Texto Matematica Financiera II

7/25/2019 Texto Matematica Financiera II

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TEXTO UNIVERSITARIO

MATEMTICA FINANCIERA II

Compilador: Econ. Julio Lezama Vsquez

Cdigo..

Adaptado por: Baldemar Quiroz Caldern

Chimbote, Per


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MATEMTICA FINANCIERA IISerie UTEXPrimera Edicin 2015Compilador: Econ. Julio Lezama Vsquez

Adaptado por: Mg. Baldemar Quiroz CaldernDe esta edicin Universidad Catlica Los ngeles de ChimboteJr. Leoncio Prado N 443 Chimbote, Ancash PerTelf.: (043) 327846.

Texto digital

Decreto Legislativo 822 Ley sobre el Derecho de Autor Artculo 43.- Respecto de las obras ya divulgadas lcitamente, es permitido sinautorizacin del autor:

a) La reproduccin por medios reprogrficos, para la enseanza o la realizacinde exmenes en instituciones educativas, siempre que no haya fines de lucro y en lamedida justificada por el objetivo perseguido, de artculos o de breves extractos de obraslcitamente publicadas, a condicin de que tal utilizacin se haga conforme a los usoshonrados y que la misma no sea objeto de venta u otra transaccin a ttulo oneroso, nitenga directa o indirectamente fines de lucro.


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NDICE GENERAL

ContenidoNDICE GENERAL ............................................................................................................ i

INTRODUCCIN ............................................................................................................... 6

PRIMERA UNIDAD: INTERS COMPUESTO, VALOR ACTUAL, DESCUENTO,ECUACIONES DE VALOR, ANUALIDADES, RENTAS PERPETUAS O VITALICIAS ....... 9

CAPTULO I: INTERS COMPUESTO ............................................................................ 11

1.1 INTERS COMPUESTO ................................................................................... 11

1.1.1 Funcin del Tiempo .................................................................................... 11

1.1.2 La Escala de Tiempo .................................................................................. 11

1.1.3 Valor del Dinero en el Tiempo .................................................................... 12

1.1.4 Perodo de Capitalizacin ........................................................................... 14 1.1.5 Valor Futuro de un Capital .......................................................................... 14

1.1.6 Capitalizacin ............................................................................................. 14

1.1.7 Inters Compuesto ..................................................................................... 14

1.1.8 Clculo del Monto ....................................................................................... 15

1.1.9 Deduccin de la frmula del monto............................................................. 15

1.1.10 Factor Simple de Capitalizacin ................................................................. 16

1.1.11 El monto en periodos fraccionarios ............................................................. 19

1.1.12 Capitalizacin Calendara ........................................................................... 20

1.1.13 Monto con principal constante y tasa variable ........................................... 21

1.1.14 Monto con Capital y Tasa Variables .......................................................... 22

1.1.15 Clculo del Inters ...................................................................................... 22

1.1.16 Clculo de la tasa de inters ....................................................................... 24

1.1.17 Clculo del nmero de periodos de capitalizacin ...................................... 25

RESUMEN ....................................................................................................................... 28

AUTOEVALUACIN ........................................................................................................ 29

1.1.18 Responder (V) o (F) .................................................................................... 29

SOLUCIONARIO DE AUTOEVALUACIN ...................................................................... 31 1.1.18 Respuestas ................................................................................................ 31

REFERENCIA BIBLOGRFICAS .................................................................................... 32

SEGUNDA UNIDAD: VALOR ACTUAL NETO, DESCUENTO BANCARIO, ANUALIDADES ............................................................................................................... 35

CAPTULO I: EL VALOR ACTUAL O CAPITAL INICIAL .................................................. 37

1.2 VALOR ACTUAL O CAPITAL INICIAL .............................................................. 37

1.2.1 Valor actual ................................................................................................ 37

1.2.2 Factor simple de actualizacin .................................................................... 38

1.2.3 Tasas utilizadas en el sistema financiero .................................................... 39


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1.2.4 Tasa nominal ............................................................................................. 41

1.2.5 Tasa Efectiva .............................................................................................. 44

1.2.6 Conversin de Tasas .................................................................................. 49

1.2.7 Conversin de una tasa efectiva en otra efectiva de diferente perodo ...... 49

1.2.8 Tasas equivalentes ..................................................................................... 51 1.2.9 Tasa de inflacin ........................................................................................ 54

Ao .................................................................................................................................. 55

1.2.10 Tasa real .................................................................................................... 56

1.2.11 Tasas reajustadas por efectos de inflacin ................................................. 58

1.2.12 Listado de Formulas ................................................................................... 59

RESUMEN ....................................................................................................................... 62

AUTOEVALUACIN ........................................................................................................ 63

1.2.13 Responder (V) o (F) .................................................................................... 63

SOLUCIONARIO DE AUTOEVALUACIN ...................................................................... 64

1.2.14 Respuestas ................................................................................................ 64

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ................................................................................. 65

TERCERA UNIDAD: EL DESCUENTO, ECUACIONES DE VALOR, ANUALIDADES, AMORTIZACIONES ........................................................................................................ 66

CAPTULO I: EL DESCUENTO, ECUACIONES DE VALOR ..................................... 68

1.3 DESCUENTO .................................................................................................... 68

1.3.1 Descuento Racional ................................................................................... 68

1.3.2 Clculo del Descuento ................................................................................ 69 1.3.3 Clculo del Valor Nominal y Valor Efectivo ................................................. 71

1.3.4 Descuento Bancario ................................................................................... 73

1.3.5 Descuento financier .................................................................................... 74

1.3.6 Descuento Comercial ................................................................................. 74

1.3.7 Lnea de descuento .................................................................................... 74

1.3.8 Listado de Formulas ................................................................................... 78

1.4 ECUACIONES DE VALOR ................................................................................ 80

1.4.1 Marco referencial ........................................................................................ 80

1.4.2 Ecuaciones de Valor ................................................................................... 81

1.4.3 Valor Equivalente ....................................................................................... 81

1.4.4 Vencimiento Medio de obligaciones............................................................ 84

1.5 ANUALIDADES ................................................................................................. 87

1.5.1 Clasificacin de las anualidades ................................................................. 87

1.5.2 Monto de una anualidad ordinaria simple ................................................... 88

1.5.3 Valor presente de una anualidad ordinaria simple ...................................... 91

1.5.4 Valor de la renta en una anualidad ordinaria simple ................................... 93

1.5.5 Renta Ordinaria en Funcin del Monto ....................................................... 94 1.5.6 Renta Ordinaria en Funcin del Valor Actual .............................................. 95


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iii

1.5.7 El tiempo en una anualidad ordinaria simple .............................................. 98

1.5.8 El tiempo en funcin del monto ................................................................... 98

1.5.9 La tasa de inters en una anualidad ordinaria simple ............................... 101

1.5.10 La tasa de inters en funcin del monto ................................................... 101

1.5.11 La tasa de inters en funcin del valor actual ........................................... 103 1.5.12 Listado de Formulas ................................................................................. 105

1.6 ANUALIDADES ANTICPADAS ........................................................................ 107

1.6.1 Monto de una anualidad anticipada simple ............................................... 108

1.6.2 Valor actual de una anualidad anticipada simple ...................................... 110

1.6.3 Rentas anticipadas simples ..................................................................... 113

1.6.4 Renta anticipada en funcin del monto .................................................... 113

1.6.5 Renta anticipada en funcin del valor actual ........................................... 115

1.6.6 El tiempo en una anualidad anticipada simple .......................................... 117

1.6.7 El tiempo en funcin del monto ................................................................. 118

1.6.8 La tasa de inters en una anualidad anticipada simple ............................. 120

1.6.9 La tasa de inters en funcin del monto ................................................... 121

1.6.10 La tasa de inters en funcin del valor actual ........................................... 122

1.6.11 Listado de Formulas ................................................................................. 125

CAPTULO II: ANUALIDADES DIFERIDAS ................................................................... 128

1.1 ANUALIDADES ............................................................................................... 128

1.1.1 El monto en una anualidad diferida........................................................... 129

1.1.2 Monto de una anualidad ordinaria diferida ................................................ 129 1.1.3 Monto de una anualidad anticipada diferida .............................................. 130

1.1.4 Valor actual de una anualidad diferida ..................................................... 130

1.1.5 Valor actual de una anualidad ordinaria diferida ....................................... 131

1.1.6 Valor actual de una anualidad anticipada diferida .................................... 132

1.1.7 La renta en una anualidad diferida............................................................ 133

1.1.8 Renta de una anualidad ordinaria diferida en funcin del monto .............. 133

1.1.9 Renta de una anualidad anticipada diferida en funcin del monto ........... 134

1.1.10

Renta de una anualidad ordinaria diferida en funcin del valor actual ..... 135

1.1.11 Renta de una anualidad anticipada diferida en funcin del valor actual .... 136

1.1.12 Clculo de k y t en una anualidad diferida .............................................. 137


1.2 RENTAS PERPETUAS O VITALICIAS ........................................................... 142

1.2.1 Valor actual de una renta perpetua ordinaria ......................................... 142

1.2.2 Valor actual de una renta perpetua anticipada ....................................... 145

1.2.3 Rentas de una Perpetuidad ...................................................................... 147

1.2.4 Renta perpetua anticipada ....................................................................... 148

1.2.5 Tasa de inters en una perpetuidad ......................................................... 148


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1.3 ANUALIDADES GENERALES ......................................................................... 150

1.3.1 Monto con varios perodos de capitalizacin por perodo de pago ............ 151

1.3.2 Monto con varios perodos de pago por perodo de capitalizacin ............ 153

1.3.3 Valor actual de una anualidad general ...................................................... 155 1.3.4 Renta de una anualidad general ordinaria ................................................ 157

1.3.5 Renta de una anualidad general anticipada .............................................. 158

1.4 AMORTIZACINES ........................................................................................ 160

1.4.1 Marco referencial ...................................................................................... 160

1.4.2 Sistemas de amortizacin ......................................................................... 160

1.4.3 Un pago nico al final del periodo del prstamo ....................................... 161

1.4.4 Amortizacin con cuotas ordinarias constantes. ....................................... 161

1.4.5 Amortizacin con cuotas anticipadas constantes. ..................................... 164

1.4.6 Amortizaciones ordinarias a cuota constante, cuando el prstamo sedesembolsa en partes ............................................................................................. 165

1.4.7 Amortizacin con periodo de gracia o pago diferido ................................. 167

1.4.8 Amortizacin con periodo de gracia, cuando en el plazo diferido se pagansolamente los intereses. .......................................................................................... 168

1.5 DEPRECIACIONES......................................................................................... 170

1.5.1 Causas que originan la depreciacin ........................................................ 171

1.5.2 Factores de la depreciacin ...................................................................... 171

1.5.3 Mtodos de clculo de las depreciaciones ................................................ 173

1.5.4 Depreciacin a cuota constante ................................................................ 173

1.5.5 Depreciacin a cuota decreciente ............................................................. 181

1.5.6 Depreciacin a cuota creciente ................................................................. 186

1.6 AGOTAMIENTO .............................................................................................. 190

1.6.1 Mtodos de clculo del agotamiento ......................................................... 191

1.6.2 Mtodo del factor o costo de agotamiento ................................................ 191

1.6.3 Mtodo del descuento por agotamiento .................................................... 195

1.7 EVALUACIN ECONOMICA DE PROYECTOS DE INVERSION .................. 198

1.7.1 Evaluacin de un proyecto de inversin ................................................... 198 1.7.2 Rentabilidad econmica ........................................................................... 199

1.7.3 Flujo de caja. ............................................................................................ 199

1.7.4 Costo de oportunidad ............................................................................... 199

1.7.5 Evaluacin Econmica ............................................................................ 200

1.7.6 Valor actual neto. ...................................................................................... 200

1.7.7 Tasa interna de retorno ............................................................................ 202

1.7.8 Relacin beneficio costo ........................................................................... 204

1.7.9

Perodo de recuperacin de capital .......................................................... 205

Aos .............................................................................................................................. 209


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Aos .............................................................................................................................. 211

1.8 EVALUACION FINANCIERA DE PROYECTOS DE INVERSION .................... 213

1.8.1 Evaluacin Financiera ............................................................................. 213

1.8.2 Rentabilidad financiera ............................................................................. 213

1.8.3 Flujo de caja financiero ............................................................................. 213 Aos .............................................................................................................................. 216

RESUMEN ..................................................................................................................... 219

AUTOEVALUACIN ...................................................................................................... 220

SOLUCIONARIO DE AUTOEVALUACIN .................................................................... 221

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ............................................................................... 222


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INTRODUCCIN

Estimado estudiante:La asignatura de Matemtica Financiera II, se encuentra en el IV Ciclo de estudio

de la Carrera Profesional de Contabilidad. Esta asignatura es fundamental, dado que lepermitir dar respuesta a una serie de interrogantes de carcter econmico y financieroprivado, teniendo en cuenta el contexto nacional e internacional.

Las matemticas financieras, proporcionan herramientas que permite evaluar lasdiferentes alternativas de financiamiento empresarial; de manera que se constituyen eninstrumentos tcnicos, que orientan a los ejecutivos en la toma de decisiones, paraasignar recursos monetarios a las operaciones ms rentables y que mejor convengan alas organizaciones.

Como cualquier otra actividad cientfica las matemticas financieras evolucionan,utilizan nuevas formas y, a medida que se ampla el campo de sus aplicaciones, seprofundizan los conceptos. Por tanto en este curso estudiamos los fundamentos tericosde las matemticas financieras, la lgica de sus diferentes mtodos y las herramientasque nos permiten dar solucin a la infinidad de problemas que en este campo se

presentan.

Uno de los principales objetivos del trabajo, es que el estudiante adquieradestrezas en la interpretacin y manejo de los conceptos y las frmulas de acuerdo acada tema, a fin de afianzar sus conocimientos en la materia, los mismos que lepermitirn una aplicacin exitosa en el ejercicio profesional.

Con el propsito de dinamizar y hacer ms comprensible el estudio de la

asignatura de Matemticas Financieras, diseamos el presente texto, en el que el lectorencontrar las respectivas instrucciones para su eficiente manejo y las estrategias deestudio de todos y cada uno de los temas, permitiendo el desarrollo de un aprendizaje decalidad.

Consientes que una de las caractersticas ms relevantes del mundo globalizado,son los cambios vertiginosos en todos sus mbitos, como en el tecnolgico, econmico yfinanciero, induciendo una evolucin permanente de estas reas del conocimiento y en


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particular de las matemticas financieras que cambian al comps de los escenarios enlos cuales actan.

Los captulos se han estructurado desarrollando un nivel de complejidad

ascendente, de modo que la comprensin de uno facilita la comprensin del siguiente,cada captulo desarrolla la parte terica, ejemplos y problemas de aplicacincorrespondientemente resueltos.

El captulo 1. Presenta los conceptos bsicos de las matemticas financieras,deduccin de las frmulas correspondientes al monto y al inters compuesto, dandosolucin a problemas de casos tipos.

El captulo 2. En este captulo se toca lo referente al valor actual a interscompuesto, se estudia adems la tasa de inters en sus diferentes modalidades,finalizando con el clculo del tiempo

Captulo 3. Estudia lo referente al descuento, tanto el racional como el bancario ylas ecuaciones de valor a inters compuesto.

Los captulos 4,5,6 y 7 estudian las anualidades en sus diferentes formas, comolas anualidades ordinarias, anticipadas, diferidas, perpetuas o vitalicias y las anualidadesgenerales.

El captulo 8 Trata respecto a las amortizaciones de deudas, depreciacin deactivos fijos y agotamiento de recursos no renovables.

Finalmente el captulo 9. Desarrolla los temas respecto a la evaluacin de

alternativas de inversin, analizando los principales indicadores de evaluacin como elvalor actual neto, la tasa interna de retorno, el perodo de recuperacin de capital y larelacin beneficio costo.


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UNIDADES DE APRENDIZAJE


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PRIMERA UNIDAD: INTERS COMPUESTO, VALOR ACTUAL, DESCUENTO,ECUACIONES DE VALOR, ANUALIDADES, RENTAS PERPETUAS O VITALICIAS


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El contenido de la primera Unidad de Aprendizaje ha sido tomado de:

Aliaga, C. ((2002). Matemticas Financieras, un enfoque prctico. Editorial McGraw Hill.Colombia.

Aliaga, C. ((2002). Matemticas Financieras, problemas y casos. Universidad delPacfico-Lima-Per.

Alvares, A. (2005). Matemtica Financiera. Editorial McGraw Hill- Colombia.

Daz, A. (1998). Matemticas Financieras. Editorial Mc Graw Hill-Colombia.

Dvila, F. (2002). Matemtica Financiera. Editorial San Marcos-Lima-Per


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CAPTULO I: INTERS COMPUESTO

1.1 INTERS COMPUESTO

Las matemticas financieras como cualquier otra actividad cientfica utilizancategoras e instrumentos tcnicos que ameritan su definicin terica para una mejorcomprensin de sus contenidos.

En consecuencia, iniciamos el estudio de nuestra materia con el anlisis de losconceptos bsicos referentes a las categoras utilizadas en el clculo financiero. Esevidente que algunos de ellos, ya nos son familiares por haberse tocado en MatemticaFinanciera I, pero es necesario mantenerlo vigente para su aplicacin correspondiente enla presente asignatura.

1.1.1 Funcin del Tiempo

El crecimiento natural es una variacin proporcional de la cantidad presente encualquier orden de cosas en funcin del tiempo, tal es el caso de los vegetales, animalesetc. Que crecen en funcin continua al tiempo, situacin que tambin se presenta en lacapitalizacin a inters compuesto.

1.1.2 La Escala de Tiempo

La escala de tiempo es indispensable para visualizar el flujo previsto de efectivoresultante de una inversin propuesta o un flujo de pagos, de acuerdo al tipo deoperacin financiera que se efecte.

La escala de tiempo muestra periodos de clculo del inters, como tambin lafrecuencia de capitalizacin de los mismos, y estos pueden ser: meses, trimestres,semestres, aos o cualquier otro perodo de tiempo. Por ejemplo si los intereses secapitalizan trimestralmente, por un espacio de 10 aos, la escala de tiempo mostrar 40periodos y si se capitaliza semestralmente la escala mostrar 20 perodos decapitalizacin.

La escala de tiempo muestra tambin los periodos de pago a la deuda, los periodosde cobro de prstamos concedidos o erogaciones por diferentes conceptos.


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Grficamente la escala de tiempo, lo ilustramos en la figura siguiente:

Fig. 1.1

200 200 200 200 200 200 200 200 . . . . . . . 0 1 2 3 4 5 n-2 n-1 n

La Fig. 1.1 representa una serie uniforme de desembolsos anuales que tienen lugaral final de cada ao durante un periodo de n aos.

1.1.3 Valor del Dinero en el Tiempo

El concepto del valor del dinero en el tiempo, se sustenta en el hecho de que eldinero disponible ahora, vale ms que la expectativa de la misma cantidad en un perodofuturo.

Debido a que una unidad monetaria ahora se puede colocar en una alternativa quepermita un rendimiento en el futuro, convirtindose en una cantidad mayor que la actual.De manera que no es lo mismo recibir una unidad monetaria ahora, a recibir la mismacantidad dentro de un mes.

El valor del dinero en el tiempo es diferente, por efecto de la tasa de inters y latasa inflacionaria; la tasa de inters permite medir el valor econmico del dinero y la tasainflacionaria su capacidad adquisitiva. Por lo tanto un sol de hoy no es el mismo que el deayer o el de maana.

La explicacin del valor del dinero en el tiempo, nos llevara a afirmar que no nosatreveramos a otorgar dinero en calidad de prstamo, sin exigir como pago una cantidadadicional, que compense la prdida de la capacidad adquisitiva o conservar su valorequivalente en el tiempo.

La tasa exigible por el prstamo es la tasa de inters; en consecuencia, el tiempo yla tasa de inters son factores esenciales que nos permiten conocer el valor cronolgico

del dinero. Ahondando un poquito ms, el inters puede definirse ya como un costo ocomo una ganancia. Ser un costo, cuando se pide fondos prestados a terceros y por su


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utilizacin convenimos pagar una cierta cantidad de dinero; se define como gananciacuando el prstamo se utiliza en la compra de materiales y equipos con la finalidad dedesarrollar una actividad econmica que nos permitan generar ganancias

El factor tiempo juega un papel decisivo a la hora de fijar el valor de un capital. Noes lo mismo disponer de 1 milln de unidades monetarias hoy que dentro de un ao, yaque el dinero se va depreciando como consecuencia de la inflacin.

Por lo tanto, S/.1,000 en el momento actual ser equivalente a S/.1,000 ms unacantidad adicional dentro de un ao. Esta cantidad adicional es la que compensa laprdida de valor que sufre el dinero durante ese periodo.

Hay dos reglas bsicas en matemticas financieras:

a. Ante dos capitales de igual cuanta en distintos momentos, se preferir aqulque sea ms cercano

b. Ante dos capitales en el mismo momento pero de distinto importe, se preferiraquel de importe ms elevado

Para poder comparar dos capitales en distintos instantes, hay que hallar elequivalente de los mismos en un mimo momento, y para ello utilizaremos las formula decapitalizacin o de actualizacin segn el caso.

Ejemplo 1.1: Qu es preferible disponer de S/.2,000 dentro de 1 ao o de S/.4,000dentro de 5 aos, si la tasa de inters anual es del 25?.

Para contestar a esta pregunta hay que calcular equivalentes de ambos importes enun mismo instante.

As, por ejemplo, si aplicando las leyes financieras resulta que el primer importeequivale a S/.1,600.00 en el momento actual, y el segundo equivale a S/.1,310.72,veremos que es preferible elegir la primera opcin.

Hemos calculado los importes equivalentes en el momento actual, pero podramoshaber elegido cualquier otro instante (dentro de 1 ao, dentro de 5 aos o cualquier otroperiodo), y la eleccin habra sido la misma.

Los indicadores financieros nos permiten calcular el equivalente de un capital en unmomento posterior y toman el nombre de capitalizacin, mientras que aquellas que nos


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permiten calcular el equivalente de un capital en un momento anterior, se denominan deactualizacin.

Estos indicadores nos permiten tambin sumar o restar capitales ubicados en

distintos momentos, calculando los equivalentes en un mismo momento.

Ejemplo: Si vamos a recibir S/.1,000 dentro de 6 meses y S/.2,000 dentro de 9meses, no los podemos sumar directamente, sino que tendremos que hallar susequivalente en un mismo instante (el momento actual, dentro de 6 meses, 9 meses ocualquier otro periodo) y entonces si se pueden sumar. (Facil, 2000)

1.1.4 Perodo de Capitalizacin

Es el intervalo de tiempo convenido, para capitalizar los intereses formando un valorfuturo o monto.

1.1.5 Valor Futuro de un Capital

Es el valor final o monto acumulado, despus de transcurridas sucesivascapitalizaciones durante el horizonte temporal o tambin el equivalente de un capital en el

futuro.

1.1.6 Capitalizacin

Capitalizar significa sumar el inters al capital al final de cada perodo, formando unnuevo capital mayor al anterior, sobre el cual se calcular el inters del siguiente perodoy as sucesivamente hasta el final, de manera que se capitalizarn, tantas veces como el

nmero de perodos permanezca el capital invertido.

1.1.7 Inters Compuesto

Es el valor monetario que representa el costo del dinero beneficio o utilidad de uncapital o principal y se obtiene mediante un proceso en el cual el inters generado por uncapital al final de cada periodo de capitalizacin, no se retira sino que se suma al capital

(se capitalizan) para formar un nuevo capital mayor y sobre la base de este, calcular elinters del siguiente perodo y as sucesivamente hasta el trmino del horizonte temporal.


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1.1.8 Clculo del Monto

En cualquier inversin o colocacin de dinero se espera recibir, el capital ms susintereses. Se compran bonos, acciones u otros ttulos, para recibir despus de un

determinado periodo de tiempo una cantidad mayor. En este caso el monto es igual a lasuma del capital ms el inters obtenido en un horizonte temporal, calculado a una tasade inters (i) en (n) periodos de tiempo; operacin que lo ilustramos en la escala detiempo:

Fig. 1.2

P S = ? . . . . . . 0 1 2 3 4 5 n-2 n-1 n

1.1.9 Deduccin de la frmula del monto

Para el efecto utilizaremos la simbologa siguiente:

S = Monto o cantidad de dinero en una fecha futura, constituido por la suma delcapital ms el inters.

P = Capital, valor actual o valor presente del dinero por el cual se paga intereses.En la escala de tiempo se ubica en el punto cero, o cualquier otro periodo enque se inicia el cmputo del tiempo.

i = Tasa de inters de un capital o tasa de rendimiento de una inversin.n = Nmero de periodos en los que un capital se encuentra colocado.m = Frecuencia de capitalizacinI = Importe del inters

De conformidad con la definicin del valor futuro de un capital, como la suma delcapital ms el inters, al que se le denomina tambin monto, deducimos la frmulamediante el siguiente razonamiento:

Si un capital P, al final del primer perodo se ha convertido en


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P + Pi

Factorizando dicha expresin se habr convertido en:

P(1+i).

Al finalizar el segundo periodo, este nuevo capital se habr convertido en

P(1+i)(1+i) = P(1+i)2 ;

y al finalizar el tercer periodo en

P(1+i)2(1+i) = P(1+i)3.

Esto implica que al final de n periodos, el capital se habr convertido en:P(1+i)n

En dicha expresin se encuentra sumado el capital con los intereses obtenidos en nperodos.

Luego la frmula del monto ser:

S = P(1+i)n

La frmula permite calcular el monto en una cuenta a inters compuesto, cuando elcapital y la tasa de inters efectiva son constantes, no se producen incrementos nireducciones del capital, ni se realizan retiros de intereses durante el horizonte temporal.

En esta frmula y las dems referentes al clculo financiero, i y n deben estar expresadosen perodos de tiempo de la misma duracin; es decir si i es anual n es nmero de aos,si i es trimestral n ser nmero de trimestres y as sucesivamente para cualquier otroperodo de tiempo.

1.1.10 Factor Simple de Capitalizacin

La expresin (1+i)n que multiplica al capital se llama factor simple de capitalizacin,simblicamente lo podemos expresar por FSC. Por lo tanto la formula podra tambinexpresarse como:


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S = Pi- n.FSC

Y se le el monto es igual al producto del capital por el factor simple de

capitalizacin a una tasa de inters i en n perodos de tiempo.

El FSC es el monto a inters compuesto, generado por una unidad monetaria,durante n perodos de tiempo y a una tasa de inters i por perodo. Dicho factor tiene porfuncin llevar al futuro cualquier cantidad presente o traer al presente cualquier cantidaddel pasado.

Ejemplo 1.2 Se deposita en una cuenta de Ahorros S/.5,000 a inters compuesto ala tasa efectiva del 20% anual. A cunto ascender el monto al cabo de 4 aos?

S = P ni1 S = 5,000 420.1 S = 10,368

Como la tasa efectiva esta dadoanualmente, significa que el clculo

de los intereses y lascorrespondientes capitalizaciones sedan anualmente. Es decir al final de

cada ao.

Ejemplo 1.3Se deposita en una cuenta un capita l de S/.5,000 a una tasa

del 20% anual con capitalizacin trimestral. A cunto ascender el monto al cabode 4 aos?


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S = 5 000 1605.1 S = 5 000(2.18287)S = 10,914.37

En este caso la tasa nominal esanual y la frecuencia de capitalizacin

es trimestral, hacindose necesario

dividir la tasa anual entre 4 trimestresque tiene un ao y el resultado es la

tasa efectiva trimestral que loreemplazamos en la frmula, asmismo, el nmero de periodos seexpresa en la misma unidad de

tiempo que la tasa, ascendente a 16

trimestres. El valor del monto esmayor al anterior producto de la

frecuencia de capitalizacin de losintereses.


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1.1.11 El monto en periodos fraccionarios

Analizando los diferentes casos observamos que en una operacin financiera, amenudo no coincide el periodo de capitalizacin con el periodo de vencimiento. De

manera que en la frmula del factor simple de capitalizacin n no es enteroconstituyndose en un exponente fraccionario, por ejemplo: Un capital se coloc por unperodo de cinco aos a una tasa de inters anual i; pero por razones imprevistas seinterrumpe faltando cuatro meses para su vencimiento, fecha en la que se debe calcularel monto y liquidar la operacin.

Una forma de solucionar el problema es calcular el monto a inters compuesto enperiodos completos y por la fraccin de tiempo que falta se determina el inters simplesobre el monto encontrado y luego se suma obtenindose el monto total y otra manera escalcular el monto para el total de perodos, mediante una n fraccionaria.

Este tipo de problemas lo solucionamos colocando en el exponente de la frmula, elresultado de convertir el total de periodos incluido la fraccin en meses y dividido por lafrecuencia de capitalizacin.

Ejemplo 1.5: Determinar el monto a inters compuesto de S/.5,870 depositado enun banco durante 3 aos y 3 meses a la tasa del 16% anual.

En este caso el nmero de periodos convertido a meses es 39, y como la

frecuencia de capitalizacin es anual y un ao tiene 12 meses n es igual a1239 , cantidad

que reemplazamos en la frmula :

S = P ni1

S = 5,870 123916.01

S = 5,870 25.316.1

S = 9,508.82

Ejemplo 1.6: Que monto deber pagarse por un prstamo de S/.20,000, en unperiodo de 2 aos y 9 meses, si el banco cobra el 20% anual con capitalizacin semestral


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20

El periodo convertido a meses es 33 y la frecuencia de capitalizacin es semestral,luego en un semestre hay 6 meses

S = P ni1

S = 20,000 63310.01

S = 20,000 50.510.1

S = 33,782.34

1.1.12 Capitalizacin Calendara

Las capitalizaciones: anual, semestral, trimestral, mensual, etc. estn referidos aperodos bancarios establecido por el BCR, en los cuales todos los meses estnconformados de 30 das. En cambio la capitalizacin calendaria, abarca perodoscapitalizables en fechas fijas, incluyendo perodos de capitalizacin variables,

dependiendo del nmero de das contenidos en cada mes del ao. (Valdez, 2004)

Ejemplo 1.6: Determinar el monto a pagar de un prstamo obtenido el 31 de marzopor S/.20,000, el mismo que deber pagarse el 27 de Septiembre del mismo ao a unatasa efectiva anual del 16%.

S = 20,000 36018016.01

S = 20,000 5.016.1

S = 21,540.66

El problema indica que los intereses se capitalizan anualmente y si la frecuencia decapitalizacin fuera trimestralmente la solucin sufre ciertas variaciones.

S = 20,000 9018 0

04.01


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21

S = 20,000 204.1

S = 21,632

1.1.13 Monto con principal constante y tasa variable

Si en una operacin financiera no se producen aumentos o disminuciones delprincipal, durante el horizonte temporal, despus del primer depsito o colocacin inicial,estamos frente a una operacin con principal constante.

Si la tasa efectiva aumenta o disminuye durante el horizonte temporal. Se produceuna variacin en la magnitud de la tasa de inters; por ejemplo cuando una TEA del 16 %aumenta al 18% o disminuye al 14 %.

Adems el plazo de la tasa es variable, cuando durante el horizonte temporal latasa de inters se expresa en diferentes unidades de tiempo; por ejemplo, tasa efectivaanual, tasa efectiva semestral, tasa efectiva trimestral. etc.

Ejemplo 1.7: Calcular el monto en el que se transform un capital de S/.6,800,colocado a plazo fijo durante 9 meses. En el transcurso de perodo la tasa de inters esdel 18% anual los primeros tres meses, del 20 % anual durante los tres meses siguientesy bajando al 16% anual los ltimos 3 meses.

Fig. 1.3

6,800 0 i = 0.18 3 i = 0.20 6 i = 0.16 9

S = 6,800 25.020.125.018.1 25.016.1 S = 7,698.20


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22

1.1.14 Monto con Capital y Tasa Variables

Durante el horizonte temporal de una cuenta, se presentan casos en los que seproducen variaciones en la tasa de inters conjuntamente con el capital. La variacin enel capital se presenta cuando se realizan depsitos o retiros generando aumento odisminucin del capital segn el caso y a la vez la tasa de inters vara de acuerdo a lasvariaciones del sistema financiero.

En este caso, una forma de solucionar es fraccionando la operacin en tramos,durante los cuales el capital y la tasa permanecen constantes.

Ejemplo 1.8: Se deposita en una cuenta de ahorros S/. 2,000 y cuatro mesesdespus se efecta un nuevo depsito por S/. 800 y se liquida la cuenta cuatro mesesdespus, en dicho perodo la tasa efectiva mensual del 1.5 % se mantiene constante losprimeros cuatro meses, fecha en el que se incrementa a 2.5 % hasta el trmino de laoperacin. Calcular el monto al trmino del horizonte temporal.

Fig. 1.4

2,000 800 S = ? 0 i = 0.015 4 i = 0.025 8

S = 2000 4015.1 4025.1 + 800 4025.1 S = 2,343.09 + 883.05

S = 3,226.14

1.1.15 Clculo del Inters

El inters es el beneficio monetario obtenido por el uso de un capital propio o elcosto por el uso del capital ajeno durante un determinado perodo de tiempo y a una tasade inters determinada.

Hemos visto que una inversin colocada a inters compuesto a una tasa dada, seconvierte en una cantidad mayor llamada monto a un plazo determinado.


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La diferencia entre dicho monto y el capital inicial, constituye el inters, quepodemos representarlo por: I= S P

La relacin anterior nos indica que para determinar el inters, es necesario primerodeterminar el monto, para luego sustraer el capital. Pero se puede determinardirectamente deduciendo la siguiente frmula:

De: I = S P

Reemplazamos S por P ni1 y obtenemos

I = P P ni 1

Sacamos factor comn y obtenemos la frmula:

I = P 11 ni

Ejemplo 1.9 Determinar el inters compuesto de S/. 20,000. Impuesto a una tasaefectiva del 20% anual durante 4 aos.

I = 20,000 1420.1

I = 20,000 [(2.0736 1)]

I = 20,000 (1.0736)

I = 21,472

Ejemplo 1.10: Determinar el inters compuesto de un depsito a plazo fijo de S/.14,000 efectuado en un banco, al 14% anual, capitalizable semestralmente durante 5aos.


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La tasa est dada anualmente y la capitalizacin semestral y como en un ao hay2 semestres, la tasa semestral es del 7%, tasa que reemplazamos en la frmula.

I = 14,000 11007.01

I = 14,000(0.967151357)

I = 13,540.12

Consideramos oportuno remarcar, que para determinar el valor de la frecuencia decapitalizacin se debe responder a la pregunta: Cuntos semestres tiene el ao?, eneste caso y de acuerdo al enunciado, puede ser cuantos meses, bimestres o cualquier

otro perodo de tiempo.

1.1.16 Clculo de la tasa de inters

Tasa, es el inters generado por una unidad monetaria al que se le aplica unrecargo en una unidad de tiempo, que por lo general es un ao.

La tasa de inters se define tambin como la razn geomtrica entre el inters

obtenido en un perodo de tiempo que por lo general es un ao y el capital o stock inicialde dinero.

De la frmula bsica S = ni1P despejamos i

i = n P S

- 1

Ejemplo 1.11: A qu tasa de inters efectiva mensual un capital de S/.10,000 sehabr convertido en S/.12,000, en un periodo de 6 meses?.

i = 6000,10000,12

- 1

i = 0.0308


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i = 3.08% efectivo mensual

1.1.17 Clculo del nmero de periodos de capitalizacin

La variable tiempo n, es otro elemento determinante en el manejo de lasoperaciones financieras. El smbolo n indica el nmero de periodos de capitalizacin delos intereses a la que hace referencia la tasa; esto implica, que si la capitalizacin de losintereses es anual n es el nmero de aos que dura la operacin, si la tasa es trimestraln es el nmero de trimestres y as sucesivamente.

Dicho de otra manera n es el nmero de periodos de capitalizacin que comprendeel horizonte temporal de una operacin financiera.

Es necesario tener claro que matemticamente el valor del tiempo es aproximadono exacto, dado a que las fracciones decimales centesimales o cualquier otra fraccinson aproximaciones a un determinado perodo.

La frmula lo deducimos partiendo de la frmula del monto

S = ni1

Aplicando logaritmos

n = i Log 1logP-SLog

Ejemplo 1.12: En qu tiempo un capital de S/10,000 se convertir en S/.15,000, auna tasa efectiva del 2% mensual?

n = 02.0.1log10,000-15,000Log

Log

n = 20.48 meses

n = 1 ao 8 meses 14 das


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Ejemplo 1.13 Qu, tiempo ser necesario para que un capital de S/.100,000soles colocado al 20% anual se convierta en S/. 172,800?

n =)1.(.log..

i Log P S Log

n =)20.01.(

000,100.log800,172.. Log

Log

n =)20.1.(

000,100.log800,172.. Log

Log

n =079181246.0

5237543738.5.

n = 3 aos

Ejemplo 1.14: Se deposita S/. 20,000 al 24% anual con capitalizacin trimestralrecibiendo S/. 210,900 despus de cierto tiempo; cunto dur el depsito?

En este caso, estamos frente a un problema en la que la tasa es nominal concapitalizacin frecuente, de manera que en el denominador de la frmula, hacemosparticipar a la frecuencia de capitalizacin m a fin de que el nmero de perodos nosarroje en aos.

n =)1.(

.log..

mi

mLog

P S Log

n =)

424.0

1.(4

000,20log900,210..

Log

Log


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27

n =)06.1.(4

000,20log900,210.. Log

Log

n =025305865.04

301029996.432407658.5. x

n =025305865.04

301029996.432407658.5. x

n = 10.11 aos.

Equivalente a 10 aos 1 mes y 9 das


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RESUMEN

El crecimiento natural es una variacin proporcional de la cantidad presente en

cualquier orden de cosas en funcin del tiempo, tal es el caso de los vegetales, animalesetc. Que crecen en funcin continua al tiempo, situacin que tambin se presenta en lacapitalizacin a inters compuesto.

El valor del dinero en el tiempo es diferente, por efecto de la tasa de inters y latasa inflacionaria; la tasa de inters permite medir el valor econmico del dinero y la tasainflacionaria su capacidad adquisitiva. Por lo tanto un sol de hoy no es el mismo que el deayer o el de maana.

Capitalizar significa sumar el inters al capital al final de cada perodo, formando unnuevo capital mayor al anterior, sobre el cual se calcular el inters del siguiente perodoy as sucesivamente hasta el final, de manera que se capitalizarn, tantas veces como elnmero de perodos permanezca el capital invertido.

Es el valor monetario que representa el costo del dinero beneficio o utilidad de uncapital o principal y se obtiene mediante un proceso en el cual el inters generado por uncapital al final de cada periodo de capitalizacin, no se retira sino que se suma al capital(se capitalizan) para formar un nuevo capital mayor y sobre la base de este, calcular elinters del siguiente perodo y as sucesivamente hasta el trmino del horizonte temporal.

El inters es el beneficio monetario obtenido por el uso de un capital propio o elcosto por el uso del capital ajeno durante un determinado perodo de tiempo y a una tasa

de inters determinada.


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AUTOEVALUACIN

1.1.18 Responder (V) o (F)

1.- La escala de tiempo muestra tambin los periodos de pago a la deuda, losperiodos de cobro de prstamos concedidos o erogaciones por diferentesconceptos.

2.- El valor del dinero en el tiempo es diferente, por efecto de la tasa de intersy la tasa inflacionaria; la tasa de inters permite medir el valor econmicodel dinero y la tasa inflacionaria su capacidad adquisitiva. Por lo tanto un

sol de hoy no es el mismo que el de ayer o el de maana3.- Capitalizar significa sumar el inters al capital al final de cada perodo,

formando un nuevo capital mayor al anterior, sobre el cual se calcular elinters del siguiente perodo y as sucesivamente hasta el final, de maneraque se capitalizarn, tantas veces como el nmero de perodospermanezca el capital invertido.

4.- Es el valor monetario que representa el costo del dinero beneficio o utilidadde un capital o principal y se obtiene mediante un proceso en el cual elinters generado por un capital al final de cada periodo de capitalizacin,no se retira sino que se suma al capital (se capitalizan) para formar unnuevo capital mayor y sobre la base de este, calcular el inters delsiguiente perodo y as sucesivamente hasta el trmino del horizontetemporal.

5.- El smbolo n indica el nmero de periodos de capitalizacin de losintereses.

6.- La tasa de inters se define tambin como la razn geomtrica entre elinters obtenido en un perodo de tiempo que por lo general es un mes y elcapital o stock inicial de dinero.

7.- La variacin en el capital se presenta cuando se realizan depsitos oretiros generando aumento o disminucin del capital segn el caso y a lavez la tasa de inters no vara de acuerdo a las variaciones del sistemafinanciero.

8.- Las capitalizaciones: anual, semestral, trimestral, mensual, etc. estnreferidos a perodos bancarios establecido por el BCR, en los cuales todoslos meses estn conformados de 31 das.


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9.- En cualquier inversin o colocacin de dinero se espera recibir, el capitalms sus moras.

10.- Periodo de capitalizacin es el intervalo de tiempo convenido, paracapitalizar los intereses formando un valor presente o monto.


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SOLUCIONARIO DE AUTOEVALUACIN

1.1.18 Respuestas

1. (V) 6. (F)2. (V) 7. (F)3. (V) 8. (F)4. (V) 9. (F)5. (V) 10. (F)


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REFERENCIA BIBLOGRFICAS

Aliaga, C. ((2002). Matemticas Financieras, un enfoque prctico. Editorial McGraw Hill.

Colombia.






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Problemas propuestos

1. Determinar el monto a pagar dentro de un ao y cinco meses, por un prstamo

bancario de S/. 32,000 a una tasa efectiva mensual del 3%2. Hallar el valor futuro de S/. 6,000 en un perodo de 5 aos:

a. A la tasa efectiva del 6 % semestralb. A la tasa del 6 % semestral con capitalizacin mensual

3. Una empresa obtiene un prstamo por S/. 8,000para cancelarse dentro de 4aos y 6 meses, a la tasa del 16% anual con capitalizacin trimestral. Cuntopagar a la fecha de liquidacin?.

4. Una cuenta se apertura el 30 de Abril con S/.15,000, a una tasa nominal del 3% mensual con capitalizacin diaria. Qu monto se acumular desde la fechade su apertura hasta el 18 de Septiembre del mismo ao, fecha de suliquidacin

5. Calcular el monto en la que se transform un capital de S/. 16,000, colocado aplazo fijo durante 18 meses, perodo en el que la tasa de inters sufre lassiguientes variaciones: Los primeros 6 meses una tasa efectiva mensual del2.5%, los 6 meses siguientes el 3 % mensual con capitalizacin diaria y losltimos 6 meses el 2 % efectivo mensual.

6. Se deposita en una cuenta de ahorros S/. 12,000 y ocho meses despus seefecta un nuevo depsito por S/. 8,000, liquidndose la cuenta despus dediez meses ms. En dicho perodo la tasa efectiva del 3 % bimestral semantiene constante los primeros ocho meses, fecha en el que se incrementa al3.5 % bimestral hasta el trmino de la operacin. Calcular el monto al trminodel perodo.

7. Calcular el inters producido por un capital de S/. 10,000, a una tasa efectiva

trimestral del 4.5 %, en un perodo de un ao y 10 meses8. Cunto se pagar de intereses por un prstamo de S/. 40,000 a la tasa del

18% anual con capitalizacin bimestral.9. Determinar el inters compuesto de un depsito a plazo fijo de S/. 25,000

efectuado en un banco, al 14% efectivo anual, durante 2 aos y 4 meses.10. Determinar el inters compuesto de una colocacin de S/. 24,000 efectuado en

un banco, al 2% mensual con capitalizacin trimestral durante 4 aos.11. A que tasa de inters nominal anual, ser necesario colocar un capital de

S/.6,800, para convertirse en S/. 11,622.15, en un periodo de tres aos. Si losintereses se capitalizan mensualmente?.


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12. A que tasa nominal anual convertible trimestralmente, un capital de $30000.00crecer a $100,000.00 en cinco aos?

13. Calcular la tasa nominal anual con capitalizacin bimestral que se requiere,para convertir un capital de S/.3,000 en un monto de S/.10,000 en un plazo de

5 aos.14. En que tiempo un capital de S/.6,800 se convertir en S/.12,000, si se coloca

al 18% anual con capitalizacin trimestral?.15. Calcular el tiempo necesario para que un capital de S/12,000, colocado al

20% anual con capitalizacin trimestral se convierta en S/.21550.28


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SEGUNDA UNIDAD: VALOR ACTUAL NETO, DESCUENTO BANCARIO,ANUALIDADES


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El contenido de la segunda Unidad de Aprendizaje se ha tomado de:







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CAPTULO I: EL VALOR ACTUAL O CAPITAL INICIAL

1.2 VALOR ACTUAL O CAPITAL INICIAL

Si una cantidad actual llamado capital lo llevamos al futuro mediante el FSC, unacantidad futura llamada monto lo podemos traer al momento actual mediante el factorsimple de actualizacin FSA.

Fig. 2.1

P = ? SI I I I I I . . . . . . . . . I I I

0 1 2 3 4 5 n-2 n-1 nPara clarificar el significado de valor actual o presente, hagamos la siguiente

reflexin: Una empresa con el que negocia usted, le adeuda S/.10,000 pagaderos dentrode 5 aos, pero existe la posibilidad de ser liquidada ahora, la pregunta es cul es el valoractual de dicha cantidad de acuerdo a la tasa de inters vigente.

El valor actual o presente a inters compuesto, de un dinero a recibirse en unafecha futura, es el valor equivalente al dinero que se recibir en dicha fecha, pero en el

perodo actual.

1.2.1 Valor actual

Para el clculo del valor actual o presente se hace uso del factor simple deactualizacin FSA, factor que multiplicando por el monto, a una tasa de inters i, a undeterminado perodo de tiempo n se obtiene el valor actual.

La frmula lo deducimos del monto a inters compuesto.

S = ni1P Lo que buscamos es el capital P y lo obtenemos despejando de la ecuacin:

P = S ni11


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El factor entre corchetes es el factor simple de actualizacin, de manera quepodemos decir tambin:

P = FSAniS

El valor actual se obtiene multiplicando el valor del monto por el factor simple deactualizacin a una tasa de inters compuesto i en n perodos de tiempo.

1.2.2 Factor simple de actualizacin

La expresin ni11 que multiplica al monto se llama factor simple de

Actualizacin FSA,.El factor simple de actualizacin, es el valor actual de una unidad monetaria a una

tasa i por perodo, durante n perodos y su funcin es traer al presente cualquier cantidadfutura o llevar al pasado cualquier cantidad actual.

Para solucionar cualquier problema ya sea de capitalizacin o de actualizacin, enel que se utilice una tasa nominal capitalizable m veces, es necesario convertirpreviamente la tasa nominal a una tasa efectiva, dividiendo a la tasa nominal j por lafrecuencia de capitalizacin m y en el caso que la tasa nominal este dado en un periodomenor a la frecuencia de capitalizacin, se hace necesario multiplicar por el periodoproporcional para su conversin en una tasa efectiva de acuerdo a la frecuencia de

capitalizacin.

Ejemplos 2.1 Qu cantidad de dinero deber depositarse para que capitalizado al20% de inters efectivo anual durante 3 aos se obtenga un monto de S/. 124,416.

Remplazando datos en la frmula:

P = S ni11


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P = 124,416 320.01

1

P = 124,416 ( 0.578703703 )P = 72,000

Ejemplo 2.2 Hallar el valor presente de S/. 8,000 pagaderos dentro de 5 aos a latasa nominal anual del 16% capitalizable trimestralmente..

Remplazando datos en la frmula:

P = 8,000 2004.01

1

P = 8,000 x 0.456386946

P = 3,651.10

1.2.3 Tasas utilizadas en el sistema financiero

Para analizar el indicador denominado tasa, implica hacer una clasificacin de lastasas, que para el efecto existen varios criterios, de acuerdo al tipo de operacinfinanciera en los que estn involucrados o al tipo de operacin financiera.

Las tasas de inters lo podemos clasificar de acuerdo a varios criterios, entre estostenemos:

De acuerdo a la nomenclatura bancaria

Tasa Activa, Es el tipo que la entidad financiera aplica a las operaciones decolocacin de fondos como prestamos, descuento de documentos de crdito, crditosordinarios, crditos hipotecarios etc.


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Tasa pasiva; Es aquella que el banco paga a los depositantes o ahorristas por lacaptacin de fondos, que pueden ser en ahorros, depsitos a plazo fijo o cualquier otramodalidad, lo que significa un pasivo para la entidad financiera.

De acuerdo a la liquidacin de los intereses:

Tasa vencida: Es la tasa que se aplica al vencimiento del plazo de la operacinfinanciera, en este caso es requisito fundamental el cumplimiento del periodo pactadopara la liquidacin de los intereses.

Tasa adelantada es la que se descuenta del capital antes del vencimiento de laoperacin, disminuyendo de esta manera, el valor nominal de una letra de cambio,pagar, un ttulo valor o cualquier otro documento sometido a descuento.

Segn el cumplimiento de la obligacin:

Tasa compensatoria: Es el pago que el deudor efecta en compensacin por el usodel dinero, es la tasa utilizada tanto en las operaciones activas como pasivas.

Tasa moratoria: Es la tasa que se aplica al incurrir el prestatario en atraso en elpago de sus obligaciones.

De acuerdo al valor del dinero en el tiempo

Tasa efectiva: es aquella que efectivamente se paga o cobra en una transaccinfinanciera. No considera el efecto de la inflacin

Tasa real: Es la tasa efectiva que considera el efecto de la inflacin, mide lacapacidad adquisitiva del dinero.

Las tasas cuyo manejo le dan significado a los dems elemento que son de usofrecuente en las operaciones financieras son la tasa nominal y la tasa efectiva, que midenel efecto de la capitalizacin


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1.2.4 Tasa nominal

La tasa de inters nominal (j) es aquella que tiene como base un ao y muestra elnmero de veces (m) que capitaliza al ao; no indica el costo real del dinero o larentabilidad de una inversin.

Cuando una tasa es susceptible de transformarse en una tasa proporcional operidica, dividindose o multiplicndose para ser expresada en otra unidad de tiempodiferente a la original, recibe el nombre de tasa nominal.

Dicho de otra manera, es la que se aplica directamente a operaciones de inters

simple y lo representamos por j, y es susceptible de dividirse o multiplicarse, para serexpresado en otra unidad de tiempo a la que se conoce como tasa proporcional.

En las operaciones a inters compuesto la tasa nominal nos permite determinar latasa efectiva por periodo de capitalizacin. Por lo general surge cuando la tasa nominales anual y el perodo de capitalizacin es menor a la de un ao; de manera que podemosdecir, tasa anual con capitalizacin semestral trimestral, mensual u otro perodo. Enconsecuencia la tasa efectiva ser semestral, trimestral, mensual etc.

Adems la tasa nominal, lo podemos expresar en diferentes perodos de tiempocomo por ejemplo, tasa semestral con capitalizacin trimestral, tasa trimestral concapitalizacin mensual, etc.

La tasa nominal tambin puede estar dado en un perodo menor al perodo decapitalizacin, esto nos autoriza a proponer por ejemplo, una tasa nominal mensual concapitalizacin trimestral, en este caso determinaremos la tasa efectiva trimestral

multiplicando la tasa nominal mensual por tres meses que incluye un trimestre.

Ejemplo 2.3. Si la tasa de inters nominal es del 24% anual, las tasasproporcionales en perodos menores lo obtenemos de la siguiente manera:

Para un semestre j =

224.0 x 1 = 0.12

j = 12%


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Para un trimestre j =

424.0 x 1 = 0.06

j = 6%

Para un mes j =

1224.0 x 1 = 0.02

j = 2%

Para 18 das j =

360

24.0 x 18 = 0.012

j = 1.2 %

Consecuentemente, si la tasa nominal es 1.5% mensual la tasa proporcional en unperodo mayor lo obtenemos multiplicando:

Para un trimestre j = 0.015 x 3 = 0.045 j = 4.5 %

Para un semestre j = 0.015 x 6 = 0.09 j = 9 %

Para un ao j = 0.015 x 12 = 0.18 j = 18 %

El monto a inters compuesto aplicando una tasa nominal J capitalizable m vecesdurante un determinado espacio de tiempo que por lo general es un ao, durante nperodos que constituye el horizonte temporal de una operacin financiera, se calcula conla frmula:

S = P nm.j

1

De la cual deducimos una frmula que nos permite calcular la tasa nominal

nm.j1 = PS


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43

mJ

1 = nPS

mJ

= n PS

- 1

j =

1m n

P S

Ejemplos 2.3 Si la cantidad de 100,000 capitalizado trimestralmente durante 4aos, asciende a S/. 180,000 cul es la tasa de inters nominal anual?.

j = 4

116

000,100000,180

j = 0.1497

j = 14.97 %

Ejemplo 2.4 Al cabo de 3 aos y 8 meses, se retira los intereses de un depsito,los mismos que ascienden a S/.33,718, si la capitalizacin es semestral, A qu tasa deinters nominal anual se deposit la cantidad de S/. 45,000?,

Reemplazando valores en la frmula, encontramos que el monto es desconocido;pero por su definicin sabemos que ste est constituido por el capital ms los intereses,luego tenemos:

. j = m

1n

P S

j = 2 1644

000,45

718,48

j = 2 1322

74929.1


46/225

44

j = 2 x 0.079238728

j = 0.1585 j = 15.85 %

1.2.5 Tasa Efectiva

Es aquella que indica cual es efectivamente la rentabilidad de una inversin o cuales el costo de un crdito por perodo

Es el verdadero rendimiento que produce un capital en una operacin financiera;es la que efectivamente acta sobre el capital, refleja el tiempo o frecuencia decapitalizacin o conversin de los intereses en capital. El hecho de capitalizar el intersdos o ms veces durante un ao, da lugar a una tasa efectiva anual mayor a la tasanominal anual.

Dicha tasa denota un rendimiento o un costo efectivo, segn se trate de unaoperacin activa o pasiva.

Para obtener la tasa efectiva podemos utilizar ms de una frmula segn los datos

de los que se disponga, si partimos de la frmula del monto S = ni1P y despejamosi obtenemos la siguiente expresin:

i = n P S

- 1

Expresin que nos permite calcular la tasa efectiva por periodo de capitalizacin.

Cuando se conoce la tasa nominal anual, la tasa efectiva por periodo decapitalizacin lo obtenemos dividiendo a la tasa nominal por la frecuencia de

capitalizacin de la manera siguiente: i =

m

j , dicha expresin est formado por los

elementos:


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48/225

46

i = 140375.01

i = 0.15865

i = 15.865% tasa efectiva anual

Cuando en vez del monto utilizamos como dato el inters, el capital y el nmero deperiodos de capitalizacin hacemos uso de la siguiente frmula:

i = 1n1

PI

1

Utilizando los datos del ejercicio que nos permiti hacer uso de la formula anteriorcalculamos la tasa efectiva de la siguiente manera:

i = 1201

000,4008.526,43

1

i = 0.0375 tasa efectiva trimestral

i = 140375.1

i = 15.865% tasa efectiva anualLos resultados nos demuestran que se pueden utilizar las frmulas indistintamente.

Ejemplo 2.6 Calcular la tasa efectiva anual, que se impuso a un depositoefectuado en una cuenta de ahorros por S/.6,000 y gener un inters compuesto de 360en un perodo de tres meses, si la capitalizacin es mensual, (utilizar las dos frmulas).

Utilizando la frmula a partir del monto:

i = 1nPS


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47

i = 136,0006,360

i = 0.019612822 Tasa efectiva mensual

i = 112019612822.1

i = 0.2625

i = 26.25 % Tasa efectiva anual

Con la frmula, tomando como dato el inters:

i = 131

000,6360

1

i = 0.019612822 Tasa efectiva mensual

i = 112019612822.1

i = 0.2625

i = 26.25 % Tasa efectiva anual

El resultado es el mismo en ambos casos.

Ejemplo 2.7 Calcular la tasa efectiva trimestral de una colocacin de S/.5,000 porun perodo de 1 ao, espacio de tiempo en el cual se obtuvo por concepto de intereses lacantidad de S/. 849.29

i = 141

000,5

29.8491


50/225

48

i = 14/1169858.1

i = 0.04

i = 4 % Trimestral

O tambin:

i = 145,000

5,849.29

i = 0.04i = 4% Trimestral

La tasa efectiva anual tambin lo podemos obtener conociendo la tasa nominal anual y lafrecuencia de capitalizacin mediante el siguiente razonamiento:

La tasa efectiva anual es igual al inters dividido por el capital P I y el inters es igual al

monto menos el capital (S P), luego tenemos:

i =P

PS

Reemplazando S por su frmula con el uso de la tasa nominal j y la frecuencia decapitalizacin m se tiene:

i =P

Pn

m j

1P

Simplificando el segundo miembro obtenemos la formula requerida en base a la tasanominal:

i =n

m

j

1

- 1


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49

Ejemplo 2.8 Un ahorrista desea saber, cul es la tasa efectiva de inters anual deun depsito efectuado en un banco que paga el 12% de inters anual con capitalizacindiaria.

i = 1360

36012.0

1

i = 1360000333333.1

i = 0.1275

i = 12.75%

1.2.6 Conversin de Tasas

En las operaciones financieras se presentan diversos casos, como el de convertiruna tasa efectiva dada en un periodo en otra tasa efectiva de diferente periodo,analicemos estos casos.

1.2.7 Conversin de una tasa efectiva en otra efectiva de diferente perodo

A partir de una tasa efectiva se puede obtener otra tasa efectiva de diferenteperodo, presentndose dos casos bien definidos, el primero consistente en convertir unatasa efectiva de un periodo menor en otra tasa efectiva de un periodo mayor y para estose potencia y un segundo caso que consiste en convertir una tasa efectiva de un periodomayor en otra tasa efectiva de un periodo menor y para ello se radica.

Primer caso: Una tasa efectiva de un periodo menor es susceptible de convertirseen otra tasa de un periodo mayor mediante la potenciacin.

Ejemplo 2.9 Convertir la tasa efectiva mensual del 1.5% en una tasa efectivatrimestral, semestral y anual.

iT = 1n

i1 M


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iT = 13015.1 iT = 0.045678

iT = 4.57% trimestral

iS = 1ni1 M iS = 16015.1 iS = 0.0934433

iS = 9.34 % semestral

i A = 1ni1 M

i A = 112015.1 i A = 0.195618

i A = 19.5618 % anual

Segundo caso: Una tasa efectiva de un periodo mayor, es susceptible deconvertirse en una tasa efectiva de un periodo menor mediante la radicacin

Ejemplo 2.10 Convertir la tasa efectiva anual del 16.986% en tasa efectiva semestral ytrimestral.

iS = 1n i1 A

iS = 116986.01

iS = 0.0816

iS = 8.16 % semestral

iT = 1n TEA1

iT = 14 16986.01


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iT = 0.04

iT = 4 % trimestral

En conclusin, para convertir una tasa efectiva de un periodo menor en otra tasa de unperiodo mayor se potencia y para convertir una tasa efectiva de un periodo mayor en otratasa efectiva de un periodo menor se radica.

1.2.8 Tasas equivalentes

Cuando la frecuencia de capitalizacin de los intereses es anual la tasa nominalanual es equivalente a la tasa efectiva anual j = i

Si la frecuencia de capitalizacin de los intereses esta dado en periodos menoresa un ao, la tasa nominal anual equivalente a la tasa efectiva anual, lo obtenemos a partirde la frmula de la tasa efectiva.

Partimos de la frmula de la tasa efectiva.

i = 11

n

m j

n

m j

1 = 1 + i

m j

1 =n

i1

m j = n i1 - 1

j = m 11 n i

Ejemplo 2.11 Si un banco paga por depsitos en cuentas de ahorro una tasaefectiva anual del 12.75% Cul ser la tasa nominal anual equivalente, si los intereses

se capitalizan diariamente?


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52

j A = m 1n 1A

i

j A = 360 1360 1275.01

j A = 0.12

jA =12 % anual

Ejemplo 2.12 Cul ser la tasa nominal equivalente anual a la tasa efectivaanual del 20.17%, si los intereses se capitalizan trimestralmente?.

jS = m 11 n Ai

jS = 4 14 2017.01

jS = 0.1880

jS = 18.80 % anual

Para deducir la frmula que nos permita obtener la tasa nominal equivalente a unatasa efectiva, tambin podemos utilizar el siguiente razonamiento: El monto de 1 a la tasaefectiva i, transcurrido un perodo es 1+i, y el monto de 1 a la tasa nominal j en el mismo

perodo a una frecuencia de capitalizacin m esn

m j

1 ; la ecuacin de equivalencia

entre estos dos montos es:

1 + i =n

m j

1


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53

Despejando j de la ecuacin:

m j

1 = n i1

m j = 11 n i

j = 11 n im

Con operaciones inversas y partiendo de la frmula de la tasa nominal anualpodemos obtener la frmula de la tasa efectiva anual equivalente.

De j = 11 n im despejamos i

11 n im = j

11 n i =m j

n i1 = 1 + m j

i =n

m j

1 - 1 Tasa efectiva

Ejemplo 2.13 Cul ser la tasa efectiva equivalente anual a la tasa nominal anual del24%, si los intereses se capitalizan trimestralmente?.

i =n

m j

1 - 1

i =4

4241

- 1


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54

i = 0.2625

i = 26.25% anual

1.2.9 Tasa de inflacin

La tasa de inflacin es una tasa efectiva, indicadora del crecimiento sostenido delos precios de los bienes y servicios de la economa, en un perodo de tiempodeterminado, (calculada por Instituto Nacional de Estadstica e Informtica INEI) sobre labase de una canasta bsica de consumo familiar, tomada en una fecha cuya estructurade costos en la actualidad est referido al ao base 1994.

Para el clculo de la tasa de inflacin se utiliza el ndice de precios al consumidorIPC, debido a que es uno de los indicadores econmicos ms importantes que permiteconocer el comportamiento inflacionario en una determinada economa; debido a quemide la variacin promedio de precios de los bienes y servicios consumidoshabitualmente por un conjunto de familias con diversos niveles de ingreso, e unadeterminada arrea geogrfica.

Para calcular la tasa de inflacin a la que lo representamos por f hacemos uso de lafrmula:

f =0 IPC

IPC n - 1

IPC0 = IPC base

IPCn = IPC actual

EVOLUCION DE LA INFLACIN EN EL PERUVariacin porcentual anual


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AoIPC Inflacin

199119921993199419951996199719981999

20002001200220032004

41.6729500065.3156500091.10207000105.1200000115.8700000129.5900000137.9600000146.2500000151.7000000

157.3600000157.1600000101.5200000104.0400000107.6600000

139.23%56.73%39.48%15.39%10.23%11.84%6.46%6.01%3.73%

3.73%(0.13%)1.52%2.48%3.48%

La informacin nos permite calcular la tasa inflacionaria par cualquiera de los aos.

Ejemplo 2.13 Calcular la tasa de inflacin para el ao 2004, con los ndices deprecios al consumidor de la tabla..

En este caso consideramos que los ndices de precios estn dados al 31 deDiciembre de cada ao.

f =0 IPC

IPC n - 1

f =04.104

66.107 - 1

f = 0.0348

f = 3.48 %Con la frmula podemos calcular la inflacin anual, semestral, trimestral, mensual

etc. Utilizando correspondientemente los ndices de precios.


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1.2.10 Tasa real

Es la tasa de inters efectiva anual deflactada. Es decir la tasa efectiva anualdeducida el efecto de la inflacin o de la elevacin de los precios.

En el estudio de las tasas hasta el momento, hemos obviado el efecto de lainflacin, tal es as que en el valor nominal de la unidad monetaria no se tom en cuentala variacin de su poder adquisitivo a travs del tiempo por el incremento general de losprecios de los bienes y servicios La tasa real permite medir el grado en el que los valoresnominales que se ubican en el futuro sern erosionados por la inflacin.

Cuando la inflacin en un pas es alta, la variacin de los precios de los bienes yservicios genera disminucin en la capacidad adquisitiva del dinero. Para ajustar el valornominal del dinero a fin de que refleje su valor real, hacemos uso de la tasa deflactada,deduciendo el efecto de la tasa inflacionaria del mismo perodo; llamada tasa real:

r = 111

f i

o tambin

r = f f i

1

i = Tasa efectiva anualf = Tasa de inflacin

r = Tasa real

Ejemplo 2.14 Las empresas ms importantes del Departamento de Ancash hanefectuado aumentos de sueldos y salarios a sus trabajadores en el orden del 22 %, 18 %,14 % y 10 %, en una economa con una tasa anual promedio de inflacin del 14 %.Determinar la tasa real de incremento de sueldos y salarios.

Con el uso de la primera frmula:


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57

r = 114.0122.01

r = 0.0702

r = 7.02 % de aumento real

r = 114.0118.01

r = 0.0351

r = 3.51 % de aumento real

r = 114.0114.01

r = 0r = 0% de aumento real

Cuando por disposiciones legales se establece que los sueldos y salarios estnindexados a la tasa inflacionaria, los aumentos deben ser equivalentes al aumento de latasa de inflacin, neutralizando los efectos de la inflacin manteniendo estable el nivel devida de los trabajadores, sin mejorarlo ni empeorarlo realmente.

Pero cuando porcentualmente los aumentos monetarios de sueldos y salarios soninferiores a .la tasa inflacionaria, la tasa real es negativa, indicador que refleja unaprdida del poder adquisitivo del dinero recibido por concepto de remuneraciones

r = 114.0110.01

r = - 0.0351

r = 3.51 % de disminucin real

Por consiguiente un aumento del 10 % no compensa la prdida del valor real de lossueldos y salarios por estar por debajo de la tasa inflacionaria.


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Ejemplo 2.15 Calcular la tasa real de un prstamo que debe ser revertido en seismeses a una tasa efectiva anual del 20% y la tasa inflacionaria acumulada durante elperodo se estima en el 4%.

Previamente determinamos la tasa efectiva semestral

iS = 120.01

iS = 0.095445115

iS = 9.54 %

Remplazamos datos en la formula y obtenemos la tasa real

r = 104.01

0954.01

r = 0.0533

r = 5.33 % en seis meses

1.2.11 Tasas reajustadas por efectos de inflacin

De acuerdo a los resultados: la tasa efectiva semestral es del 9.54% y una tasa real

del 5.33% y la tasa de inflacin de acuerdo a los datos del 4%.

Observamos que la tasa real es menor a la tasa efectiva. Pero si se requieremantener el valor de la tasa real equivalente a la tasa efectiva lo reajustamos de lasiguiente manera:

Calculamos la nueva tasa efectiva

i = i1 f 1 - 1


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i = 0.09541 0.041 - 1

i = 0.1392

La nueva tasa real ajustada por efectos de inflacin

r = 104.01

1392.01

r = 0.0954

r = 9.54 %

1.2.12 Listado de Formulas

Frmula Factor Obtiene

S = P ni1 FSC Monto compuesto

P = S ni11

FSA Valor actual o capital

i = 1nP

S

i = 1nPI

1

Tasa de inters efectiva

n = i1loglogp-Logs

Nmero de periodos decapitalizacin

I = 1i1P n Inters compuesto


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P = 1i1I n

Capital

i =m j

Tasa efectiva por periodo decapitalizacin

J =

1PS

m Tasa nominal capitalizable m veces

r = 1f 1i1 Tasa real

Problemas propuestos

1. Hallar la cantidad necesaria a depositar en una cuenta que paga el 20 % anualcon capitalizacin trimestral, para disponer de S/. 22,000 al trmino de 8 aos.

2. Una persona debe pagar S/ 30,000 dentro de 2 aos y acuerda con su acreedor

pagar S/. 10,000 de inmediato y por el resto firmar un pagar con vencimiento a3 aos. Cul ser el valor del pagar, si la tasa de inters es del 20% anualcon capitalizacin semestral?.

3. Hace 8 meses se deposit en un banco un capital al 2.5 % efectivo mensual.Determinar el valor del depsito si el monto acumulado es de S/.3,898.89.

4. Cuanto ser necesario depositar en una cuenta que paga el 18 % anual concapitalizacin diaria, para disponer de S/. 18,000 dentro de 180 das?.

5. Un capital de S/. 28,000 se coloca en dos partes; la primera a una tasa efectivaanual del 18 % y la segunda a una tasa efectiva anual del 20 % y al trmino de10 aos, el monto de la primera es el triple del monto de la segunda. Determinarcunto se coloc en cada caso.

6. Calcular la tasa efectiva trimestral necesaria aplicar a una colocacin deS/.4000 para generar un inters de S/. 679.43 durante un ao.


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7. Al cabo de 2 aos y 6 meses, se dispone de un fondo de S/. 6,661.10. A qutasa de inters nominal con capitalizacin trimestral se deposit la cantidad deS/. 4,500?,

8. Cul ser la tasa nominal anual que capitalizable mensualmente, seaequivalente a una tasa efectiva anual del 19.56

9. Cunto tiempo ser necesario para que un capital de S/. 6,000 se convierta enS/. 9,650.62 a una tasa nominal anual del 24 % con capitalizacin mensual?.

10. Cul es la tasa efectiva de inters que se recibe de un depsito bancario de$1000.00, pactado a 18% de inters anual convertible mensualmente, en elperiodo de un ao? R = 19.56


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RESUMEN

Para el clculo del valor actual o presente se hace uso del factor simple deactualizacin FSA, factor que multiplicando por el monto, a una tasa de inters i, a undeterminado perodo de tiempo n se obtiene el valor actual.

El factor simple de actualizacin, es el valor actual de una unidad monetaria a unatasa i por perodo, durante n perodos y su funcin es traer al presente cualquier cantidadfutura o llevar al pasado cualquier cantidad actual.

Para analizar el indicador denominado tasa, implica hacer una clasificacin de lastasas, que para el efecto existen varios criterios, de acuerdo al tipo de operacinfinanciera en los que estn involucrados o al tipo de operacin financiera.

La tasa de inters nominal (j) es aquella que tiene como base un ao y muestra elnmero de veces (m) que capitaliza al ao; no indica el costo real del dinero o larentabilidad de una inversin.

La tasa efectiva Es aquella que indica cual es efectivamente la rentabilidad de una

inversin o cual es el costo de un crdito por perodo.

A partir de una tasa efectiva se puede obtener otra tasa efectiva de diferenteperodo, presentndose dos casos bien definidos, el primero consistente en convertir unatasa efectiva de un periodo menor en otra tasa efectiva de un periodo mayor y para estose potencia y un segundo caso que consiste en convertir una tasa efectiva de un periodomayor en otra tasa efectiva de un periodo menor y para ello se radica.

Tasas equivalentes, cuando la frecuencia de capitalizacin de los intereses esanual la tasa nominal anual es equivalente a la tasa efectiva anual j = i


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AUTOEVALUACIN

1.2.13 Responder (V) o (F)

1.- Para el clculo del valor actual o presente se hace uso del factor simple deactualizacin FSA.

2.- El factor simple de actualizacin, es el valor actual de una unidad monetaria a unatasa i por perodo, durante n perodos.

3.- Tasa Activa, Es el tipo que la entidad financiera aplica a las operaciones decolocacin de fondos como prestamos, descuento de documentos de crdito,

crditos ordinarios, crditos hipotecarios etc

4.- La tasa de inters nominal (j) es aquella que tiene como base un ao y muestra elnmero de veces (m) que capitaliza al ao.

5.- La tasa efectiva es aquella que indica cual es efectivamente la rentabilidad de unainversin o cual es el costo de un crdito por perodo.

6.- A partir de una tasa efectiva se puede obtener otra tasa efectiva de diferenteperodo.

7.- Las tasas equivalente, cuando la frecuencia de capitalizacin de los intereses esanual la tasa nominal anual es equivalente a la tasa efectiva anual j = i

8.- La tasa de inflacin es una tasa efectiva, indicadora del crecimiento sostenido delos precios de los bienes y servicios de la economa, en un perodo de tiempodeterminado.

9.- Es la tasa de inters efectiva anual deflactada. Es decir la tasa efectiva anualdeducida el efecto de la inflacin o de la elevacin de los precios.

10.- Para el clculo de la tasa de inflacin se utiliza el ndice de precios al consumidorIPC.


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SOLUCIONARIO DE AUTOEVALUACIN

1.2.14 Respuestas

1. (V) 6. (F)2. (V) 7. (F)3. (V) 8. (F)4. (V) 9. (F)5. (V) 10. (F)


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REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

Aliaga, C. ((2002). Matemticas Financieras, un enfoque prctico. Editorial McGraw Hill.

Colombia.






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TERCERA UNIDAD: EL DESCUENTO, ECUACIONES DE VALOR, ANUALIDADES,AMORTIZACIONES


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67

El contenido de la tercera Unidad de Aprendizaje ha sido tomado de:







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CAPTULO I: EL DESCUENTO, ECUACIONES DE VALOR

1.3 DESCUENTO

Des pues de haber analizado los indicadores como el monto y el valor actualestamos en condiciones de aprender fcilmente lo que corresponde al descuento, puestoque tambin es una forma de inters con la diferencia que se paga por anticipado; debidoa que la entidad financiera que realiza el descuento, ejecuta el cobro correspondiente porel tiempo que falta para el vencimiento del documento sometido a descuento y ladiferencia entre el valor nominal (valor que figura en el documento) y el descuento, vienea ser el valor efectivo, cantidad que es entregado al propietario del documentorespectivo.

Una operacin de descuento consiste en obtener el pago anticipado de un ttulo valor ode un documento de crdito como el pagar, letra de cambio, etc. Por medio de unaentidad bancaria, deduciendo el inters llamado descuento, por el tiempo que falta para elvencimiento del documento

En el tema del descuento se presentan dos casos:a. El descuento compuesto racional o descuento verdadero y;b. El descuento compuesto bancario.

1.3.1 Descuento Racional

Al descuento racional se le denomina tambin, descuento verdadero, matemtico ylegal. Este tipo de descuento es la diferencia entre el valor futuro por pagar y su valoractual o efectivo y lo representamos por D.

Cuando la cantidad que se deduce por concepto de inters en una operacin dedescuento se obtiene sobre el valor efectivo del documento sometido a descuento tomael nombre de descuento racional, matemtico, legal o verdadero y es ms beneficiosopara la empresa que el descuento bancario


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La tasa de descuento es la diferencia del valor nominal de un sol y su valor actualen un periodo determinado y lo representamos por d.

1.3.2 Clculo del Descuento

De la definicin se deduce que el descuento compuesto es la diferencia entre elvalor nominal o futuro y el valor actual de una deuda especificada en un documento decrdito.

Esto lo representaremos matemticamente con la relacin siguiente:

D = Vn - Va

Si por equivalencia hacemos al Vn = S y al Ve = P tendremos que el descuentocompuesto es equivalente a la diferencia entre el valor nomin

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Texto Matematica Financiera II

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