lo que el inversionista deseaba ganarse hoy; sin embargo, lo

que se ganaría en soles de hoy al llevar a cabo el proyecto es solamente S/. 25194,47, que es el VAN.

En este caso, a pesar de que el VAN > 0, no alcanza al objetivo planteado por el inversionista; así, la decisión es no llevar a cabo el proyecto.

Índice de VAN para dos o más proyectos.

Dadas dos alternativas de inversión o proyectos A y B, para compararlos o

evaluarlos con el criterio del VAN, debemos tener en cuenta los dos siguientes casos:

Si ambos proyectos tiene vidas útiles iguales

Si los proyectos tiene vidas útiles diferentes

Cuando los proyectos tienen vidas útiles iguales, el método del VAN se aplica de la siguiente manera:

Tomar un ciclo de vida útil para cada proyecto y registrar los correspondientes flujos de caja

Calcular el VAN para cada proyecto, sean VAN(A) y VAN(B) los

valores actuales netos de A y B respectivamente.

Comparar los valores actuales netos y de allí deducir cuál es el

mejor. Esta comparación y elección se hace así: Si VAN(A) > VAN(B), se escoge el proyecto A

Si VAN(A) < VAN(B), se escoge el proyecto B Si VAN(A) = VAN(B), es indiferente la elección

Ejemplo Nº3.- Tenemos dos proyectos de inversión A y B, con la siguiente

información: El proyecto A requiere una inversión hoy por el valor de

S/.4’000 000,00, gastos mensuales de S/.80 000,00 ingresos de S/.320 000,00 el primer mes y desminuirán en el 1 % cada mes, una vida útil de un año y medio y un valor de desecho al final de su vida de S/. 1’000 000,00.

El proyecto B requiere una inversión de S/. 5’000 000,00 gastos mensuales de S/. 40 000,00 el primer mes y aumentarán en S/. 3 000,00 cada mes, ingresos

de S/.450 000,00 mensuales, un valor de desecho al final de su vida de cero, una vida útil de un año y medio. La tasa de oportunidad del inversionista es del 9% efectivo anual, seleccionar el proyecto más rentable.

Solución: Hagamos el flujo de caja del proyecto A: 1´000000

320000 k = 1%

0 1 2 ....... 18 meses

80 000 80 000 .................................................................

4´000000

75

000000´400721,0

00721,1180000

00721,1

1000000

00721,1

01,011

01,00721,0

000320)A(VAN

18

18

18

VAN(A) = 4´959250,60 + 878697,68 – 1´345934,23 – 4´000000

VAN(A) = 5´837 948,28 – 5´345 934,23 = 492 014,05 Ahora hagamos el flujo de caja del proyecto B

------------------------------------

------------------------------------------/

400000 0 1 2 ........... .................... 18 meses

g = 3000 ---------------------------------------- /

40000 43000 /-------------------------------------- 5´000000

0000000´500721,0

00721,11

00721,0

3000

00721,0

00721,1140000

00721,0

00721,11400000)B(VAN

18

1818

VAN(B) = 6´729 671,16 – 672 967,12 – 419259 – 5´000000

VAN(B) = 6´729671 – 6´092226 VAN(B) = 637 445 revisar este problema Pag. 278

Como VAN(B) > VAN(A) , se concluye que el mejor proyecto es B, con el cual se obtiene una utilidad de S/. 637 445,00

Ahora supongamos que los dos proyectos tienen vidas útiles diferentes, el problema tiene varias formas de solución:

Sean A y B dos proyectos con vidas diferentes. Si en cada ciclo de vida útil de cada proyecto el flujo de caja se repite, entonces se toma el mínimo común múltiplo de las vidas útiles y en ese tiempo

se registran los flujos de caja de cada proyecto, se hallan los VAN(A) y VAN(B) y se comparan como en el caso anterior.

Cuando los flujos de caja no se repiten en los ciclos de vida útil, un método es prolongar el ciclo menor hasta igualarlo con el mayor, o

acortar el de mayor duración hasta igualarlo con el menor. Este método requiere otros conceptos de materiales, tales como mercados, finanzas, estadística. etc.

Ejemplo Nº 4.- Supongamos que Ud. tiene que asesorar a una empresa en la

compra de una de las máquinas A y B, cada una de las cuales produce el

mismo artículo, pero tienen vidas diferentes. Los flujos de caja son los siguientes y la tasa de descuento es del 1 % efectivo mensual

A B

76

Costo Inicial 5000 8000

Ingreso Mensual 250 200

205

210

Valor de desecho 500 500

Vida útil (años) 2 3

Supongamos que el uso de la máquina es por seis años y el flujo de caja se

repite en cada uno de los ciclos de vida útil de cada máquina. El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6. Entonces tomamos un tiempo de seis

años para el estudio de cada alternativa.

Veamos el VAN(A):

500001,1

500

01,0

01,11250)A(VAN

24

24

VAN(A) = 5310,85 + 393,78 - 5000

VAN(A) = 704,63

Como este valor se repite en los siguientes periodos, tenemos:

4824 01,1

63,704

01,1

63,70463.704)A(VAN

VAN(A) = 704,63 + 554,94 + 437,05 VAN(A) = 1696,62

Para la máquina B, tenemos:

800001,1

500

01,1

36

01,0

01,11

01,0

5

01,0

01,11200)B(VAN

3636

3636

VAN(B) = 6 027,50 + 2 473,10 + 349,46 - 80 000 VAN(B) = 8 850 - 8 000 VAN(B) = 850

Como este valor se repite en el segundo periodo, tenemos:

3601,1

850850)B(VAN

VAN(B) = 850 + 594 = 1 444,09

Como VAN(A) > VAN(B), se debe seleccionar la máquina A: y esto significa que al escoger esta máquina se obtendrá una utilidad por un tiempo de 6 años y que en nuevos soles de hoy equivale a S/.1 696,62, superior a la máquina B

para el mismo periodo.

Supongamos que en el ejemplo Nº 4 después de un estudio de estimación de los flujos de caja para los ciclos de vida útil futuros para cada alternativa, se ha llegado a la siguiente conclusión:

77

Para la máquina A los costos se incrementan cada ciclo de vida útil en 5 % y

los beneficios en 4 % y para la máquina B los costos se incrementan en 3.5 % y los beneficios en 4 %. En estas condiciones, seleccionar la mejor alternativa.

Solución: En este caso, el flujo de caja de un ciclo ya no se repite: Para la máquina A, tenemos:

VAN(A)1 = 704,63 en el punto cero

525001,1

520

01,0

01,11260)A(VAN

24

24

2

VAN(A)2 = 5523,28 + 409,53 - 5250 VAN(A)2 = 682,82; en el punto 24

500501,1

540

01,0

01,11270)A(VAN

24

24

3

VAN(A)3 = 5735,71 + 425,29 - 5 500 VAN(A)3 = 661: en el punto 48

El VAN(A) de la alternativa sería:

4824 01,1

661

01,1

82,68263.704)A(VAN

VAN(A) = 704,63 + 537,76 + 409,99 = 1 652,38 Para la máquina B, tenemos

VAN(B)1 = 850 en el punto cero

280801,1

520

01,1

36

01,0

01,11

01,0

2.5

01,0

01,11208)B(VAN

3636

3636

2

VAN(B)2 = 6 262,36 + 2 572 + 363,44 - 8 280

VAN(B)2 = 917,80 en el punto 36

El valor actual neto de la alternativa B. Es:

3601,1

80,917850)B(VAN 1491,47

Como Vemos sigue siendo la máquina A la mejor alternativa.

Ejercicios

1.- Seleccionar el mejor activo entre A y B si tienen el siguiente flujo de caja, para una tasa de descuento del 0,75 % mensual:

Activo A: costo inicial $60 000,00, costo mensual de mantenimiento $2000,00 el primer mes y se incrementará el 0.75% cada mes, ingresos

mensuales de $ 5 500,00 valor de desecho de $ 20 000,00 y una vida útil de 3 años.

78

Activo B: costo inicial de $100000,00, costo mensual de mantenimiento $

1500,00 el primer mes y luego aumentarán en $ 100,00 cada mes, ingresos mensuales de $ 9 000,00 valor de desecho $ 35 000,00 y una

vida útil de 3 años 2.- Resolver el problema 1, suponiendo que el activo tenga una vida útil de 2

años y el activo B una vida útil de 2.5 años.

3.- El supermercado “Metro” desea seleccionar entre dos clases de carros canastas en los que los clientes depositan los artículos y los transportan hasta las cajas registradoras. El de la clase A tiene un costo de $ 32,00 cada uno, se

le deben cambiar las cuatro ruedas cada año a un costo de $ 1,20 cada una, tiene una vida útil de 6 años y un valor de desecho de $ 8,00. El de la clase B

tiene un costo de $ 38,00 cada uno, se le deben cambiar las cuatro ruedas cada dos años a un costo de $1,50 cada rueda, tiene una vida útil de 8 años y un valor de desecho de $12,00 la tasa de descuento será del 5% efectivo

anual.

Promedio Financiero

El objetivo de esta parte es presentar y llegar a manejar con alguna propiedad

otro método que nos permita seleccionar la mejor de dos alternativas, así se encuentren en una situación similar a la descrita en el párrafo anterior.. Definición.- Dado el flujo de caja de un proyecto durante un tiempo de n

períodos, se llama promedio financiero, a la cantidad neta periódica e igual que sustituya financieramente al flujo de caja dado.

Ejemplo Nº 1.- Calcular el promedio financiero del siguiente flujo de caja, para

una tasa de interés del 1 % efectivo mensual.

0 1 2 3 4 5 .................................... 10

meses

10000

30000 20000

40000

Solución

Utilizando la fórmula del Valor Actual a interés compuesto, tenemos:

27,8709574,1051863,058389,705900030A

01,1

00020

01,1

00040

01,1

0001000030A

1053

El promedio financiero será:

79

18,1221001,11

01,027,87095R

10

Utilizando la fórmula para calcular el monto a interés compuesto tenemos:

20000)01,1(40000)01,1(10000)01,1(30000S 5710

S = 33138.66 + 10721.35 + 42040.40 + 20000 = 105,900,42

Calculando nuevamente el promedio financiero, tenemos

18,12210101,1

01,042,900105R

10

Como se puede observar, el promedio financiero es independiente de si

utilizamos el valor actual o el valor futuro. El valor anterior significa que para una tasa de interés del 1% mensual, el flujo

de caja de los cuatro pagos mostrados en el diagrama es equivalente financieramente a una serie uniforme de 10 pagos de S/.10 122,18 mensuales.

Ejemplo Nº 2.- Supongamos que tenemos un proyecto que requiere de una

inversión hoy día de S/. 400 000,00 (cuatrocientos mil soles), y nuevas

inversiones en los meses 3,4 y 5 de S/. 50 000,00 (cincuenta mil soles) cada una, se obtiene ingresos de S/. 85 000,00 (ochentaicinco mil soles) a partir del sexto mes hasta finales del año en que el proyecto se termina con un valor de

mercado de S/. 100 000,00 (cien mil soles). La tasa de oportunidad del inversionista es del 1.25 % mensual. Hallar el promedio financiero mensual de

pérdida o ganancia. Solución

100000 .......... 8500 .......................

0 1 2 3 4 5 6 7…………12 meses

....... .......

50000 400000

Para hallar el promedio financiero (neto) podemos aplicar la relacione siguiente: - PF (neto ) = PF(I) – PF(E)

En primer lugar tenemos que calcular el Valor Actual de los egresos asumiendo que es una anualidad deferida vencida

InicialInversióni

)i1(1.

)i1(

1RA

n

y.Eg

Sustituyendo valores, tenemos

80

98,735542A

000400926533707,2.975461057,000050A

0004000125,0

0125.11.

0125,1

100050A

.Eg

.Eg

3

2.Eg

Calculemos ahora el valor actual de los Ingresos:

12

7

5.Ing0125,1

000100

0125,0

0125,11.

0125,1

100085A

40,61837686,1508654,225532A

86,86150662725847,6.93977706,000085A

.Ing

.Ing

Entonces el promedio financiero será:

.Eg.Ing AAPF

PF = 618376,40 - 542735,98 = 75640,42

18,68270125,11

0125,042,75640R

12PF

Esto quiere decir que de llevar a cabo el proyecto tendrá una ganancia mensual de S/. 6827,18

Ahora calculemos el promedio financiero por el método de Valor futuro . Egresos:

25,983629S

52,5425431,2245561,9145581,301464S

)0125,1(00050)0125,1(00050)0125,1(00050)0125,1(000400S

.Eg

.Eg

78912.Eg

Calculando el valor futuro de los Ingresos:

20,78371700010020,783617S

0001000125,0

10125,100085S

.Ing

7

.Ing

Calculamos ahora el Promedio Financiero: PF = Ingresos – Egresos

PF = 717783,20 - 629983,25 = 87799,95

18,682710125,1

0125,095,87799R

12PF

Es la misma cantidad, calculada anteriormente.

Ejercicios

81

1. Un pequeño empresario compró una máquina por $ 950,00. El costo de

mantenimiento se estima en $100,00 anuales durante los tres primeros años y de $11,00 mensuales de allí en adelante. Hizo una reparación

general de la máquina tres años y medio después de comprada por valor de $155,00 y vendió la máquina dos años después de la reparación en $ 300. Determinar el promedio mensual de costo o Promedio Financiero sí la tasa

de interés es del 6 % capitalizable mensualmente. 2. Un proyecto tiene una inversión inicial de $ 5 millones hoy día; los gastos

mensuales de operación, comenzando dentro de cuatro meses, son de $300 000,00; $310 000,00; $ 320 000,00 y así sucesivamente. Los ingresos que se reciben son de $ 880 000,00 dentro de un mes y de allí en adelante

aumentarán en 5 % cada mes. El proyecto tiene una vida útil de tres años y medio, con un valor de mercado al final de su vida útil de $ 2’500 000,00. El

costo de oportunidad (costo de capital) es del 6% efectivo anual. ¿Hallar el promedio financiero mensual de pérdida o ganancia del proyecto?

3. Hallar el promedio financiero mensual, para un proyecto que tiene el

siguiente flujo de caja: inversión inicial $6’000 000,00, gastos de mantenimiento $30 000,00 el primer mes y después aumentarán en el 1%

cada mes, hasta finales del segundo año y luego permanecerán constantes, gastos adicionales de $150 000,00 cada diez meses. Los ingresos serán de $ 90 000,00 mensuales durante los dos primeros años y medio y de allí en

adelante aumentarán en $ 3 000,00 cada mes; valor de mercado al final de la vida útil es de $ 1’000 000,00 vida útil del proyecto es de 5 años. La tasa

de oportunidad (costo de capital) del inversionista es de 9 % capitalizable mensualmente.

4. Un pequeño empresario invierte hoy en un negocio $10 000,00; espera

tener unos gastos de funcionamiento de $1 500,00 el primer mes y estima que aumentaran a razón del 1% cada mes. Los ingresos están proyectados

para que sean del orden de $2 500,00 el primer mes y aumentaran en $ 100,00 cada mes. Se calcula un valor de mercado del negocio por un valor de $2 000,00 al cabo de dos años. Si el pequeño empresario utiliza una

tasa de descuento del 7% efectivo anual, determinar el promedio de pérdida o ganancia mensual.

5. Un proyecto tiene una inversión de $15 000,00 hoy, los gastos mensuales de operación comenzando dentro de cuatro meses son de $ 500,00; $ 510,00; $ 520,00 y así sucesivamente. Los ingresos son de $ 900,00 el

primer mes y aumentarán de allí en adelante el 1,5 % cada mes. El proyecto tiene una vida útil de tres años con un valor de mercado, al final de ese

tiempo de $5 000,00. La tasa de oportunidad del inversionista es del 6% efectivo anual, hallar el promedio financiero de pérdida o ganancia mensual del proyecto.

82

Tasa Interna de Rendimiento (TIR)

Uno de los índices de evaluación financiera de proyectos de mayor uso es el que se conoce con el nombre de tasa interna de rendimiento.

Se llama tasa interna de rendimiento, TIR, del flujo de caja de un proyecto, a la tasa que equilibra el valor actual de los ingresos con el valor actual de los

egresos. Con esta definición se obtiene VA(I) = VA(E), es decir el VAN = 0.

Ejemplo.- Una persona invierte hoy en un proyecto $350 000,00 (trescientos cincuenta mil dólares) y además deberá reinvertir la suma de $80 000,00 (ochenta mil dólares) al cabo de tres meses. El proyecto le reporta unas

utilidades trimestrales de $40 000,00 (cuarenta mil dólares) durante tres años recibiendo los primeros seis meses mas tarde de la iniciación del proyecto.

Además el proyecto tendrá un valor de desecho al final de su vida de $50 000,00 (cincuenta mil dólares). Hallar la TIR correspondiente de este proyecto.

Solución:

50000 40000 ...................................................................................................

..........................

0 1 2 3 13 trimestres

80000 350000

0350000TIR1

80000

)TIR1(

50000

TIR

)TIR1(1

TIR1

140000)TIR(R

13

12

Podemos calcular a través de errores y tanteo a la tasa interna de rendimiento Supongamos que: TIR = 2.5 %

0350000025.1

80000

025.1

50000

025.0

025.11

025.1

140000%)5.2(R

13

12

400 303 + 36 271 - 78 049 - 350 000 = 0 436 574 - 428 049 = 8 225

No es igual a cero, supongamos ahora nuevamente que:

TIR = 3 %

000035003,1

00080

03,1

00050

03,1

03,11

03,1

100040%)3(R

13

12

386 563 + 34 076 - 77 670 - 350 000 = 0

83

420 639 - 427 670 = - 7 031

Entonces la TIR debe estar entre 2.5 % y 3 % trimestral, interpolando tenemos:

2,5 % = 8525 A (2,5 %; 8 525) TIR = 0 B (TIR; 0) 3 % = -7031 C (3 %; -7031)

Entonces tenemos la siguiente relación:

TIR03,0

00317

025,0TIR

52580

(-8525) ( 0,03 – TIR ) = (-7 031) ( TIR - 0,025)

- 255,75 + 8 525TIR = -7 031TIR + 175,775 15 556 TIR = 431,525

TIR = 0,02774 TIR = 2,774 % por trimestre

Ejercicios

1.- Un proyecto exige las siguientes inversiones: $ 830,00, $150,00 dentro

de tres meses, $ 140,00 dentro de seis meses, $ 130,00 dentro de nueve meses, y así sucesivamente durante la vida útil del proyecto que es de

tres años. Si al final de ese tiempo se obtiene un ingreso total de $ 2500,00, hallar la tasa interna de rendimiento trimestral del dinero en ese proyecto.

2.- Un agricultor cultivó 30 hectáreas anuales de maíz. Cada año obtiene

dos cosechas, una en el primer semestre y la otra en el segundo semestre. Las inversiones al principio de cada semestre son de $540,00 por hectárea; los gastos de recolección al final de cada semestre son de

$ 120,00 por hectárea. Los ingresos provenientes de la venta de maíz y pastos son de $ 405,00 por hectárea el primer semestre y de $ 275,00

por hectárea para el segundo. Calcular la tasa interna de rendimiento para dos años de esa actividad.

3.- Un camión tiene un valor de $36 000,00 y puede transportar 25 toneladas. Cada mes logra hacer tres recorridos con carga completa y

se obtienen ingresos de $ 28,00 por tonelada transportada. Los gastos de mantenimiento y conductor suman $ 1500,00 cada mes. Si al final de tres años el camión se vende en $ 20000,00, hallar la tasa interna de

rendimiento de ese proyecto.

4.- Una acción se adquirió hace cuatro años en $ 525,00 y los dividendos pagados han sido de $ 28,00 mensuales durante los cuatro años. Si el valor hoy de la acción es de $ 520,00, hallar la tasa interna de

rendimiento del flujo de caja de esa inversión, sabiendo que el inversionista tiene una tasa de oportunidad del 12 % efectivo anual.

84

Tema N° 15

RENTAS VITALICIAS

El curso hasta ahora desarrollado, ha considerado capitales únicos y rentas o anualidades cuyos términos eran de vencimiento seguro. A continuación trataré

de casos que presentan el azar como factor adicional, situaciones ligadas a la aleatoriedad, contingencia o eventualidad, por cuanto se vinculan con la duración de vida de una persona.

Tablas de Mortalidad

Si partimos de un grupo de jóvenes de 18 años que desean conformar un fondo del cual recibirán $10 000,00 para constituir una empresa todos los que continúen con vida dentro de 25 años ¿Qué capital deberá colocar cada uno,

en el fondo común en el momento actual? Para contestar a esta interrogante necesitaríamos preestablecer cuántas personas del grupo original seguirán

vivos dentro de 25 años. Es imposible predecir quién morirá en los próximos 25 años, sin embargo con la ayuda de tablas de mortalidad es posible predecir aproximadamente cuántas personas morirán en un determinado lapso de

tiempo.

Una tabla de mortalidad es el instrumento básico para el trabajo del Actuario de Seguros de Vida, en ella las compañías de seguros han anotado la estadística de la marcha a través de la vida de un determinado número de personas

tomadas como base, registrando el número de personas vivas y fallecidas a cada edad de vida.

Los continuos avances de la Medicina Humana y la Biología, que conllevan a aumentar más rápidamente la esperanza de vida ha determinado que las tablas

de mortalidad queden anticuadas al cabo de cierto tiempo, debiéndose sustituir por otras más recientes.

Para efectos de estandarizar el material de trabajo de nuestros estudios utilizaremos la “1958 Commissioners Standard Ordinary Mortality Table”

conocida como la “1958 CSO Table”, la misma que se convirtió en la tabla modelo para muchos estados de EE.UU. desde el 1ro. de Enero de 1966. En

esta tabla se muestra que los valores referidos a mujeres de 15 años en adelante son los mismos que para varones de 3 años más jóvenes. En situaciones específicas, las anualidades y los seguros pueden basarse en

diferentes tablas de mortalidad, pero en la práctica que desarrollamos de rentas vitalicias y seguros de vida, los principios básicos son los mismos y la tabla que

usaremos será la misma es decir la “1958 CSO Table”. El desarrollo de esta tabla se inicia con 10’ 000 000 de personas vivas a la

edad 0. La columna lx, indica el número de personas vivas a la edad x. La

columna dx

indica el número esperado de fallecimientos antes de llegar los x +

1 años. Luego 70 800 del número inicial de vivos a la edad de 0 años, es la

cifra que expresa el número esperado de individuos que no llegará al año de

85

edad x + 1. La probabilidad que tiene una persona de x años de fallecer en el

intervalo de un año se indica por qx. Se obtiene dividiendo el Nº de

fallecimientos a la edad x por el Nº de personas vivas a la edad x. En símbolos, q

x= d

x/l

x. Siendo más práctico para efectos de cálculo manejar la tasa de

muertes por 1000 habitantes que aparece en la tabla en la columna 1 000qx

La edad final de la tabla de mortalidad “1958 CSO Table” significa la edad a la cual no hay supervivientes y esta es 100 años para varones y 103 años para

mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que un varón de 18 años sobreviva a los 43? De un

grupo de 120 varones de 18 años ¿Cuál será el número esperado de supervivientes a los 43 años?

Rpta. La probabilidad de que un varón de 18 años sobreviva a los 43 es sencillamente el cociente del número de supervivientes a los 43 años por el de supervivientes a los 18.

2306989

1221359

18

43

l

l = 0,941937

De 120 varones de 18 años, el número esperado de supervivientes a los 43 es de

120 x 0,941937 = 113

¿Cuál es la probabilidad de que un varón de 18 años fallezca antes de llegar a los 43 años? De un grupo de 120 varones de 18 años ¿Cuál es el número

esperado de fallecimientos antes de llegar a los 43? Rpta. La probabilidad de fallecimiento de un varón entre los 18 y 43 años es el número de fallecimientos durante ese período dividido por el número de vivos a

los 18 años

2306989

12213592306989

18

4318

l

ll = 0,058063

La probabilidad de fallecer hasta los 43 años es 1,000000 – 0,941937= 0,058063

De los 120 varones de 18 años el número esperado de muertes antes de llegar a los 43 años será de 120 x 0,058063 = 7

Esperanza de Vida Cuando el hombre avanza en su edad a veces se pregunta ¿Cuánto tiempo

nos queda de vida? Claro esta que si tienes 30 años tendrás una vida más larga que si tienes 60. Sabemos por la estadística que es posible estimar la

esperanza de vida para personas de nuestro sexo y edad. En la práctica la esperanza de vida es una estimación estadística empleada como índice de comparación de diferentes tablas de mortalidad, la misma que tiene la siguiente

fórmula:

86

1

1

15,0 x

tx

xx l

l

le

en donde ex

= esperanza de vida a la edad x

l x

= número de supervivientes a la edad x

t = índice de sumatoria recorre el conjunto de enteros positivos:

1,2,3,…,–x –1 Edad final de la tabla de mortalidad

El símbolo _ se utiliza para indicar la sumatoria de términos similares o semejantes. El índice t recorre el conjunto de números enteros positivos;

– x –1. Esto se interpreta como que si deseamos hallar la esperanza de vida a la edad x, tenemos que considerar el número de supervivientes un año más tarde, sumamos el de supervivientes dos años mas tarde y seguimos

hasta concluir con la tabla de mortalidad. Esta suma nos da el número total de años de vida futura del grupo considerado de personas de edad x. Al dividir

esta suma por lx, el número de supervivientes a la edad x, obtenemos el

promedio de años de vida futura para cada persona. Esta suma no admite

fracciones de año y supone que el tiempo de vida futura excederá en medio año al número de años completos, por lo cual sumamos la constante 0,5 años

para obtener el tiempo completo de vida futura. Aplicación de la ecuación que nos permite calcular la esperanza de vida.

Estimar la esperanza de vida para un hombre de 88 años, utilizando la tabla de mortalidad “1958 CSO Table”. Reemplazamos x por 88 en la ecuación y

leemos en ella lx

= 741 474. Este número representa el número de varones

cuyos años de vida futura vamos a calcular. Para t = 1, l89

=594 477; para t =2

l90

= 468 174; para t = 3 l91

= 361 365 y continuamos hasta arribar al último

término de la suma que es el que corresponde a t = (100 –11 –1 ) = 11. Para t =11, l

99 = 6 415. Ordenando los resultados tenemos la siguiente tabla:

t 88 + t l 88 + t

1 89 594 477 2 90 468 174 3 91 361 365

4 92 272 522 5 93 200 072

6 94 142 191 7 95 97 165

8 96 63 037

9 97 37 787 10 98 19 331

11 99 6 415 11

88+t

t = 1

87

Sustituimos en la ecuación de la esperanza de vida nuestra sumatoria

resultante 2 262 566 de años de vida futura total, que tenemos que distribuir por promedio

entre 741 474 varones vivos de 88 años

e88

= 0,5 + 475741

5662622 = 0,5 + 3,051435245 = 3,55

Esto significa que la esperanza de vida de un varón de 88 años es de 3,55 años, si no basamos en la 1958 CSO Table. El hecho mismo de que la persona

pueda vivir más o menos que su esperanza de vida sólo el tiempo lo dirá. Para ver resultados relativos a mujeres bastará con buscar el valor correspondiente para varones 3 años más jóvenes.

Al fijarse la prima que debe abonar el poseedor de una póliza de seguros, la

compañía deberá considerar los intereses producidos por la prima recibida al ser éstos invertidos por la compañía. Las primas reales de un seguro constan de dos partes: la prima neta y el recargo. La prima neta incluye

consideraciones acerca de la mortalidad y los intereses producidos por la inversión de las primas. El recargo se refiere a los costos de inversión y

negociación de la compañía, los mismos que son variables de empresa a empresa, respecto a los métodos y criterios para su cálculo.

El valor actual de las primas netas a la fecha de contratación deberá ser igual al valor presente de todos los beneficios futuros a la misma fecha.

Dotación de Supervivencia Es el único pago que debe recibir una persona en particular en determinado

momento siempre y cuando viva todavía en ese momento.

Para obtener una ecuación que nos permita determinar la dotación de supervivencia partimos de un grupo de l

x personas de x años de edad que

toman la decisión de constituir un fondo común del cual se pueda pagar 1 dólar a cada miembro que viva a la edad x+n, esa cantidad de dinero necesaria será igual al valor correspondiente a l

x+n que figura en la tabla de mortalidad. Como

ese dinero no se necesitará hasta dentro de un número n de años, solamente

debemos aportar en el presente es decir en este momento el valor actual o descontado de dicho monto. Si utilizamos la notación

nE

x para designar la

contribución individual al fondo común, el total de primas será de lx

. nE

x,

Luego actualizando beneficios y planteando una ecuación de valor resulta:

lx

. nE

x, = ( 1 + i )

–n

lx+n

En la práctica actuarial se designa por v al factor (1 + i )–1

con lo cual vn

= [(1 +

i)-1

] n

y modificando la ecuación anterior y despejando nE

x obtendremos la

88

fórmula que nos permite estimar la prima neta necesaria para abonar una

dotación de 1 dólar dentro de n años a una persona de x años de edad:

nE

x =

x

x

n

l

lv

Para facilitar la comprensión del tema reduciendo la rutina numérica utilizaremos las funciones de conmutación, recurso de todo actuario que le

simplifica las fórmulas y elimina los cálculos dificultosos.

D x = v

n

lx

N x = D

x +D

x + 1+........+ D

_ –1

C x = v

x+1

d x

Mx = C

x + C

x+1 + ........+ C

_ –1

En todas estas funciones se combinan los factores valor presente de la unidad monetaria con valores dados por las tablas de mortalidad. Por lo cual en la práctica actuarial se deberá generar una tabla de conmutación para cada tasa

de interés y cada tabla de mortalidad, estas funciones pueden contener hasta más de 100 términos, por lo cual se convierten en un instrumento indispensable

cuando los cálculos se hacen a mano o con calculadora. Las columnas de conmutación de la Tabla que usamos han sido tomadas del

volumen I de las tablas monetarias editadas por la Sociedad de Actuarios (U.S.A.)

Y utilizaremos siempre la tasa de interés del 2.5% anual. Si en la fórmula del valor presente de una dotación de supervivencia multiplicamos el numerador y

denominador por vn

, tenemos

nE

x =

x

x

nxnx

v

v

1

1

y con el uso de lasa funciones conmutación la fórmula nos queda:

nE

x =

x

nx

D

D

En donde x representará la edad de la persona beneficiaria de la dotación,

renta o seguro de vida en el momento de contratarlo. El significado de n es variable y será puntualizado en cada ecuación o fórmula. En este caso en particular se entiende que la persona que contrató la dotación la recibirá al

término de n años si continúa viviendo. Si en un problema nos especifican la edad a la que deberá recibirse la dotación no será necesario establecer

puntualmente el valor de n porque ella será x + n.

89

Por ejemplo ¿Cuál será la prima única que debe pagar un varón de 20 años

para recibir una dotación de supervivencia $75 000 dentro de 30 años.? Rpta. Aplicando la ecuación anterior

75 000 20

3020

D

D = 75 000

0,2658985

7,3245492 = $34 416,20

¿Calcule la prima única que debe pagar una mujer de 20 años para recibir una

dotación de supervivencia de $80 000 a los 60 años?

80 000 20

4020

D

D = 80 000

1,9713836

4,0609841 = $24 863,0

Si comparamos los resultados obtenidos en los dos ejemplos notamos que el valor de la prima única en el caso de la mujer es menor que para el hombre es

decir que, a mayor tiempo de extensión para el abono de la dotación menor será el costo de la prima única. En la práctica estas dotaciones de

supervivencia son un ejemplo de lo que significa acumular un capital con el beneficio de la supervivencia. En la práctica se recibe más de lo que se obtendría por el simple interés; la diferencia la cubre las partes corresponden a

las personas han muerto sin alcanzar la edad.

Rentas Vitalicias Completas

Se denomina así a la serie de pagos de igual cuantía provenientes de ejercer el derecho que le asiste al asegurado de pólizas de seguros y otras inversiones,

cuando no desea una dotación de supervivencia. Ahora estos pagos deberán continuar mientras viva la persona designada como beneficiario o el rentista. El intervalo de los pagos es a convenir. Para resolver problemas de este tipo

debemos multiplicar el importe del pago por el factor resultante de aplicar las tablas de conmutación a los datos

Rentas vitalicias ordinarias vencidas inmediatas Estas constan de términos que empiezan a vencer en el periodo inmediato

siguiente el mismo que puede ser de un año u otro periodo convenido y continúan durante toda la vida. Fundamentamos nuestros cálculos en la

hipótesis de que lx

personas de x años de edad depositan ax

unidades

monetarias cada una, luego el fondo inicial de lxa

x, más los intereses debe ser

suficiente para pagar 1 unidad monetaria a cada persona integrante del fondo cada periodo por todas su vida,

La fórmula de valor para obtener la prima individual cuyo símbolo es a

x la

obtenemos descontando todos los pagos futuros al momento actual. El valor actual del pago a efectuar dentro de un periodo es v l

x+1, el valor actual del

pago del siguiente año será v2

l x+2

y así sucesivamente.

90

Calculando los equivalentes de todos los capitales en el momento actual y planteando una ecuación de valor tendremos

lxa

x = v l

x+1 + v

2

l x+2

+..................+v98 –x

l98

+v 99-x

l99

El costo individual será

ax = x

xx

xx vvvv

1

11...........11 99

99

98

98

2

2

1

Para determinar el costo de esta renta S/.12 000,00 para un hombre de 25 años, deberíamos descontar todos los términos anuales desde 26 a 99. Para

reducir el trabajo de cálculo multiplicamos el numerador y denominador de la

ecuación por vx

ax = x

x

x

x

x vvvv

1

11.............11 99

99

98

98

2

2

1

1

ax = x

xx

D

DDDD 999821 .............

ax = x

x

D

N 1

En la práctica y utilizando las funciones de conmutación y reemplazamos en

fórmula los valores de las columnas edad varones para el numerador factor N

x+1 en donde x + 1 es igual a 25+1= 26 de donde se lee 134 674 489,6 y en la

columna Dx para x = 25 leemos 5 165 008,0 y el cociente lo multiplicamos por el pago periódico que genera renta vitalicia ordinaria vencida inmediata y

tenemos

a25 = 0,0081655

6,48967413400012

25

125 xD

N x12 000 = S/. 312 892,81


¿Cuál es el costo neto de una renta vitalicia inmediata de $25 000,00 anuales para una mujer de 47 años

Rpta. Esta renta se obtendrá aplicando la fórmula, utilizando las funciones de conmutación buscamos en la columna N

x el valor de x = 47 +1=48 y en la

columna Dx, x = 47 en donde x es la edad de la mujer

a47 = 1,2620683

4,80392758 x 25 000 = 19,20559635 x 25 000= $480 139,91

91

Renta vitalicia completa pre pagable

Es aquella en la que el primer pago debe hacerse de inmediato es decir al

comienzo del primer periodo de pago y se continúan efectuando a periodos iguales durante toda la vida de la persona. Su símbolo es una a minúscula con diérisis es decir ä

x. La diferencia entre este tipo de renta y la anterior es que el

primer pago periódico se hacen de inmediato siendo su ecuación resumida

ax = x

x

D

N

Los valores de este tipo de rentas están consignados con las funciones

conmutación en la tabla respectiva en la columna äx. Si a estos factores ä

x les

restamos 1 el factor que obtenemos será igual al de una renta vitalicia ordinaria

o vencida inmediata nótese que la diferencia de factores solo está en el subíndice da N

x al que no se le suma 1 es decir a

x = ä

x – 1

Ejemplos

Hallar la prima única neta necesaria para obtener una renta vitalicia completa pre pagable de $18 000.00 anuales a favor de un hombre de 40 años.

a40 = 1,7654413

6,88919475

40

40

D

N x 18 000 = 21.84776922 x 18 000= $393 259,85

Si en el problema anterior la renta vitalicia completa es ordinaria o vencida

inmediata el valor de la misma se determina aplicando la expresión ax

= (äx

–

1)R es decir:

a

x = (21,84776922 – 1,00000) 18 000 = $375 259,85.

Un hombre al morir deja a su esposa una póliza de seguro de $100 000.00. Si

la mujer tiene 55 años y prefiere recibir pagos anuales durante toda su vida, cobrando el primero de inmediato ¿cuánto recibirá de inmediato?

Rpta. En este caso conocemos el valor presente de la renta vitalicia pre pagable o anticipada, a partir de la cual determinaremos el pago inmediato R R ä

55 = 100 000 despejamos R y tenemos:

R = 729089,16

000100000100

55ä = $5 977,61

Una persona sufre un accidente de transito que lo imposibilita a trabajar recibiendo un indemnización por daños y perjuicios de S/.480 000,00 Si dicha

persona invierte lo recibido en constituir una renta vitalicia completa anticipada. Determinar la renta anual que recibirá si al sufrir el accidente tenía 38 años

Rpta. R ä38

= 480 000,00 R = 480,000 / 22,637726 =

92

R = S/. 21 203,54

93

Tema N° 16 SEGUROS DE VIDA

El seguro es el documento, instrumento o contrato en virtud del cual una persona o sociedad (el asegurador) asume un riesgo que debe recaer sobre

otra persona (asegurado) a cambio de una cantidad de dinero llamada prima. En el caso del seguro de vida este contrato permite que una persona de ingresos moderados pueda proporcionar a su familia una cierta cantidad de

dinero en el momento de su muerte.

Las primas brutas de los seguros cubren tanto las muertes acaecidas como los gastos de las compañías aseguradoras, es decir una prima bruta estará constituida de la prima neta más los recargos que varían de compañía a

compañía. En nuestro tratamiento sólo determinaremos las primas netas para pólizas de: seguro temporal, de vida entera, de vida con pagos limitados y

dotal. La prima de un seguro temporal se basa en los beneficios relativos a los

fallecimientos esperados en un período limitado que puede ser de 5 o 10 años. La prima de esta póliza aumenta a medida que aumenta la edad del

asegurado; por ello el seguro temporal resulta caro a edades que se aproximan a la edad promedio de vida del poblador de un determinado país.

Una póliza a prima constante o media tiene un costo inicial mayor que un seguro temporal pero la prima no aumenta, constituyéndose ese exceso en una

reserva que compensa las indemnizaciones ocasionadas por las muertes que ocurran con posterioridad. El tipo más simple de póliza a prima constante es el de vida entera, conocido como seguro de vida ordinario, cuyo costo de póliza

se determina por la edad del asegurado en el momento de su contratación, conservándose por el resto de su vida la misma prima.

El caso del seguro de vida con pagos limitados indica el hecho de efectuar efectivamente pagos durante un cierto número de años, al término de los

cuales la póliza se considera totalmente pagada para toda la vida del asegurado, por ello es que el importe de las primas es superior con relación al

seguro de vida entera, porque la reserva necesaria debe constituirse en un tiempo menor.

Los seguros dotales proporcionan protección por un número determinado de años, (llamados periodos de dotación) al término de los cuales la cobertura

termina y si vive el asegurado se le hace entrega del valor nominal de la póliza, por ello estas p{olizas resultan muy caras para periodos de dotación cortos ya que la compañía aseguradora deberá determinar una prima suficiente para

hacer frente a la certeza de que habrá de abonar bien al asegurado o a sus beneficiarios, una cierta cantidad al concluir el periodo de dotación. Prima de una Póliza de Vida Entera con las Funciones de Conmutación

94

Suponiendo que una compañía de seguros emite pólizas de una unidad

monetaria a lx

personas vivas a los x años de edad. Al término del primer año,

la compañía deberá abonar dx

unidades monetarias a los beneficiarios de los

fallecidos, al concluir el 2do. Año, deberá cancelar dx+1

unidades monetarias y

así continuar hasta llegar a los d99

unidades monetarias. Cada una de las lx

personas deberá pagar una prima neta única de Ax

unidades monetarias por su

póliza. Luego el producto del número de vivos a los x años de edad por la

cantidad de la prima neta única a pagar a cada uno de ellos deberá ser igual al valor actual de todos los pagos futuros a los beneficiarios de los fallecidos,

siendo su fórmula de valor desarrollada:

lxA

x = vd

x +v

2

dx + a

+ .........+v 99 – x

d98

+ v 100 – x

d99

Despejando Ax

y multiplicando el numerador y denominador por vn

, tenemos:

Ax = xn

ax

x

x

x

v

dvdvdvdv

1

..................... 99

100

98

9921

Introduciendo las funciones de conmutación el resultado anterior se simplifica

Ax = x

xx

D

CCCC 99981 .....................

Ax = x

x

D

M

La tabla de factores de conmutación registra valores dados de 1000 Ax

Ejemplo:

Hallar la prima neta única de un seguro de vida entera de $40 000,00 para una mujer de 20 años de edad. Rpta. A partir de la tabla de factores de conmutación hallamos en las columnas

Mx

y Dx

para x = 20 y obtenemos aplicando los factores el valor de la prima neta

única con el resultado siguiente:

40 000 A20

= 40 000 x 1,9713836

477,5458351 = $11 500,96

Utilizando el cociente de Mx

y Dx

y multiplicado por 1000 registrado en la tabla

de factores de conmutación como 1 000 Ax

Ax

= 20

20

D

M =

1,9713836

477,5458351x 1000= 0,2875240894 x 1 000 = 287,5240894

Luego la prima neta única de dicho seguro de vida si fuera de $1 000 sería de 287,5240894 pero como cubre $40 000,00 costará 40 veces más, es decir:

95

40 000Ax

= 40 x 287,5240894 = $ 11 500, 96

El importe de esta prima es un poco elevado para la economía de una joven de 20 años, por ello muchos jóvenes no pueden contratar un seguro de vida entera mediante este pago de la prima neta única. Como el costo de una póliza

a prima única es muy caro para la mayoría de la gente, el procedimiento común en la actualidad es el de efectuar pagos anuales o de mayor frecuencia que

pueden llegar hasta mensuales, tal como citamos en el ejemplo a continuación: La Cía. de Seguros Generales La Positiva emite una póliza de seguro de vida entera cuyo capital asegurado es de $100 000,00 para un hombre de 30 años

de edad. Determinar la prima anual neta.

Rpta. Para determinarla la compañía deberá tomar en cuenta que la cantidad que reciba del asegurado, dependerá de cuánto viva este. Incluso si un asegurado

muere habiendo pagado solamente la prima anual, el beneficiario obtendrá el capital asegurado. Los beneficios de la póliza por fallecimiento esperados

serán los mismos que en caso anterior. La prima total esperada para un determinado año será igual al número de personas vivas en ese año, multiplicado por la prima anual neta, a la que denotaremos por P

x. El valor

presente de los capitales asegurados deberá ser igual al valor actual de las primas esperadas. El hecho que las primas netas sean iguales y se paguen al

principio de cada año, definen una renta vitalicia completa anticipada o pre pagable cuyo valor presente es N

x / D

x, en base a una unidad monetaria.

Por tanto el valor actual de las primas es de P

x (N

x / D

x) cantidad que debe ser

igual al valor presente de los capitales asegurados, que será el mismo que para un seguro de vida entera a prima única, es decir M

x / D

x, Luego

Px x

x

x

x

D

M

D

N

Px = x

x

x

x

D

Mx

N

D

Px = x

x

N

M

Ya con la fórmula estamos en condición de dar solución el problema

100 000 P30

= 100 000 30

30

N

M = 100 000

5,742337115

682,5757061 = $1 479.63

Prima de un Seguro Temporal

96

Por definición anterior la prima de un seguro temporal aumenta con la edad del

asegurado, el mismo que se produce cada 5, 10 o 20 años, el mismo que se describe como temporal de 5 años, temporal de 10 años y así sucesivamente.

La fórmula que nos permite determinar la prima neta única, Ax

1

n para una póliza

temporal de n años de una unidad monetaria, a favor de l x

individuos de edad

x. Las muertes y las primas para el periodo que va desde la edad x hasta la x+

n

Beneficio por fallecimiento $1.00 al beneficiario de cada asegurado que fallece

d x

dx +1

d x +n –2

dx+n –1

]------------]-----------]--------.................---]--------------] Primas x x + 1 x + 2 x + n –1 x + n Edad de los asegurados

lx

Ax

1

n

Si llevamos todos los datos a la edad x y planteamos una fórmula tendremos

lx

Ax

1

n = vd

x + v

2

dx+1

+ ..............+ vn-1

dx+n-2

+ vn

dx+n-1

Multiplicando por vn

e introduciendo las funciones de conmutación tendremos

C

x+ C

x+1 + ................+ C

x+n –2 + C

x+n –1

Ax

1

n = ------------------------------------------------------

Dx

Como Mx

= Cx+ C

x+1 + ................+ C

x+n –1 + C

x+n ..........+ C

99

Y M

x+n = C

x+n ..........+ C

99

podemos expresar el numerador como M

x – M

x+n y nos queda:

M

x – M

x+n

Ax

1

n =----------------

Dx

Si el pago de una póliza se realiza mediante primas netas anuales Px

1

n dichas

primas constituirán una renta vitalicia temporal de n años anticipada, siendo su valor presente para una unidad monetaria igual a N

x – N

x+n / D

x capital que

debe ser igual al valor actual de los beneficios por fallecimiento o capitales

97

asegurados que viene a ser el mismo que en el caso de la prima única, es decir

Mx

– M x+n

/ Dx.

Luego igualando dichos valores presentes

Nx

– Nx+n

Mx

– M x+n

Px

1

n ---------------- = --------------------

Dx

Dx

D

x M

x – M

x+n

Px

1

n =-------------- x ----------------

Nx

– Nx+n

Dx

M

x – M

x+n

Px

1

n =--------------

Nx

– N x+n

Ejemplo

Calcular La prima neta única y la prima neta anual correspondiente a una póliza de $25 000,00; temporal 10 años para un hombre de 35 años

M35

– M 45

Prima Neta Única = 25 000 A35

1

10 = 25 000 --------------------

D35

1 659 440,360 – 1 541435,368 = 25 000 ------------------------------------------- = $746,90

3 949 851.1 M

35 – M

45

Prima Neta Anual = 25 000 P35

1

10 = 25 000 -----------------

N35

–N45

1 659 440,360 – 1 541435,368

=25 000 --------------------------------------------- = $84,34 93 906 839,2 – 58 927 803,4

Seguro de Vida con pagos limitados

Es un tipo de póliza que proporciona protección durante toda la vida del asegurado aunque este pague primas durante un número t de años. El valor

presente de los beneficios es el mismo que el de una póliza ordinaria de vida es decir M

x / D

x. El valor presente de las primas neta anual de una póliza de

vida de t pagos, lo denotaremos por tP

x (N

x – N

x+1)/D

x. . Igualando tenemos

98

Mx

tP

x = ---------------

Nx

– Nx+1

Hallar la prima neta anual respecto a una póliza de vida de 25 años, de valor $18,000, adquirida por una mujer de 28 años

M28

1 754 288,517

18 00025

P28

= 18000 ---------------= 18 000 -------------------------------------=$332,62

N28

– N28+25

139 839 497,6 – 44 904 190,5

Fuente : Robert Cissell & Hellen Cissell, Op. cit. Lectura: Seguros de Vida, pp. 419 a 448

99

FUENTES DE INFORMACIÓN

BIBLIOGRÁFICAS

1. Álvarez, A. (2005). Matemáticas financieras. (3a. ed.). Bogotá: Editorial McGraw-Hill Interamericana.

2. Blank, P. y Tarquin A. (2006). Ingeniería Económica. (6a. ed.).

México: McGraw-Hill Interamericana.

3. Meza, J. (2004). Matemáticas financieras aplicadas: uso de las

calculadoras financieras y Excel. (2a. ed.). Bogotá: ECOE Ediciones.

4. Pastor, G. (2004). Matemáticas financieras. México: Editorial Limusa.

5. Vargas Gonzales, D. (2010). Manual de matemática financiera.

Lima: Universidad de San Martín de Porres. Escuela Profesional

de Contabilidad y Finanzas.

INFORMÁTICA – HEMEROGRÁFICA

Revista Asesor Empresarial www. asesorempresarial.com

Informativo Caballero Bustamante www.caballerobustamante.com.pe

Harvard Business Review América Latina [email protected]

Diario Gestión www.gestion.com.pe

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mailto:[email protected]

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