INSTITUTO DE EDUCACIN A DISTANCIAUNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE CIENCIAS ECONMICASIEADESEXTO SEMESTREASIGNATURA:MATEMTICA FINANCIERA IIAUTOR: (Tutor)ING. MARY SALTOS MBA.QUITO, SEPTIEMBRE 2010 FEBRERO 2011CARRERA:INGENIERA FINANCIERA ECONOMA1JUSTIFICACIN O IMPORTANCIA DE LA MATERIALasMATEMATICASFINANCIERASIIcomoherramientafundamentalparalasolucindeproblemasquesevanpresentandoenelejerciciodelaprofesindeIngenieroenFinanzasoEconomistas,es simplementecuandoteencuentrasenlaposicincasiinevitablederealizarunprstamoydeseassaber tu cuota de amortizacin por ejemplo, o saber que el proyecto que vas aemprender es rentable o no,son analizadas en esta materia que no pretendesino: inculcarte y a la vez motivarte a ti alumno de educacin a distancia de laFacultad de Economa, carrera deEconoma y Finanzas para la obtencin debases de matemticas financieras que refuercen t formacin acadmica.Siescogisteestacarreraesimportanteaplicarlosconocimientosquevayasadquiriendoenestecursoparaenfrentarlarealidadeconmica-financieraconmiras a enfrentar los retos que exige tu profesin o a levantar tu propio negocioenamboscasosalosmsbajoscostosfinancierosyqueofrezcanlamayorrentabilidadposible,deberstenerconocimientosdenegociacincondocumentos financieros, bonosy, el valoresperadode viday tablas de riesgoen los seguros.LaMatemticasFinancierasIIespartefundamentalparaintroducirteenelestudiodelasamortizacionesyfondosdeamortizacin;tasasespeciales(VAN, TIR) , ttulos y valores y tablas de mortalidad y seguro que nos permitirdesarrollarlaformulacinyresolucindeproblemasfinancierosyquesiguiendo los pasos indicados en la misma te facilitar el estudio y comprensinde los bloques que la conforman, se encuentran en una forma sistematizada yordenada, para que t puedas adquirir los conocimientos de manera gradual yobjetivaparaqueteencuentresencondicionesderesolverlasactividadessolicitadas en cada trabajo.Enlosactualesmomentosygraciasalapoyodelacibernticalasnegociacionesy transacciones financierasy afectaciones, sehacen en tiemporeal,porloqueserequiereadquirirslidosconocimientos financierosquetepermitanaprovecharlasoportunidadesquesepresentanenelmercadoytomar medidas de prevencin cuando estas puedan inquietar las finanzas de laempresa donde trabajas o tu propio negocio.EQUIPO DE PROFESORES:Nombre: Saltos Chacn Mary YesennyaDatos: InstruccinTutor:2SUPERIOR:Universidad Central del EcuadorFacultad de Ciencias EconmicasEscuela de FinanzasIngenieraen Finanzas(Matrcula CIFP 037)CUARTONIVEL:Universidad Central del EcuadorFacultad de Ciencias AdministrativasInstituto Superior de PostgradoMaestra en Administracin de Empresas MBAOctava PromocinFebrero 2003 Enero 2005Universidad Tecnolgica Equinoccial-UTEDireccin General de PosgradoDiplomado Superior en Investigacin y ProyectosFebrero Julio2010REFERENCIAS DE DOCENCIA:ProfesoradeMatemticaBsica,MatemticaAplicadayEconmicaI,II,IIIyIV, Matemtica Financiera I y II de la Universidad Central del Ecuador, Facultadde Ciencias Administrativas y Ciencias Econmicas, Universidad Autnoma deQuitoUNAQ,InstitutoTecnolgicoSuperiorH.ConsejoProvincialdePichincha en las Modalidades Presencial, Semipresencial y a Distancia.ProfesoradeAdministracindeEmpresas,PlanificacinEstratgica,AdministracinporProcesos,CalidadTotal, EstructuracinyEvaluacindeProyectos,GerenciadelTalentoHumano,NegociosInternacionalesenlaUniversidadCentraldelEcuador,FacultaddeCienciasAdministrativas,UniversidadAutnomaDeQuitoUNAQ,UniversidaddelMardeChile,SedeEcuador y Universidad Metropolitana.Conferencista en los temas de Planificacin Estratgica, Calidad Total, GestinEmpresarial por Procesos, Liderazgo Gerencial, Desarrollo Humano Integral.EXPERIENCIAPROFESIONAL:ResponsabledelasfuncionesdeDesarrolloOrganizacionaldelaCOMANDANCIA GENERAL DE MARINA, desde el 1 de Enero de 2006, hastael 31de Diciembre del 2006.Responsable de las funciones de Desarrollo Organizacional de la CASA DE LACULTURA ECUATORIANA BENJAMN CARRIN, desde el 01 de Agosto del2007, hasta la presente fecha.3TRABAJOS DESARROLLADOS PROFESIONALMENTE EN LASDIFERENTES ORGANIZACIONES:Desarrollo,ejecucin,seguimientoymejoramientodelosprocesosdePlanificacinEstratgica,Gerencia deCalidadTotal,GestinEmpresarialporProcesos, Proyectos y Auditora de Gestin.Asesoras Tcnicas Administrativas.ANIVEL DE AUTOEDUCACION:Tcnicas y Herramientas Gerenciales de Actualidad.Correo: ingmarysaltos@hotmail.comBlog: http://matefinancieraucfe.blogspot.com/Telfono: 094511836Profesor Alterno del rea:Nombre:Bibliografa:- Texto Bsico:MORAZAMBRANO,Armando 2009, MatemticasFinancieras. EnfoqueEdiciones. Grupo GUA, Tercera Edicin.- Textos complementarios:ALVAREZ, Alberto 1999.Matemticas Financiera, Segunda edicinAYRES,FrankJr.2003, MatemticasFinancierasTeoray500problemasresueltos, McGraw-Hill,DAZMATA,Alfredo.1999.MatemticasFinancieras, McGrawHill,Tercera EdicinHERNNDEZHERNNDEZ,Abraham2002 MatemticasFinancieras,Thomson Learning, Quinta edicinVIDAURRIAGUIRRE,HctorManuel2004. MatemticasFinancieras.Mxico Editorial Ecafsa Thomson Learning, Tercera Edicin.4Vinculacin Con Competencias Anteriores.Parainiciarelestudiodebestenerconocimientodelascuatrooperacionesfundamentales- Suma, resta, multiplicacin y divisin- Elementos de lgebraPor eso, te sugerimos que repases los textos que tienes, caso contrario recurrea lasbibliotecas quepueden serde granayudaoadquirelos. Eso ser muytil,obtendrs mayor habilidad en el manejo de las destrezas para desarrollarproblemas.Orientaciones Generales:Qu utilidad tiene la Matemtica Financiera?El dinero es una mercanca que cambia de valor con el paso del tiempo; debidoalainflacinpierdevalor,perosiseinvierteinteligentementeproducemsdinero. Por otro lado, nuestra economa actual est basada en el crdito, factordeterminanteparaeldesarrollodelpasyelcualtenemosquesabermanejarde manera apropiada. Con el fin de tomar una decisin financiera correcta, esnecesariotomarencuentaelvalordeldineroeneltiempo,portalmotivo,elestudiodelamatemticafinanciera noscapacitaparaelaborarmodelosmatemticos que permitan resolver de una manera ms racional los problemasfinancieros que se nos presenten en la vida diaria.Dentrodelmundodelosnegocios,teenfrentarsmuchasocasionesatomardecisiones que involucran la inversin adecuada de los recursos disponibles oaladisponibilidaddelosmismosporlotantoesnecesarioquecuentesconconocimientos que involucran a la Matemtica FinancieraCOMPETENCIA SEMANAS CONTENIDO TRABAJO AUTNOMO RECURSOSI UNIDAD: AMORTIZACIONES, DEPRECIACIONES Y AGOTAMIENTO1AMORTIZACIONESa. Definicionesb. Elaboracin de tablas deamortizacin gradualc. Reconstruccin de tablas deamortizacin gradual8 EJERCICIOS DE APLICACININVESTIGAR EN SU TEXTOGUIA EL TEMAPROPUESTO2d. Clculo dereajustes de las tablaspor variacin en la tasa de intersen los endeudamientos poramortizacin graduale. Clculo de los derechos delacreedor y deudorf. Elaboracin de tablas de valorfuturog. Reconstruccin de tablas de valorfuturo o de fondos de amortizacin.INVESTIGAR EN SU TEXTOGUIA EL TEMAPROPUESTO3DEPRECIACIONES YAGOTAMIENTOa. Conceptos y definicionesb. Mtodo de lnea rectac. Mtodo de la suma de dgitos 10 EJERCICIO DE APLICACINREVISAR EL ANEXO 14d. Mtodo de la tasa fijae. Mtodo del fondo de amortizacinf. Agotamiento y su clculo.REVISAR EL ANEXO 11II UNIDAD: VALOR ACTUAL NETO (VAN), TASA INTERNA DE RETORNO (TIR),PERIODO DE RECUPERACIN (PAY BACK) Y TASA REAL5, 6VAN, TIR, PAY BACK Y TASA REALa. Valor Actual Neto (VAN)b. Tasa Interna de Retorno (TIR)7 EJERCICIOS DE APLICACINREVISAR EL ANEXO 27,8c. Periodo de recuperacin (Payback)d. Tasa de Inters RealREVISAR EL ANEXO 2Semana 9 :Entrega de Evaluacin a Distancia (Trabajos Autnomos)Examen (producto integrador) primer hemisemestreIII UNIDAD: DOCUMENTOS FINANCIEROS Y BONOS8, 9DOCUMENTOS FINANCIEROSa. Sistema Financierob. Mercado de Valoresc. Principales documentos financierosd. Preciodelosdocumentosfinancieros8 ACTIVIDAD DE APLICACININVESTIGAR EN SU TEXTOGUIA EL TEMAPROPUESTO10, 11BONOSa. Definicionesb. Clculo del precio de un bonoc. Clculodelpreciodeunbonoenfecha de pago de cupnREVISAR EL ANEXO 312, 13d. Clculodelprecio deunbonoentre fechas de pago de cupne. Clculo del inters redituablef. Clculodelrendimientodeinversin en bonosREVISAR EL ANEXO 32IV UNIDAD: MATEMTICA APLICADAA LAS PROBABILIDADES14, 15, 16MATEMTICAAPLICADAALASPROBABILIDADESa. Definicionesb. Probabilidades Matemticasc. Probabilidades estadsticas6 EJERCICIOS DE APLICACINREVISAR EL ANEXO 417, 18d. Esperanza Matemticae. Valoractualdeunpagocontingentef. Tablas de MortalidadREVISAR EL ANEXO 4Semana 19: Entrega de Evaluacin a Distancia (Trabajos Autnomos)Examen (producto integrador) fin de semestreSemana 21 : Examen (producto integrador de la asignatura) de recuperacinOrientaciones para el desarrollo de los trabajos autnomos:Las orientaciones son instrucciones que te ayudan al correcto desarrollo de lasactividades.Seorestudianteparaunmejoraprovechamientodetuaprendizaje,procuraseguir las siguientes orientaciones:- Debes fundamentar tu estudio en el texto gua, de ser necesario al finalde cada captulo encontraras,ejerciciosyproblemas,resuelve algunos,considera aquellos que se presentan con ciertogrado de dificultad; paraquepuedasobjetivizarlaforma deaplicarlosconocimientosadquiridosen situaciones de la vida real.- Cada captulo iniciacon el objetivo general, explicaciones o definicionessobreeltemaatratarse,ejerciciosresueltosqueesprecisoquelosexaminesyejerciciospropuestos,queterecomendamosresolverlaspara evaluarte la comprensin hasta ese tema.- Eltrabajoautnomodebepresentarseenformamanuscritaaesferogrficootinta,peronuncaconlpiz;enpapelcuadriculadoyenuna sola cara de la hoja.- Laresolucindeejerciciosoproblemasnumricosqueseincluyanenlostrabajosquedebes entregarparalaevaluacincorrespondiente,CONTENDRTODOELPROCESODECLCULOas:enunciadodelejercicio, planteamiento, frmulasy simbologa, sustitucin numrica desmbolos,tablasygrficos,resueltosconinterpretacin(sisesolicita)quecorrespondaalasinquietudesformuladasenelenunciadodelejercicio.- Debespresentardostrabajosduranteelsemestre,consultalasfechasenquehayqueentregarparalaplanificacinypreparacindemateriales.- Sitienesdudaseneldesarrollodelos contenidosacudealTutor,depreferenciaaliniciodelsemestre,paraqueseanabsueltaspaulatinamente y no en fechas prximas a la entrega de la evaluacin adistancia o en vsperas de los exmenes.- Si encuentras alguna dificultad en la comprensin de cierto tema y luegoderealizartusesfuerzosnocomprendes,noolvidesquetututorestdispuesto a ayudarte.1TrabajoAutnomo 1Unidad I y Unidad II- Parapodermanteneruncontactomsdirectoysolventarcualquierinquietud,porfavorcomuncateconeltutoralcorreoelectrnicosealadoenlapgina3delaguadidctica,detallandoenASUNTO:ALUMNOMODALIDADADISTANCIA,estacomunicacinpermitirestructurareldirectoriodelosalumnos,conelpropsitoderealizarelseguimiento en cuanto al aprendizaje.- Los resultados de esta evaluacin debes hacerlas llegar a tu profesor enla fecha indicada en una carpeta de cartn color celeste.- El TRABAJOAUTNOMO deberserrealizadaamanoenhojascuadriculadas,debesemplearunasolacarilla,utilizaresferogrficodecolor azul o negro.UNIDAD IAmortizaciones, Depreciaciones yAgotamientoAMORTIZACIONES:1. Una deuda de $ 12.000 debe amortizarse mediante 4 pagos bimestralesiguales, el primero a realizarse dentro de 2 meses, con intereses a 4%bimestral sobre saldos insolutos. Calcular:a) El importe de cada uno de los pagosb) Construir la tabla de amortizacin correspondiente2. Unaparejaderecincasadosadquiereunacasaencondominiosquecuesta $160.000.Paganunenganche de $50.000y acuerdan pagar elrestocon24mensualidadesigualescon24%deintersconvertiblemensualmente.Hagaunatabladeamortizacinquemuestrelosdosprimeros y los dos ltimos meses de la operacin.3. Determineelnmerodepagosnecesariosparaamortizartotalmentelacompra a crdito de un automvil que cuesta $ 198.000 y se vende conun enganche de 40% y el resto a pagar en mensualidades vencidas de $5.592,33 con inters a 12% anual convertible mensualmente.4. Unadeudade$10.000sehabrdeamortizarmediante5pagosmensualesvencidos,losdosprimerospor$1.600yelterceroycuartopor $ 2.300. Calcule el importe del quinto pago para saldar totalmente ladeuda si la operacin se pact a 26% anual convertible mensualmente.25. Si Valeria contrae una deuda por $ 25.000 y conviene en liquidarla con 5pagosbimestralesde$5.180,elprimeropagaderodentrode2meses,Cul es la tasa nominal capitalizable bimestralmente, que se le carga?6. Un electrodomstico tiene el precio en lista de $ 750 se lo puede adquirirmediantecuotasmensualesaunatasadeintersdel12,5%anualcapitalizable mensualmente, financiando el 75% a 24 meses plazo.,.a) Calcularlosderechosdelacreedorylosderechosdeldeudorluego de haber pagado la 20 cuotab) Construya la tabla de amortizacin para los 4 ltimos perodos7. ERMMS.A.deseaacumularunfondoparareposicindeunamquinaporelvalorde$45.000durante10aosenunainstitucinfinancieraquelereconoceunatasadeintersdel11,55%anualcapitalizablemensualmente.Calcularelvalordeldepsitomensualyreconstruyalatabladevalorfuturoodefondosdeamortizacinparalosltimos6periodos.8. Sedesea acumularunfondode$40.000durante4aosmediantedepsitossemestralesenunainstitucinfinanciera quereconoceuninters del 22% anual convertible semestralmente: Calculara) El valor del depsito semestralb) El valor acumulado luego del depsito nmero 3 yc) El saldo insoluto luego del depsito.DEPRECIACIONES:METODO LINEAL1.- Unacompaacomprunamquinaqueescapazdeproducir500.000unidades antes de ser reemplazada por otra la mquina costo $ 145.000 y tieneun valor de salvamento de 10% de su costo. Calcula la depreciacin totaly ladepreciacin por unidad producida. Elabora una tabla de depreciacin sabiendoque la produccin durante 5 aos de operacin fue de la siguiente manera:Ao Produccin1 80.0002 100.0003 150.0004 105.0005 65.0002.- Calculaladepreciacinanualdeunautomvilquecuesta$54.000,considerando una vida tilde 3 aos y un valor de salvamento igual a 15% delcosto del automvil. Elabora una tabla dedepreciacin y obtn en que tiempoel valor en libros es igual a la depreciacin acumulada.3MTODO DE LA SUMA DE DGITOS3.- Unedificiodeoficinascuesta$800.000yseleestimaunavidatilde35aossinvalordesalvamento.Determinarladepreciacinanualparalosprimeros 4 aos y para los ltimos 3 aos.4.- Unescritorcomprunamquinaprocesadoradepalabrasen$6.000seesperaquedure4aos,despusdeesetiemposevolverobsoletayseobtendr por ella $ 600; elabora la tabla de depreciacin.MTODO DEL PORCENTAJE FIJO5.- Secomprunamquinacuyocostofuede$280.000yselecalculaunvalordedesechode$30.700silamquinasedepreciaenun22%anual.Cul es su vida til?6.- Se ha adquirido un equipo de autoedicin a un precio de $ 45.000, con unavidaestimadade5aosyunvalorestimadoen5%sobreelpreciodecompras.Calculalatasafijadedepreciacinanualyelaboralatabladedepreciacin.MTODO DEL FONDO DE AMORTIZACIN7.-Unaempresaembotelladoraderefrescoscompr10camionesparaelreparto de los refrescos a las tiendas de autoservicio, a un costo de $ 850.000a los camiones se les estima una vida til de 8 aos y un valor de desecho decero.Calcula la depreciacin acumulada y el valor en libros al cabo de 5 aos.Considera que los depsitos anuales se invierten en un fondo al 16,5%.8.- Unaescuelaadquiereequipodecmputoconvalor$90.000suvidatilesperadaesde 4aosy su valorde desechode$ 1.000. Elabora la tabladedepreciacin, considerando una tasa de inters de 9%.AGOTAMIENTO9.- Unpozopetroleropuedellegaraproducirunrendimientoanualde$200millones,durantelosprximos15aos,agotndosealtrminodedichoperodo. Determina el precio de compra o inversin que proporcione un 8% derendimiento, si el fondo de reembolso gana el 6% efectivo.10.- Seestimaqueunaminadecobreproducirunrendimientoanualde$95.000durantelosprximos20aos,quedandosinvaloraltrminode dichoperodo si el fondo de reembolso gana el 6.5% efectivo, encuentra el precio decompra que proporcione un rendimiento de 8%4UNIDAD IIValor Actual Neto (VAN), tasa interna deretorno (TIR), Periodo de recuperacin(PAY BACK) y Tasa real1. Indique los conceptos de:Proyectos convencionales,Proyectos mutuamente excluyentes,Costo de oportunidad,Costo de capital,VAN (Valor Neto Valor Presente Neto),TIR (Tasa Interna de Rentabilidad Tasa Interna de Retorno),Payback (Periodo de recuperacin de la inversin)Payback Contable,Payback Descontado,Relacin Beneficio CostoTasa Real.2. JYKASS.A.estanalizandounproyectodeinversinconuncostodecapitaldel9,76% a.c.s yelsiguientepatrndeflujosdeefectivoesperados.Ao 0 1 2 3 4 5Flujodeefectivo(en miles de $)-100 25 50 50 25 10a) Calcule el VAN. Debe aceptar el proyecto?b) Calcule el TIR. Debe aceptar el proyecto?c) Calcule el PAYBACK descontado. Debe aceptar el proyecto?3. A uninversionista selepresenta dosproyectos alternativos Ay B, conlos siguientes flujos de efectivo al final de cada ao.Ao 1 2 3 4Proyecto A $80.000 $70.000 $60.000 $35.000Proyecto B $30.000 $40.000 $40.000 $150.000Cadaproyectorequiereunainversinde$200.000.Culproyectoseescogera si:a) La tasa es del 6% anualb) La tasa es del 8,75% anualCalcular lo siguiente:5a) Calcule el VAN. Debe aceptar el proyecto?b) Calcule el TIR. Debe aceptar el proyecto?c) Calcule el PAYBACK descontado. Debe aceptar el proyecto?4. Conelaportelogradodelainvestigacindelnumeral1delTrabajoAutnomo Unidad II, resolver lo siguiente:Mayesa S.A. est considerando dos proyectos de inversin mutuamenteexcluyentesconuncostodecapitaldel14%ylossiguientesflujosdefondos esperados:Ao 0 1 2 3 4 5Flujodeefectivo(enmiles de $)-100 30 40 50 40 30Flujodeefectivo(enmiles de $)-150 45 60 75 60 60Culproyectodebeemprender,siesquehayalguno?Justifiquesurespuesta5. Uninversionistadeseaincursionarenunproyectoenelcualdebeinvertir $ 125.000; adems presenta el siguiente flujo de fondos para losprximos 5 aos.Ao 1 2 3 4 5Ventas 40.000 42.000 45.000 48.000 50.000Costo de operacin 8.250 8.500 8.600 8.700 8.800Depreciacin anual 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000a) Determinesilesconvieneonoinvertir:apliquelosmtodosdelVANyelTIRensuanlisis.Considereelcostodeoportunidaddel 12% efectivo.b) Determine el Payback Descontado.6. Yesennyahainvertido $ 7.200aunatasadel13,8%a.c.m. Culeslatasa real que gana si la inflacin promedio anual es 6,3%. Cunto ganao pierde?7. Determine la tasa efectiva que se gana en un pas donde la inflacin esdel 15% anual si la tasa real es 2%. Si se invirti $ 8.000. Cunto ganao pierde?6Trabajo Autnomo 2Unidad III y Unidad VIUNIDAD IIIDocumentos Financieros y Bonos1. Desarrollar lo siguiente:a) Estructurar un mapa conceptual con la informacin relacionada con elSistema Financiero y Mercado de Valoresb) Delaclasificacindelosdocumentosderentafija, establecerlasdefiniciones de cada una.2. Elaborar una sntesis de todo lo relacionado con el anexo 33. Unbonode$1.000quepaga12%a.c.m.,seredimealaparen10aos. Calcule el precio de compra para que rinda el 10,25% anual.4. Unbonode$5.000 a 108%,quesevenceel1deoctubredel 2006,tiene cupones semestrales a 10,5%. Calcule el precio de compra el 1 deabril del 2005, para producir un 9,5% a.c.s..5. Un bono de $ 1000, redimible a la par el 1 de diciembre del 2007, pagacupones semestrales al 9% a.c.s. El bono fue adquirido el 1 de junio del2005.Elrendimientodeseadoesel8%a.c.s.Calculeelpreciodecompra, y elabore la tabla que muestre el valor en libros del bono.6. Un bono de $ 10.000 al 8% Marzo-Septiembre (M,S), redimible a la parel 20 de septiembre del ao 2007, se puede negociar el 15 de junio del2000 a las siguientes tasas:a) 6,5% anual capitalizable semestralmenteb) 7% anual capitalizable semestralmentec) 7,5% anual capitalizable semestralmenteCalcularelpreciodelbono limpio paracadaalternativay expreseparacada negociacin si es con premio, a la par, o con castigo.7. Calcular el valor de redencin, el nmero de cupones y el valor de cadacupndeunbonode$100.000,12%(20enero 20Julio=EJ),7suscritoel20deenerodel2002,redimiblealaparel20deenerodel2009.8. Unbonode1.000quepagael5%semestral,redimiblealaparen10aos. Calcule el precio de compra para que rinda el 8,25% anual.9. Un bono de $ 1.000, redimible a la par el 1 de diciembre del 2007, pagacupones semestrales al 9% a.c.s. El bono fue adquirido el 1 de junio del2005.Elrendimientodeseadoesel8%a.c.s.Calculeelpreciodecompra, y elabore la tabla que muestre el valor en libros del bono.10.Calcule la TIR de un bono de $1.000, 7% EJ, redimible a la par el 1dejuliodel2018,ycuyacomprasellevaacaboel19de octubrede 2002 con cotizacin de 93.60?.UNIDAD IVMatemtica Aplicadaa lasProbabilidades1. De una caja que contiene 5 bolas blancas, 10 bolas rojas y 6 azules, seextrae una bola al azar Cul es la probabilidad de que la bola extrada,a) sea blancab) no sea rojac) sea blanca o azul2. Cul es la probabilidad de extraer una barajaa) 4 ases en las primeras 4 extraccionesb) 3 ases y un reyc) 2 ases y 2 reyes3. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% soneconomistas. El75%delosingenieros ocupanun puesto directivoy el50%deloseconomistastambin,mientrasquelosnoingenierosylosnoeconomistassolamenteel 20%ocupaunpuestodirectivo.Culeslaprobabilidaddequeunempleadodirectivoelegidoalazarseaingeniero?4. Considerando los siguientes datos:EDAD PROBABILIDAD DESOBREVIVIR 10 AOS30 9/1040 8/10850 7/10Determnese:a) La probabilidad de que una persona de 30 aos viva hasta los 60b) La probabilidad de que muera entre los 40 y los 50 aosc) La probabilidad de que muera entre los 50 y los 60 aos5. Una persona organiza un sorteo para sus 25 clientes principales. En unaurnadepositan25papeletas conlossiguientespremios:1premiosde$50.000,1premiode$10.000,2premiosde$5.000cadaunoy5premiosde$1.000cadauno.Culeslaesperanzamatemticadecada participante?6. Calcularcontrescifrasdecimaleslaprobabilidadqueunapersonaqueahora tienePARA HOMBRESa) 30 aos viva por lo menos un aob) 65 aos muera dentro de un aoc) 40 aos muera dentro de los prximos 35 aosPARA MUJERESd) 25 aos viva 40 aos y muera dentro del ao siguientee) 20 aos viva a la edad de 65f) 30 aos muera a los 66 aos.NOTA:UtilicelasTablasdeMortalidadGeneral, dehombresymujeresao2.000, elaboradas porLogaritmo CIA. LTDA. Enmayo,junioyjuliodel2.001, publicadaenelRegistroOficialNo.650del28 de agosto del 2002, Instituto Ecuatoriano de Seguridad Social.9Forma de Evaluacin:Elestudiantedeeducacinadistanciadeberresolverlos ejerciciosqueseindican como:Trabajo Autnomo IAutnomos Unidad I y Unidad IITrabajo Autnomo IIUnidad III y Unidad VI)Estostrabajosautnomosdebernserentregados enlaoficinadeCoordinacin Acadmica de Educacin a Distancia, en la fecha indicada en elcalendario de actividades segn el curso. La calificacin ser sobre dos puntoscada trabajo.Adems deber rendir dos exmenes presenciales uno a la mitad y otro al finaldelsemestreconloscontenidosrespectivos,enlasfechasestablecidasenhorariosqueseindicaenelcalendariodeactividadessegnelcurso,cadaexamen tiene el puntaje de tres puntosElpuntajemnimo paraaprobacinesde7/10.yde6/10parapresentarunexamensupletorioacumulativoimpostergableenfechasealadaporCoordinacinAcadmicadeEducacinaDistanciaenelcualdeberobtenermnimo 7/10 para aprobacin.de cada materia.10Desarrollo de Contenidos:Tabla de Contenidos de los ANEXOSDEPRECIACIN Y AGOTAMIENTO (ANEXO1) 11MTODO LINEAL 11MTODO DE LA SUMA DE DGITOS 14MTODO DE PORCENTAJE FIJO 16MTODO DEL FONDO DE AMORTIZACIN 19AGOTAMIENTO 22Glosario de Trminos 22Autoevaluacin 24VALOR ACTUAL NETO (VAN), TASA INTERNA DE RETORNO (TIR),PERIODO DE RECUPERACIN (PAY BACK) Y TASA REAL(ANEXO2) 25VALOR ACTUAL NETO (VAN)TASA INTERNA DE RETORNO ( TIR O RENTABILIDAD ) 27PAYBACK 29TASA DE INTERS REAL 30Glosario de Trminos 31Autoevaluacin 32BONOS (ANEXO 3) 33DEFINICIONES 33PRECIO DEL BONO A UNA FECHA DE PAGO DEINTERESES O CUPN 35VALOR EN LIBROS DE UN BONO 36PRECIO DEL BONO COMPRADO ENTRE FECHA DE PAGO DEINTERESES O CUPN 37INTERS REDITUABLE DE UN BONO IR 40RENDIMIENTO DE LAS INVERSIONES EN BONOS 40Glosario de Trminos 43Autoevaluacin 44MATEMTICAAPLICADAALASPROBABILIDADES(ANEXO 4) 45PROBABILIDAD MATEMTICA 45PROBABILIDAD ESTADSTICA 50ESPERANZAMATEMTICA 52VALOR ACTUAL DE UN PAGO CONTINGENTE 54TABLAS DE MORTALIDAD 56Glosario de Trminos 6011Autoevaluacin 60Respuestas Autoevaluacin 61(ANEXO1)Correspondencia a la Unidad y Semana:UNIDADI, SEMANA No. 3, 4Ttulo del Tema:DEPRECIACIN Y AGOTAMIENTOIntroduccin:Desarrollo:Despus de una breve explicacin de cada mtodo, encontrars ejemplos quete permitirn comprender de mejor manera como se construyen y reconstruyenlastablasdedepreciacindelosmtodosdelnearecta,desuma dedgitos,detasafijaydefondodeamortizacin,paraesto,tendrsqueleerlos2o3veces,analizarlosyposteriormenteresolverlostusolosinmirarlasolucindada,estoasegurarquehasentendidoportimismo.Notedesanimessinopuedes resolver un problema dado, se requiere esfuerzo y mucha prctica paraadquirirhabilidadpararesolverproblemasaplicados,porloqueintentahastaconseguirlo.Entoncespodrsseguirejercitndote,conlosejerciciosqueseproponen al final del presente bloque.MTODO LINEALEstemtodotieneporfundamentoponercadaao,durantetodalavidadelactivo fijo tangible, una parte igual al valor de uso del mismo. Con este sistema,al final de la vida del activo, el saldo de la depreciacin acumulada ser igual alvalor de uso.Se llama as porque la cantidad que se deprecia es la misma en todos y cadauno de los aos de vida til, o igual en cada unidad producida u hora-maquinautilizada.Clculo del Cargo anualHemosdefinidoalvalordeusoobaseadepreciarcomoelcostoinicialdelactivo menos el valor de desecho o salvamento.S C DT =12Donde: DT = valor en usoC =costo inicial del activoS= valor de salvamentoSilavidaprobabledelactivoesde n aos,lacantidadquedebesepararsecada ao ser: 1/n del valor de uso:, ) S C n D = / 1nS CD=nDTD =Donde: D = Cargo peridico de depreciacin acumulada.Existe varios mtodo paradeterminar el cargo anual por depreciacin.Notacibn a utilizarse.C = Costo original del activoS = Valor de Salvamento (S puede ser negativo)n = Vida til del activo calculado en aosB = C S = Base de depreciacin del activoK = Cualquier ao de la Vida til del activo: ( 0s K s n)Dk = Cargo por depreciacin en el ao KAk = Depreciacin acumulada al final del ao KAo = o An = BVk = Valor en libros al final del ao KVo = C Vn = Sdk = Tasa de depreciacin en el ao K) . . ( K de ntemente independie DnBnS CDk = ==AK =KD vk = C . KDEjemplo:IndustriasEMMadquiereunamaquinariatextilenunvalorde55.000dlares.Deacuerdocondatosdelfabricantetendrunavidatilde6aosantesquedeba ser reemplazado por un equipo ms moderno; su valor de salvamento secalcula en 4.000 dlares. Calcular.a. La depreciacin anual por el mtodo linealb. Elaborar la tabla de depreciacinSolucin:13dlares DnS CDk 500 . 86000 . 4 000 . 55== ==La depreciacin anual ser de 8.500 dlares, cantidad que se incrementar enel fondo de reserva para depreciar y disminuir en el valor en libros del activo.Esto se refleja en la siguiente tabla de depreciacin.TABLA DE DEPRECIACINAOS DEP. ANUAL DEP. ACUM VALOR EN LIBROSn Dk Ak Vk0 - - 55.0001 8.500 8.500 46.5002 8.500 17.000 38.0003 8.500 25.500 29.5004 8.500 34.000 21.0005 8.500 42.500 12.5006 8.500 55.000 4.000Ejemplo:Una compaa de transporte compra el 1rode enero del 2001 diez vehculos. Elvalor de cada uno de ellos es de $ 20.000. Se estima la vida probable de cadauno de estos vehculos en 5 aos y el valor de rescate el 10% del costo inicial.Seaveriguaelcargoanualdedepreciacin,elvaloracumuladoyelvalordelibros lquido para todos los aos que dure la vida del activo.Datos:C = 20.000 X (10 vehculos) ) 200.000S = 10% del valor total (200.000) = 20.000n = 5 aos==nS CD 000 . 365000 . 20 000 . 200== DCuadro de valoresTiempoFechaCargoAnualDepreciacinacumuladaValor enlibros01-01-2001 200.00031-12-2001 36.000 36.000 164.00031-12-2002 36.000 72.000 128.00031-12-2003 36.000 108.000 92.00031-12-2004 36.000 144.000 56.00031-12-2005 36.000 180.000 20.000Total 180.00014Delestudiodelcuadrodevaloressedesprendequeelcargoanualparadepreciacinconstanteelvaloracumuladovaincrementndoseformandounaprogresinaritmticahastallegaralvalorresidual.Lasumadeloscargosanuales ser igual al valor de uso.Ventajas y desventajas del Mtodo de LneaRecta.Dentrodelasventajasdelaaplicacindeestemtodopodremoscitarlasimplicidadyfacilidaddeclculo,loquedeterminaqueseaelmtodomsusado en la prctica.Enloqueserefierealaaplicacindelasunidadesdetiempoodetrabajo,tenemoscomoventaja,quenospermitelaaplicacindeuncargodedepreciacinmuchomsexactoporcuantoyanosetrabajaconunvalorestimado sino con un valor real.Comodesventaja,deestaaplicacin,tenemosquecuandolosactivosestnsinusonotendranvalordedepreciacin,loqueresultaporcuanto sedeprecian por el uso y por el paso del tiempo.Otra desventaja es que no se consideran los intereses no de amortizacin ni deinversin.Adems,elcargoanualconstanteesotradesventajayaquelosgastospordepreciacinymantenimientosernelevadosenlosltimosaoscuandoelactivofijotengaunrendimientomenorporefectosdedesgaste,reduciendo de esta manera su productividad.MTODO DE LA SUMA DE DGITOSEstemtodotienelaparticularidadqueparalosprimerosaoselcargoanualpara ladepreciacinesmayorqueparalosltimosaos.Paraencontrarelcargoanual se multiplica el valordeusopor una fraccin que se la determinade la siguiente manera: se suman los dgitos del nmero de aos sucesivos delavidaestimadadelactivoy estasumaconstituyeeldenominador.Comonumeradordelafraccin,alltimodelosdgitosesparaelprimerao,alpenltimo para el segundo y as por adelante.Pongamos la vida estimada de un activo fijo tangible en 5 aos.1+2+3+4+5 = 15 Denominador o Fraccin (F)Primer ao: 5/15 Segundo ao:4/15 Tercer ao:3/15Cuarto ao: 2/15 Quinto ao: 1/15La suma de todos estos valores ser igual a la unidad que representa el valorde uso del activo tangible:155/15 + 4/15 + 3/15 + 2/15 + 1/15 = 1Apliquemos este mtodo para el caso de la Compaa de Transportes, con lossiguientes datos adicionales:C = 200.000 S = 20.000 DT = 180.000 n = 5Los cargos anuales a aplicarse sern:Primer ao: 5/15 de 180.000 =60.000Segundo ao: 4/15 de 180.000 =48.000Tercer ao: 3/15 de 180.000 =36.000Cuarto ao: 2/15 de 180.000 =24.000Quinto ao: 1/15 de 180.000 =12.000 180.000Cuadro de valoresTiempofechaFraccin oCoeficienteDepreciacinAnualDepreciacinacumuladaValor enlibros01-01-2001 200.00031-12-2001 5/15 60.000 60.000 140.00031-12-2002 4/15 48.000 108.000 92.00031-12-2003 3/15 36.000 144.000 56.00031-12-2004 2/15 24.000 168.000 32.00031-12-2005 1/15 12.000 180.000 20.000Total 1 180.000Otro procedimiento para resolver el MTODO DE SUMA DE DGITOS.S =, )21 + n nS = suma de dgitosB = C S n = vida til en aosD1 =Sn(C S) Depreciacin ao 1Dk =Sk n 1 + (C S) Frmula para calcular la depreciacinde cualquieraoVk = C Ak Valor en libros en cualquier aoLa depreciacin acumulada Ak se obtiene multiplicando la base dedepreciacin B por la suma de las fracciones acumuladas hasta ese ao.Ejemplo:DELTEXS.A.comprmaquinariaporunvalorde35.000dlares.Seestimaquesuvidatilserde6aosyquetendrunvalordedesechode5.000dlares. Elaborar la tabla de depreciacin por el mtodo de suma de dgitos.16Solucin: Se determina la base de depreciacin.B = C SB = 35.000 5.000 = 30.000 dlares Calculamos el denominador de la fraccin (suma de dgitos)S =, )21 + n nS =, )2124221 6 6= =+ Determinamos los numeradores de la fraccin.Ao 1 2 3 4 5 6Numerador 6 5 4 3 2 1Fraccin 6/21 5/21 4/21 3/21 2/21 1/21( =21/21=1) Hallamos el cargo por depreciacin de cada aoTABLA DEDEPRECIACINAOS FRACCIN BASE DEDEP.DEP.ANUALDEP.ACUMULADV/LIBROS0 35.000,001 6/21 30.000 8.571,43 8.571,43 26.428,572 5/21 30.000 7.142,86 15.714,29 19.285,713 4/21 30.000 5.714,29 21.428,58 13.571,424 3/21 30.000 4.285,71 25.714,29 9.285,715 2/21 30.000 2.857,14 29.571,43 6.428,576 1/21 30.000 1.428,57 30.000,00 5.000,00MTODO DE PORCENTAJE FIJOEste mtodo tiene como fundamento la bsqueda de un tanto por ciento que seaplica al valor en libros lquido para determinar el cargo anual de depreciacinpara el prximo perodo.Con este sistema tendremos que el cargo anual para la depreciacin ser cadavez menor por cuanto el valor lquido en libros es decreciente.La forma de obtencin del coeficiente de depreciacin es semejante al aplicadoparael clculo del inters compuesto con la soladiferenciaqueelproceso seinvierte ya que, mientras en el inters compuesto, la capitalizacin es crecienteen la depreciacin es decreciente.La frmula para determinar el coeficiente de depreciacin (d) es:17Elcoeficientedepreciacinesiguala1menoslarazensimadelvalordesalvamento sobre el costo inicial del activo.Podemos calcular, por el mtodo de porcentaje fijo, el ejemplo anterior:Datos:C = 200.000 S = 20.000 n = 5 aosAplicandoestecoeficientealosdiversosvaloresenlibros,obtendremoselcargo anual para el prximo perodo.Cuadro de valoresElvalormatemticoparaelltimoaoesenrealidadUS.$11.697,98loquedetermina una diferencia de US.$0,42 con el valor que se carga como gasto dedepreciacinparaeseao.Esteerrorobedeceaquetrabajamosconel36,904% y no con el de 36,9043%CONCLUSIONESSianalizamoselcuadrodevaloresenelproblemaanterior,veremoscmoladepreciacin es decreciente, lo que facilita en las empresas el establecimientodeunequilibrioentrelosgastosdemantenimientoque,comosabemos,soncrecientes.Laaplicacindestemtododarcomoresultadounacompensacin entre uno y otro.TiempofechaCargo Anual 36,904% DepreciacinacumuladaValor enLibros01-01-2001 200.000,0031-12-2001 200.000,00 (0,36904) = 73.808,00 73.808,00 126.192,0031-12-2002 126.192,00 (0,36904) = 46.569,90 120.377,90 79.622,1031-12-2003 79.622,10 (0,36904) = 29.383,74 149.761,64 50.238,3631-12-2004 50.238,36 (0,36904) = 18.539,96 168.301,60 31.698,4031-12-2005 31.698,40 (0,36904) = 11.698,40 180.000,00 20.000,00Total 180.000,00nCSd =1551 . 0 1000 . 200000 . 201 = = d% 904 , 36 36904 , 0 63096 , 0 1 = = = dnCSd =118Otro factor preponderante a considerar en este mtodo es que permite unarpida recuperacin del capital de inversin, lo que a su vez puede determinaruna fuente de fondos para el planeamiento de actividades de expansin.Por otra parte, el alto porcentaje podra considerarse como desventajoso yaque acarrea la disminucin de ganancias para los accionistas en los primerosaos.Desde el punto de vista legal, puede aplicarse ste mtodo siempre y cuandose demuestre su necesidad.Existe otro procedimiento para el MTODO DE PORCENTAJE FIJODk = Vk 1d Depreciacin en cualquier ao KVk = C ( 1 d ) Valor en libros al final del ao KS = C ( 1 d )n= V n Valor de salvamentoCuando S es igual a cero, para el clculo tomar S = 1Ejemplo:La empresa XY adquiri una maquinaria para optimizar su produccin en unvalor de 130.000 dlares. Se calcula que su vida til ser de 6 aos y que sufinal tendr un valor de salvamento de 15.000 dlares.a. Calcular la tasa de depreciacin d que debe aplicarseb. Elaborar la tabla de depreciacin.Solucin:a. Clculo de la tasa de depreciacin (d)Datos:C = 130.000 dlares , )nd C S = 1n = 6 aos , )61 000 . 130 000 . 15 d =S = 15.000 dlares , )000 . 130000 . 1516= dd =? , )61000 . 130000 . 151

|

\|= d, ) 1 115384615 , 0 61 = d% 2264 , 30100 * 3022637 , 0==ddEl porcentaje de 30,2264% se aplicar para calcular la depreciacin.b. Elaboramos la tabla de depreciacin19TABLA DE DEPRECIACINAOS DEP.ANUALDEP.ACUMVALOR ENLIBROS% de Dep.0 - - 130.000,00 0,3022640,3022640,3022640,3022640,3022640,3022641 39.294,32 39.294,32 90.705,682 27.417,06 66.711,38 63.288,623 19.129,87 85.841,25 44.158,754 13.347,60 99.188,85 30.811,155 9.313,10 108.501,95 21.498,056 6.498,09 115.000,00 15.000,00La diferencia de 0,04 se debe al redondeo. Cuando esto sucede como en elpresente caso, ajustamos en el ltimo cargo por depreciacin:Depreciacin anual del 6toao = 6.498,05 dlaresMTODO DEL FONDO DE AMORTIZACINEn este mtodo consideramos que la depreciacin acumulada gana un intersdeterminado,convirtindoseenunfondodeamortizacin.Esteintersdisminuye el valor anual, por lo que el gasto de depreciacin total ser menor yse completar con los respectivos intereses.Para calcular el cargo anual aplicamos el mismo criterio de las anualidadesvencidas de imposicin cuyo capital constituye el valor de uso del activo fijotangible.Ejemplo:CalcularporelmtododelfondodeamortizacinladepreciacinparalaEmpresa de transportes, tomando en consideracin que el cargo anual para ladepreciacin produce el 12% anual efectivoDatos:C = 200.000 S = 20.000 i = 12% n = 5Calculamoslaanualidad,queparaladepreciacinconstituyeacargoanual;para un capital de 180.000 (valor de uso o depreciacin total)Frmula de la anualidad, ) 1 1* +=nii DTAS C DT =000 . 180 000 . 20 000 . 200 = = DT, )75 , 333 . 28762341683 , 0600 . 211 12 , 0 112 , 0 * 000 . 1805= = += A20Porlotanto,$28.333,75eslacantidadnecesariaquedebeaplicarsecomocargo de depreciacin para de esta manera en los 5 aos completar la suma de$180.000 dlares.Cuadro de valoresLa utilizacin de este mtodo permite la aplicacin de un cargo de depreciacinmuchomsbajoconrelacinatodoslosotrosmtodosestudiados.Desdeluego, la diferencia que corresponde a los intereses son aplicados como gastode intereses que es un gasto no operacional.La cuanta de los intereses es digna de tomarse en cuenta, ya que representansumas considerables as, en el ejercicio, es el21,295% del valor de uso de losvehculos.Yaanotamosanteriormentequenosiempremenorescargosanualesdedepreciacin son aconsejables en una empresa, por cuanto debemos recordarque la depreciacin es una fuente de financiamiento internopor cuanto el valorquecorrespondealgastodedepreciacinnorepresentasalidadedinerodecaja.OTRO PROCEDIMIENTO DE CLCULO PARA EL MTODO DEL FONDO DEAMORTIZACIN.Estemtodoconsidealosinteresesqueganaelfondodereservaquesevaconstituyendo,porconsiguiente,elincrementoanualestardadoporlasumadel cargo anual por depreciacin ms los interese ganados en ese perodo.La aportacin anual al fondo de amortizacin se deriva de la frmula del montode una anualidad:, )

]

+=iiR Mn1 1TiempofechaCargoAnual(depsito)IntersacumuladoDepreciacinanualDepreciacinacumuladaValor enlibros01-01-2001200.000,0031-12-200128.333,75 28.333,75 28.333,75 171.666,2531-12-200228.333,75 3.400,05 31.733,80 60.067,55 139.932,4531-12-200328.333,75 7.208,11 35.541,86 95.609,41 104.390,5931-12-200428.333,75 11.473,13 39.806,79 135.416,29 64.583,8031-12-200528.333,75 16.249,95 44.583,80 180.000,00 20.000,00Total 141.668,75 38.331,24 180.000,0021Para determinar el pago peridico se despeja, ) 1 1. +=nii MREn este caso M = B, puesto que el Monto que debe acumular al cabo de n aosa una tasa de inters iR = D, el cargo anual que debe efectuarse al fondoEntonces:, ) 1 1. +=nii BDk frmula del cargo anualY si k n =, ) 1 1. +=kii BDkPara determinar la depreciacin acumulada Ak se calcula el monto de un pagoperidico D a un plazo K y a una tasa de inters i por periodo., )Ak C VkiiDk Akk =

|

\| +=1 1Elmontoacumuladoalcabode n aosdebeserigualalabasededepreciacin del activo.Ejemplo:KOSSYIngenierosAsociadosadquieremueblesdeoficinaparaunedificiodedepartamentosyoficinasqueestaconstruyendo.Elcostodecompradelosmuebles es de 150.000 dlares y se calcula que tendr una vida til de 5 aos.La tasa de inters es del 12% anual y se estima que a su final tendr un valorde desecho de CERO.a. Determinarelcargoanualpordepreciacinutilizandoelmtodode fondo de amortizacin.b. Elaborar la tabla de depreciacin.Solucin:a. Clculo de cargo anualB = C S B = 150.000 0 = 150.000, ) 1 1. +=kii BDk, ) 1 12 , 0 112 , 0 * 000 . 1505 += Dk1 762341683 , 1000 . 18= Dk22dlares Dk 46 , 611 . 23 =La depreciacinque se debe hacer anualmente al fondo de amortizacin es de23.611,43 dlares.b. Tabla de amotizacinTABLA DE DEPRECIACINAOS DEP.ANUALINT.GANADODEP.ANUALDEP.ACUMULVALOR /LIBROS0 - - - - 150.000,001 23.611,46 0 23.611,46 23.611,46 126.388,542 23.611,46 2.833,38 26.444,84 50.056,30 99.943,703 23.611,46 6.006,76 29.618,22 79.674,52 70.325,484 23.611,46 9.560,94 33.172,40 112.846,92 37.153,085 23.611,46 13.541,63 37.153,10 150.000,02 0,02 118.057,30 31.942,71 150.000,00CONCLUSIONESLuego dehaberanalizadolosconceptosgeneralesdeladepreciacinyestudiadolosdiferentesmtodosdeclculoparaestablecerel cargodedepreciacin para un activo fijo tangible, podemos sacar varias conclusiones:1. La adopcin del mtodo de depreciacin est en funcin de varioselementos dentro de un negocio tales como el uso y abuso que sedaralactivoquesedeprecia,peligrodelacadaendesusoporefectosdenuevastecnologas,leyesfiscalesqueregulanelmtodo de utilizacin, efectos financieros en el pago del impuestoa la renta y reparto de utilidades a los trabajadores, entre otros.2. Losvaloresqueporconceptodecargodedepreciacinvanacumulndose deben ser correctamente invertidos con la finalidadde crear un fondo de reposicin de los activos en uso y que, antesdesuuso,sirvancomovaloresparapropiciarelcrecimientodelnegocio.AGOTAMIENTOTambin podemos definir como agotamiento la prdida de valor de activos, queson producto de la madre tierra o suelo de un pas, como una mina o un pozopetrolero por la extraccin gradual del metal o petrleo, de los cuales dependesu valor.Elcompradordeunodeestosactivos,lgicamentenosonlosdueosdelactivo, sino el estado, por lo que esperan recibir inters a una cierta tasa por suinversin (utilidades), y el reembolso eventual de su inversin original.23Enconsecuencia,elproductoanualdelactivodebealcanzartantoparaelintersrequeridocomoparaelfondodeamortizacin,enestecaso,llamadofondodereembolso,elcualalcanzarelvalordelainversinoriginalmenoscualquier valor de salvamento del activo en la fecha que est agotado.Ejemplo:Se estima que una mina producir un rendimiento anual de $ 25.000 durantelos prximos 20 aos, quedando sin valor al trmino de dicho perodo. Si elfondo de reembolso gana el 3.5% efectivo, encuentra el precio de compra queproporcione un rendimiento de 5%.Datos:Precio de compra = CRendimiento anual por intereses = 0,05 CDepsito anual en el fondo de reembolso = A (similar al fondo de amortizacin), ), ), ) 1 1 +=nii DTA, ), ), ) 1 1 +=nii CARendimiento anual = Inters anual + Depsito anual (fondo de reembolso)25.000 = 0,05C + A25.000 = 0,05C +, ), ), ) 1 1 +nii C25.000 = 0,05C +, ), ), ) 1 035 , 0 1035 , 020 +C25.000 = 0,05C +, ), )1 989789 , 1035 , 0C24.Autoevaluacin:VERDADERO O FALSOMarque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.AFIRMACIONES V FLadepreciacineslaprdidadevalorquesufrenlosactivos fijos (tangibles)La depreciacin real es igual a la calculada por el mtodode lnea rectaEnelmtododesumadedgitos,ladepreciacinesmenor en los primeros aos, aumentando en los ltimos.Elporcentajededepreciacinconstanteeslatasadedepreciacin.El mtodo de fondo de amortizacin considera intereses yestos se evalan con base en la depreciacin acumuladay no en el valor en libros.Unfondodeamortizacinseconsiguealrealizarpagosperidicos, los cuales ganan intereses hasta alcanzar unacantidad dada en un determinado tiempo.En elagotamiento, eldepsito enel fondode reembolsose calcula de manera similar al del fondo de amortizacin.CASAMIENTOSUna con lneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.DEFINICIONES CONCEPTOSMtodo del porcentaje o tasa fija Valor de desecho o residualValor de salvamento Depreciacin decrecienteMtodo del fondo de amortizacin Depreciacin creciente25(ANEXO 2)Correspondencia a la Unidad y Semana:UNIDADII, SEMANA No. 5, 6, 7Ttulo del Tema:VALORACTUALNETO(VAN),TASAINTERNADERETORNO(TIR),PERIODO DE RECUPERACIN (PAY BACK) Y TASA REALIntroduccin:Desarrollo:VALOR ACTUAL NETO (VAN)Tambinesconocidacomovalorpresenteneto(VPN)deunproyectodeinversinynoesotracosaquesuvalormedidoendinerodehoy,oenotraspalabras, el equivalente en unidades monetarias actuales de todos los ingresosy egresos presentes y futuros que constituyen el proyecto.El VAN consiste en descontar o trasladar al presente todos los flujos futuros delproyectoaunatasadedescuentoigualalcostodeoportunidad,sumarlastodas y restarlas a la inversin inicial en tiempo cero.Ahoraserexplicadamsclaramenteestadefinicin,sisequiererepresentarlos flujos netos de efectivo por medio de un diagrama, este podra quedar de lasiguiente manera:Tmeseparaelestudiounhorizontedetiempodeporejemplocincoaos.Trceseunalneahorizontalydivdasestaencincopartesiguales,querepresentan cada uno de los aos.Alaextremaizquierdacolqueseelmomentoenqueseoriginaelproyectootiempocero.Represntenselosflujos positivosogananciasactualesdelproyecto(empresa)con una flecha hacia arriba, y los desembolsos o flujos negativos con una flecha haciabajode larectadelproyecto.En ste caso elnicodesembolsoeslainversininicialeneltiempocero,aunque podradarseelcasoenquedeterminadoaohubieraunaprdida (en vez de ganancia), y entonces aparecera en el diagrama de flujo una flechahacia abajo.Proyecto0 123 45 Tiempo-II FNE1 FNE2 FNE3 FNE4 FNE5 Valores $.26Cuando se hacen clculos de pasar, en forma equivalente, dinero del presenteal futuro, se utiliza una ide intersode crecimiento deldinero;pero cuandose quiere pasar cantidades futuras al presente, como en este caso, se usa unatasadedescuento,llamadaasporquedescuentaelvalordeldineroenelfuturoasuequivalenteenelpresente,yalosflujostradosaltiempoceroseles llama flujos descontados.Ladefinicinyatienesentido.Sumarlosflujosdescontadosenelpresenteyrestarlainversininicialequivaleacomparartodaslasgananciasesperadascontratodoslosdesembolsosnecesariosparaproduciresasganancias,entrminos de su valor equivalente en este momento o tiempo cero.Es claro que para aceptar un proyecto las ganancias debern ser mayores quelosdesembolsos,locualdarporresultadoqueelVANseamayorquecero.ParacalcularelVANseutilizaelcostodelcapital; sistatasadedescuentoaplicadaenelclculodelVANfueselatasainflacionariapromediopronosticadaparalosprximoscincoaos,lasgananciasdelaempresasoloserviran para mantener el valor adquisitivo real que la empresa tena en el aocero, siempre y cuando de reinviertan todas las ganancias.El clculo del VAN para el perodo de cinco aos es:VAN = - I I + FNE1+FNE2+ FNE3+FNE4+ FNE5-------- -------- --------- --------- ---------(1+i)1(1+i)2(1+i)3(1+i)4(1+i)5Para tomar la decisin de emprender el proyecto con base en los resultados delVAN, es procedente acoger los lineamientos siguientes.Sii es la tasa de inters utilizada en el clculo del VAN (cuando el proyecto sefinancia con participacin relevante de crditos bancarios)InterpretacinValor Significado Decisin a tomarVAN> 0La inversinproduciragananciasEl proyecto puede aceptarseVAN< 0La inversinproducira prdidasEl proyecto debera rechazarseVAN= 0La inversin noproducira niganancias niprdidasDado que el proyecto no agrega valor monetario, ladecisin debera basarse en otros criterios, como laobtencin de un mejor posicionamiento en elmercado u otros factores.27Si la tasa de inters (costo de oportunidad o costo del capital) empleada en elclculodelVAN(cuandoelproyectotieneunaparticipacinmayoritariaderecursos propios y por tanto i interpreta el promedio de rendimiento que arrojaeltipodenegociosenelqueelinversionistaesperaparticipar.Paraunaempresaenmarcha,quequiereampliaroperaciones,idebeconsultarcomomnimo el rendimiento actual sobre la inversin):TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)LaTIRcorrespondealatasadeintersgeneradaporloscapitalesquepermaneceninvertidosenelproyectoypuedeconsiderarsecomola tasaqueorigina un valor presente neto igual a cero, en cuyo caso representa la tasa queigualalosvalorespresentesdelosflujosnetosdeingresosyegresos.LaTIResunacaractersticapropiadelproyecto,totalmenteindependientedelasituacin del inversionista, es decir, de su tasa de inters de oportunidad.ElcriterioparaaceptacinutilizandolaTIRes,sistaesmayorque elcostodelcapitalodeoportunidad,aceptaselainversin;esdecir,sielrendimientodelainversinesmayoralmnimoutilizadocomoaceptablelainversineseconmicamente rentable.ParaelclculodelaTIRseutilizalainterpolacintomandocomopuntodereferencia inicial el costo del capital para posteriormente ir analizando cmo secomportaelVANalsubirpuntosastatasaobajaralamisma.Conestoloque se quiere es tener dos tasas que generenVANs lo ms cercanos a cero,siendo el uno positivo y el otro VAN negativo.TIR = r1 +(r2 r1)VAN1VAN1 VAN2Criterio de aceptacin TIR:SilaTIResmayorqueelcostodelcapitalodeoportunidad,aceptaselainversin;esdecir,siel rendimientodelainversinesmayoralmnimoutilizado como aceptable la inversin es econmicamente rentable.Ejemplo:Unaempresaestimalossiguientesflujosdecajadurante6aosdeunproyecto X. Si se considerael costodel capitalr = 10%yuna inversininicialde$600.000,enelaocero,calcularelVANal10%ylatasainternaderetorno.28AO 0 1 2 3 4 5 6Inversin Inicial600 - - - - - -Ventas- 500 500 500 500 500 500- Costo de Op.- 350 350 350 350 350 350- Depreciacin- 100 100 100 100 100 100= Utilidad (sinImpuestos)- 50 50 50 50 50 50FLUJO NETO DECAJA (UTILIDAD+DEPRECIACION)600 150 150 150 150 150 150Secalculaelvaloractualnetoparacadatasa,inicialmenteutilizoelcostodeoportunidad, y considero como referencia para incrementar la tasa o bajarla demaneradeconseguirdosvaloresdeiquegenerenunVANpositivoyotronegativo lo ms cercano0, que es la caracterstica de la TIR; entonces estoyen capacidad de aplicar la frmula de la TIR.Costo de oportunidadCon r = 12% Con r = 14% Con r = 10%VANrVAN1 VAN2 VAN10%- II = -600 -600 -600 -600+ FNE1 = 150 = 133,93 131,58 136,36(1+r)1+ FNE2 = 150 = 119,58 115,42 123,97(1+r)2+ FNE3 = 150 = 106,78 101,25 112,70(1+r)3+ FNE4 = 150 = 95,33 88,80 102,45(1+r)4+ FNE5 = 150 = 85,11 77,90 93,14(1+r)5+ FNE6 = 150 = 75,99 68,34 84,67(1+r)6= VANr= + 16,72 - 16,71 53,29Comosehallunvalorpositivoyotronegativo,estosignificaquelatasainternaderetorno se encuentra entre los lmites:29r1 = 12% y r2 = 14%Entonces,latasainternaderetornopuedecalcularseporinterpolacindelasdos tasas: (Revisar el tema deInterpolacin lineal del semestre anterior)r1 = 12%yr2 = 14%TIR = r1 + (r2 r1) VAN1VAN 1 VAN 2TIR = 0,12 + (0,14 0,12) 16,7216,72 (-16,71)TIR = 0,12 + 0,01=0,13TIR = 13%Que, de acuerdo con las condiciones del problema, indica que la inversinpodr ser ventajosa ya que el costo del capital es 10%.Para el clculo del PAYBACK en sus dos modalidades tenemos:Ao 0 1 2 3 4 5 6InversinInicial600Flujos Netos 150 150 150 150 150 |150FlujosDescontados136,36 123,97 112,70 102,45 93,14 84,67Enelcasodel PAYBACKCONTABLE alcanzoelvalorinvertidoalos4aosesto es(150 x 4 = 600).Para PAYBACKDESCONTADO,debosumarlosflujosdescontadosy elltimo, por regla de tres simple determinar el tiempo que toma para alcanzar lasuma invertida.Calculando se tendra:136,36 + 123,97 + 112,70 + 102,45 + 93,14 = 568,62Saco la diferencia para llegar a los 600 568,62 = 31,38y establezco la reglade tres84,67 en12 meses31,38 x = 4,45 mesesPor lo tanto el Periodo de Recuperacin Descontado es de 5 aos 4,45 meses.30TASA DE INTERS REALDelastasasdeintersestudiadastomaremoslatasaefectivaoanualquealrelacionarlaconlatasadeinflacinolavariacinporcentualdelndicedeprecios al consumidor, da lo que se denomina tasa de inters real.Lastasasdeintersrealinfluyensignificativamenteenlaseconomasdemercado,tantoenelahorroconoenlosendeudamientos,yenlasdecisionesde inversin para poder calcular su rentabilidad.La tasa de inters real puede calcularse mediante la siguiente formula.Tasa de inters real (r)Criterio de aceptacin de la tasa de inters real:Si r:> 0 es positiva entonces se gana= 0 se mantiene el poder adquisitivo< 0 es negativa entonces pierdeEjemplo:Calcularlatasadeintersrealquesecobraenunpascuyatasadeintersefectivaes15%ylatasadeinflacinovariacinporcentualdelndicedepreciosalconsumidores20%Cuntoganaopierdeunaempresaqueinvierte $ 100.000.000 en 1 ao?.SOLUCIN:r = 100 i d=100 0,15 0,201+ d1 + 0,20r = 100 (- 0,041667) = - 4,1667%I = 100.000.000 -4,1667 = - $ 4,166.666,67100Respuesta. Prdida $ 4.166.666,67 en trminos financieros100. . 1. .xInflacin de TasaInflacin de Tasa Efectiva Tasar+=1001xdd ir+=31Ejemplo:Calcularlatasadeintersrealquesecobraenunpascuyatasadeintersefectivaes15%ylatasadeinflacinovariacinporcentualdelndicedeprecios al consumidor es 20% Cunto gana o pierde una empresa que invierte$ 100.000 en 1 ao?SOLUCIN:r = 100 i d =100 0,15 0,201+ d 1 +0,20r = 100 (- 0,041667) = - 4,1667% da una tasa negativa (prdida)I = 100.000 -4,1667 = - $ 4.166,67100RESPUESTA.Prdida de $ 4.166,67, en trminos financierosAutoevaluacin:VERDADERO O FALSOMarque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.CASAMIENTOSUna con lneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.DEFINICIONESCONCEPTOSVAN > 0Conviene el proyectoTasa real ( - ) No conviene el proyectoTIR < Costo de oportunidad Se pierdeAFIRMACIN V FEl VAN es igual al valor presente neto.Un VAN negativo indica que la inversin es ventajosa realizarla.Si el VAN = 0 cuando se toma como r la tasa de inflacin quieredecir que se mantiene el poder adquisitivo al invertir en elnegocio.La TIR es igual para todos los proyectos.La TIR se considera como la tasa mxima a la que se debeaceptar un prstamo.La frmula de Fisher es usada para el clculo de la tasa real32(ANEXO 3)Correspondencia a la Unidad y Semana:UNIDAD III. SEMANA No. 10, 11, 12 y 13Ttulo del Tema:BONOSIntroduccin:Desarrollo:Enelcampodelosgrandescapitalesrequeridosparafinanciarlasinstalacionesindustrialesmodernasolasgrandesobrasproductivasqueemprendencorporacionesolosgobiernos,noesposibleobtenereldineronecesarioenprstamoprovenientedeunasolacompaa;porloqueesnecesariorecurriralasinversionesdevariaspersonas.Paraagilizarestasinversionessehacreadounaformadeobligacinqueconstituyeuninstrumento de crdito llamado bono.Enlosltimosaos,labancaprivada,labancanacionalylascorporacionesfinancierashancreadoypuestoencirculacinvariasclasesdeobligacionescomerciales,comocdulasycertificados atrminofijo.Estosdocumentoshacenmsatractivaslasinversiones,puestoqueofrecenmejorrentabilidadque las tradicionales cuentas de ahorro.Porotraparte,conelobjetodeincentivarlasexportacionesnotradicionales,algunosgobiernosenvasdedesarrollohancreadodiversostiposdecertificadosybonosquetiendenaaumentarlautilidadpercibidaporlosexportadores.DEFINICIONES:BONO:1. Unbonoesundocumentoalargoplazoemitidoporunacorporacinoentidad gubernamental con el fin de financiar proyectos importantes. Enesencia, el prestatario recibe dinero ahora a cambio de una promesa depagardespus,coninterspagadoentreelmomentoenqueeldinerose prest y el momento en que es reembolsado. Con frecuencias, la tasade inters de los bonos recibe el nombre de cupn.2. Esunaobligacinodocumentodecrdito,emitidoporungobiernooentidadparticular,aunplazoperfectamentedeterminado,quedevengaintereses pagaderos en perodos regulares.Las leyes de cada pas regulan las relaciones entre entidades emisorasylaspersonaspropietariasotenedorasdelosbonos.Losbonosquepuedentransferirselibrementeycambiardedueoporlasimpleventase denominan bonos no registrados y se emiten al portador. En caso33quelosbonossean registrados,solopuedentransferirsemedianteendoso y con consentimiento del emisor.Bonocupnceronopagainteresesperidicos,demaneraquelatasadelcupn es cero. Debido a ello, stos se venden con frecuencia con descuentosmayoresdel75%desuvalornominal,demodoquesuproductohastaelvencimiento sea suficiente para traer a los inversionistas.PAGO DE INTERESES:Enlamayoradebonos,lospagosdeintersseloshacecontralapresentacin de cupones; stos cupones estn impresos en serie y ligados a lamismaobligacinycadaunotieneimpresasufechadepago.Tantoloscuponescomoelbonomismosonpagarsnegociables;enelcasodebonosregistrados,tantoenelprincipalcomoenlosintereses,loscuponesnosonnecesarios ya que los intereses se pagan directamente, a la persona registradacomo tenedor del bono.VALOR NOMINAL:Eselquesehacereferenciaasudenominacinelprincipalocapitalquesesealaenelbonoeselvalornominal,engeneralunadenominacinparqueempieza en $100 y ms utilizados son de $100, 500, 1.000, 10.000 y 50.000.Elvalornominalrepresentalasumaglobalqueserpagadaaltenedordelbono a la fecha de vencimiento.Confrecuencia,unbonosecompracondescuento(menorqueelvalornominal)oconunaprima(mayorqueelvalornominal),perosolamenteelvalornominal,noelpreciodecompra,seutilizaparacalcularelmontodelinters del bono.ElmontodelintersIpagadoporperodoconanterioridadalafechadevencimiento del bono se determina multiplicando el valor nominal del bono porsu tasa de inters por perodo, de la siguiente manera:I = F (valor nominal ). r ( tasa de inters del bono )m (Nmero de perodos de pago por ao.)Ejemplo:Determine cul ser el monto de inters que recibir por perodo si compra unbonode$5.000al6%,elcualvencedentrode10aosconinteresespagaderos cada trimestre.Solucin:I= 5.000 ( 0,06 ) = $ 75434En consecuencia, usted recibir intereses de $ 75 cada trimestre adicionales ala suma global de $ 5.000 al trmino de 10 aos.VALOR DE REDENCIN:Es el valor que recibe el tenedor del bono, por lo general el valor de redencinesigualalvalornominal,enestecasosedicequeelbonoesredimiblealapar.Deotraforma,elvalorderedencinseexpresacomounporcentajedelvalornominalomitindoselapalabraporciento.Porejemplo,Unbonode$1.000redimibleen$1.050seexpresacomounbonode$1.000redimiblea105.Elreintegrodelprincipalseefectaenunafechadevencimientoestipuladapero,enalgunoscasos,sedejaalprestatariolaopcindereintegrarelvalor,antes del vencimiento. Normalmente se redime unbono en una fecha de pagode intereses.PRECIO DE LOS BONOS:Elpreciodelosbonosenelmercadodevaloressefijaporacuerdoentreelcompradoryelvendedor;stevalordependebsicamentedelossiguientesfactores: (1) tasa de inters e intervalo de los cupones; (2) tasa de inters localparalasinversiones;(3)tiempoquedebetranscurrirhastaelvencimiento;(4)precioderedencin;(5)lascondicioneseconmicasimperantes;(6)confiabilidad en las garantas del emisor. Los bonos pueden venderse a la par,conpremio,ocondescuento(castig),segnelpreciodeventaseaigual,mayor o menor al valor nominal.TASA INTERNA DE RETORNO ( TIR O RENTABILIDAD ):Paraelclculodelatasainternaderetornodeldineroinvertidoenbonos,elinversionista debe tener en cuenta tanto el valor de los cupones como el valorderedencindelbono.Unbonocompradocondescuentoiraumentandogradualmentesuvalor,hastaigualarelvalorderedencinenlafechadevencimiento y esto agrega un beneficio al valor de los cupones. En caso de quelosbonossecompreconpremioseproduceunadisminucinpaulatinadelprecio de compra que debe restarse del valor de los cupones, a fin de calcularel rendimiento.PRECIO DEL BONO A UNA FECHA DE PAGO DE INTERESES O CUPN:Siuninversionistacompraunbonoenunafechadepagodeinteresesadquiere el derecho a recibir el pago futuro de los intereses en cada perodo depago y el valor de redencin del bono, en la fecha de vencimiento. No recibirel pago de inters vencido en la fecha de compra. El valor actual del bono debeser equivalente a la suma de los valores actuales de los derechos o flujos quecompra, o sea:Valorpresentedelosbonos=valorpresentedelosintereses+valoractualdelprincipal35Nomenclatura:C = precio de redencin del bonoP = precio de compra para obtener un rendimiento i.F = valor nominal (o la par del bono )r= tasa de inters por perodo de pago del cupnn = nmerodeperodosdeintereses(o nmerodecupones), hasta lafecha de vencimientoi = tasa de inters sobre la inversin por perodo de cupn (rentabilidad o tasainterna retorno TIR).Se designa A al valor de los intereses que paga el bono en cada fecha de pago(cupn) A = Fr.Los pagos A forman una anualidad vencida y su valor presenteP al sumar al valor anterior el valor presente de C a la tasa i%, se tiene:, ), )nni CiiA P+ ++ = 11 1.Finalmente luego de algunos reemplazos y transformaciones la frmula queda:, ), )iii C r F C Pn + + =1 1. . .Ejemplo:Unbono de $1.000, 3.5 %, FA (febrero-agosto), esredimiblea105 elprimerode febrero del 2005. Hallar el precio de compra el 1 de febrero de 1985, queredite 5% anual convertible semestralmente.F = 1000, C = 1050, r = 0,035/2, i = 0,05/2, n = 40.Reemplazo en la frmulaP = 1050 + (1000 x 0,0175 1050 x 0,025) 1 (1+0,025)-400,025P = 830,35VALOR EN LIBROS DE UN BONOLosbonoscompradosconpremioocondescuento,coneltranscursodeltiempovaransuvalorhastaigualaralderedencin,enlafechadevencimiento.Elcambiodevalordurantelavidadelbonoseobservaconclaridad construyendo una tabla de inversin36Ejemplo:Un bono de $1.000 al 8% convertible semestralmente, redimible a la par dentrodetresaos,esadquiridoporuninversionista,paraobtenerunaTIRdel6%.Elabore la tabla de inversin del bono.C = 1.000, F = 1.000, r = 0,08/2, i = 0,06/2, n = 3 (2) = 6P = 1.000 + (1.000 x 0,04 1.000 x 0,03) 1 (1+0,03)-60,03P = $1.054,17Periodo Valor enlibros alinicio delperiodoInteresessobre lainversinInteresesdel bonoVariacionesdel valor enlibrosValor enlibros alfinal delperiodo1 1.054,17 31,63 40,0 8,37 1.045,802 1.045,80 31,37 40,0 8,63 1.037,173 1.037,17 31,12 40,0 8,88 1.028,294 1.028,29 30,85 40,0 9,15 1.019,145 1.019,14 30,57 40,0 9,43 1.009,716 1.009,71 30,29 40,0 9,71 1.000,00Totales 185,83 240,0 54,17Enestecaso,elbonofuecompradoconpremioy,puestoquesuvalorderedencin es menor que el de compra, es necesario amortizar la diferencia.Encasodequeelbonoseadquieracondescuento,elinversionistaregistraunautilidad mayor que los intereses pagados por el bono, cantidad igual al aumentode valor que en cada periodo registra el bono.PRECIODELBONOCOMPRADOENTREFECHADEPAGODEINTERESES O CUPNCuando se compra un bono entre dos fechas de cupones, el precio comprendeelvalorprincipaldelbono,cantidadquecorrespondealvalorpresentedesuprecioderedencin,mselvalordeloscuponesnovencidos,ademsdelajusteacordado entreelcompradoryelvendedor,encuantoalcupndelperiodoenquesehagalatransaccin,yaqueesteperteneceenpartealcomprador y en parte al vendedor.Para designar el precio de un bono, sin elvalor acumulado del cupn, se utiliza al expresin precio con inters, en tantoqueparaexpresarelprecioincluidoelvaloracumuladodelcupn,sediceprecio efectivo o precio flat. Los corredores de bolsa, en cada pas usan valoresdistintos para referirse al precio con inters y al precio efectivo.Clculo del precio con inters: Fije en un diagrama los valores P0y P1en dosfechas sucesivas de pago de intereses, y sea P el precio del bono, despus detranscurridalafraccindetiempok,conrelacinalperiododepagodecupones.37LadiferenciaP P0esunavariacinqueesproporcionalaltiempotranscurrido.O seaP P0= P1 P0k 1de donde, P = P0+ k (P1 P0)Ejemplo:Un bono de $100, con fechas de cupn 1 de mayo y 1 de noviembre (MN), senegociael2deagosto.Calcularelprecioconinters,sienelmismoaosetiene:Precio en 1 de mayo =$96,30P0Precio en 1 de noviembre= $96,66P1k = das transcurridos entre el 1 de mayo y el 2 de agosto son 91 das (siconsidera meses de 30 das) de donde k = 81/180, al sustituir los valores,se tiene:P = 96,30 + 91 (96,66 96,30) = $96,461800k1P0P P1Clculo del precio efectivo por el mtodo exacto o de inters compuesto:Eneldiagramaanterior,P0eselpreciodelbonoenlafechadecupn,inmediatamente anterior la fecha de transaccin, P el precio en la fecha y P1elpreciodelbono,enlafechasiguiente;seanilatasadeinterssobrelainversinykla fraccindeperiodomedidaapartirdelafecha0.Alplantearuna ecuacin de equivalencia para la fecha de transaccin, se tiene que P es elvalor futuro acumulado de P0.Pe = P0(1+i)kPara el valor de la fraccin de k, se acostumbra usar el ao de 360 das,con meses de 30 das c/u.Ejemplo:Hallar el precio el 15 de mayo de 1996 de un bono de $1.000 MS, a un intersdel6%convertiblesemestralmente,redimiblealaparel1deseptiembredel2021,si se desea una TIR del 8%, convertible semestralmente.C=1.000; F= 1.000; r =3%; i = 4%38Para el clculo del nmero de cuponesBono MS (Marzo Septiembre)entonces se paga cada semestreRedime el 1 de SeptiembreEntonces:MS de marzo a septiembre pasa un semestreSPor lo tanto hay que sumar un semestre al nmero de aos por el numerode cupones al ao, si se redime en marzo no se debe sumar el semestreadicional.2021-1996 = 25 x 2 + 1 = 51n = 51Lafechadepagoinmediatamenteanterioralaventa1demarzode1996loque da 75 das hasta la fecha de negociacin y los intereses que puede cobrarel comprador son por 180 75 = 105 das.P0= 1.000 + (1.000(0,03) 1.000(0.04) 1 (1+0,04)-510,04P0= 783,83ParaPe = P0(1+i)k; se tiene i = 0,04; k = 105/180 = 7/12;Pe = 783,83 (1 + 0,04)7/12= 801,97Clculo aproximado del precioefectivo ade interssimple: En la prcticay que es de uso ms frecuente este mtodo. Para calcular el valor del bono enesas fechas, se realiza el siguiente procedimiento:a) Sehallaelvalordelbonoenlaltimafechadepagodeintereses,inmediatamente antes de la fecha de compra venta.b) Secalculaelmontoainterssimpledel valorencontradoena)considerando el tiempo exacto transcurrido entre la ltima fecha de pago deintereses y la de negociacin 75 das en el caso del ejemplo anterior.NOTA: comoprocedimientoalternativo,seconsideraelnmerodedascomprendidoentrelafechadenegociacinylafuturafechadepagodeintereses, y si aplicamos al ejercicio anterior tendramos:P = P0(1+i)k; se tiene i = 0,04; k = 105/180 = 7/12;P = 783,83 (1 + 0,04)7/12= 801,97Pe = P0(1+ k.i)Pe = 783,83 (1+0,04(7/12)) = 802,12Al aplicar inters simple a las fracciones de periodos se obtiene valores msaltos39Pe = P0(1+ k.i); se tiene i = 0,04; k = 75/180 = 5/12;Pe = 783,83 (1 + (5/12)0,04) = 796,89El precio del bono es $796,89, que se lo denomina bono sucioINTERS REDITUABLE DE UN BONO IREslapartefraccionariadelpagodeinteresesenunafechadiferentealadepagodelcupn.Seobtienedividiendoelnmerodedascontadosdesde laltimafechadepagodeuncupnhastalafechadecompra,entreelnmerodedasdelperiododecapitalizacindeinteresesymultiplicandoporlosintereses del periodo completo.El inters redituable se utiliza para obtener el denominado bono limpio.En el ejemplo anterior:Con Inters Simple.P0= 783,83; Pe = 796,89 k = 75/180Intereses o cupn = 1.000 (0.06/2) = 30IR = Cupn x k = 30 (75/180) = 12,5Precio del bono limpio = 796,89 12,5 = 784,39y es el valor en libros al 15 de mayo.Con Inters Compuesto.P0= 783,83; Pe = 801.97 k = 105/180Intereses o cupn = 1.000 (0.06/2) = 30IR = Cupn x k = 30 (105/180) = 17,5Precio del bono limpio = 801,97 17,5 = 784,47y es el valor en libros al 15 de mayo.Prcticamenteporlosdosmtodoselvalordelbonolimpioeselmismo,esmuy poca la diferencia existente.RENDIMIENTO DE LAS INVERSIONES EN BONOSCalcular el rendimiento TIR que obtendrn al comprar bonos en el mercado devalores,esunproblemacomnquesepresentaalosinversionistaspardeterminarsucapital.Esteproblemanopuederesolversepormtodosdirectosporloquehayvariosmtodosquedansolucionesbastanteaproximadas, en nuestro caso veremos nicamente:ClculodelaTIRporelmtododeinterpolacin: Este mtodorequierehallar dos tasas deinters,que correspondan a un precio menor y uno mayorque el precio de compra. Despus de calcular primero una tasa aproximada, seprocedeadeterminarlospreciosdecompraparaunatasainferioryotrasuperior, para posteriormente interpolar entre estos dos precios.(Revise la informacin de Interpolacin lineal)40Ejemplo:HallarlaTIRdeunbonode$1.000al18%,concuponestrimestrales,redimibles a la par dentro de 5 aos si se cotizan a 92. Se supone en fecha decupn..Los precios de los bonos en el mercado de valores se cotizan tomando comobase 100, suponiendo que 100 es el valor a la par. As, un bono redimible a lapar y cotizado a 94 significa que se ofrece por $940P = 920; F = C = 1.000; Fr = 1.000(0.18/4) = 45; n = 5(4) = 20 trimestresP = C + (Fr-Ci) . 1 (1+i)-ni920 = 1000 + (45 1000 . i) 1 (1 + i)-20iCLAVE: Latasai debesermayorque4,5%paraquelacantidadentreparntesis resulte negativa.Si hubiese sido a la par 4.5%.Mediante la aplicacin de las tasas 5,5% y 5,1% trimestral tenemos:P = 880,50 si i = 5,5%P = 925,86 si i = 5,1%Se interpola entre estos dos valores:925,86 0,051 925,86 0,051880,50 0,055 920,00 X45,36 es a - 0,004 5,86 es a 0,051 - X45,36 = 5,86 .- 0,004 0,051-X0,051 X = 0,004(5,86) = - 0,051516845,36X= 0,0515168 (Tasa nominal trimestral)(1+i) = (1+j/m)m(1,051568)4- 1=1,2228 -1Tasa efectiva anual=22,28 %Cuantomscercanasseanlastasasentrelascualesseinterpola,msfinaser la aproximacin.41Acontinuacintepresentounosejemplosquetepermitirncomprenderdemejormaneralostemastratadosenestebloque,paraloque,tendrsqueanalizarlosyposteriormenteresolverlossinmirarlasolucindada;estoasegurarquehazaprendido. Entonces podrs seguir ejercitndote, con los ejercicios que se proponen alfinal del presente bloque.Ejemplo:Determine cul ser el monto de inters que recibir por perodo si compra unbonode$5.000al6%,elcualvencedentrode10aosconinteresespagaderos cada trimestre.SOLUCINA = 5.000 ( 0,06 ) = $ 754En consecuencia, usted recibir intereses de $ 75 cada trimestre adicionales ala suma global de $ 5.000 al trmino de 10 aos.Ejemplo:Unbono de $1.000, 3.5 %, FA (febrero-agosto), esredimible a105 elprimerodefebrerodel2005.Hallarelpreciodecomprael1defebrerode1985,queredite 5% anual convertible semestralmente.SOLUCINF = 1000, C = 1050, r = 0,035/2, i = 0,05/2, n = 40.Reemplazo en la frmulaP = 1050 + (1000 . 0,0175 1050 . 0,025) 1 (1+0,025)-400,025P = 830,35Ejemplo:Un bono de $1.000 al 8% convertible semestralmente, redimible a la par dentrode tres aos, es adquirido por un inversionista, para obtener una TIR del 6%.Elabore la tabla de inversin del bono.SOLUCINC = 1.000, F = 1.000, r = 0,08/2, i = 0,06/2, n = 3 (2) = 6P = 1.000 + (1.000 . 0,04 1.000 . 0,03) 1 (1+0,03)-60,0342P = $1.054,17Enestecaso,elbonofuecompradoconpremioy,puestoquesuvalorderedencinesmenorqueeldecompra,esnecesarioamortizarladiferenciacaso de que el bono se adquiera con descuentoelinversionistaregistraunautilidadmenorquelosinteresespagadosporelbono,devalorqueencadaperiodo registra el bono cantidad igual al aumento.Autoevaluacin:VERDADERO O FALSOMarque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.AFIRMACIONES V FElbonoesunaobligacinquetieneunaentidadparaelposeedor de esteSe dice que un bono es a la par cuando F = CUnbononegociadoala105quieredecirquefuenegociado con premioEl valor del cupn es igual al valor de los intereses que sepagan peridicamente.CASAMIENTOSUna con lneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.DEFINICIONES CONCEPTOSInters Redituable Preciodelbonoentrelafechadepagodecupnsinconsiderar el inters redituableNegociacin con Castigo Cuando P>FBono Sucio Cuando P 0Conviene el proyectoTasa real ( - ) No conviene el proyectoTIR < Costo de oportunidad Se pierdeRESPUESTASANEXO 3a) VERDADERO O FALSOMarque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.AFIRMACIONES V FElbonoesunaobligacinquetieneunaentidadparaelposeedor de esteXSe dice que un bono es a la par cuando F = C XUnbono negociadoala105quieredecirquefuenegociado con premioXEl valor del cupn es igual al valor de los intereses que sepagan peridicamente.Xb) CASAMIENTOSUna con lneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.64DEFINICIONES CONCEPTOSInters Redituable Preciodelbonoentrelafechadepagodecupnsinconsiderar el inters redituableNegociacin con Castigo Cuando P>FBono Sucio Cuando P