Libro de Matematica Financiera Utp Lima

8/11/2019 Libro de Matematica Financiera Utp Lima

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MATEMTICA FINANCIERA PARA ADMINISTRACIN Y CONTABILIDAD

1

UNIVERSIDAD TECNOLGICA DEL PERVicerrectorado de Investigacin

MATEMTICA FINANCIERA

TINS Bsicos

ADMINISTRACIN, CONTABILIDAD

TEXTOS DE INSTRUCCIN (TINS) / UTP

Lima - Per


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2

MATEMTICA FINANCIERA

Desarrollo y Edicin: Vicerrectorado de Investigacin

Elaboracin del TINS: Dr. Juan Jos Sez Vega

Diseo y Diagramacin: Julia Saldaa Balandra

Soporte acadmico: Instituto de Investigacin

Produccin: Imprenta Grupo IDAT

Queda prohibida cualquier forma de reproduccin, venta, comunicacin pblica ytransformacin de esta obra.


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3

El presente material de lectura contiene una compilacin deartculos, de breves extractos de obras matemticas publicadaslcitamente, acompaadas de resmenes de los temas a cargo del

profesor; constituye un material auxiliar de orientacin delaprendizaje para ser empleado en el desarrollo de las clases ennuestra institucin.

ste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de laUniversidad Tecnolgica del Per, preparado para fines didcticos

en aplicacin del Artculo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., delDecreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor.


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4


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5

PRESENTACIN

La Matemtica Financiera como segmento de la matemtica, aplicada atemas correspondientes al campo de la economa y las finanzas es de granimportancia en la formacin profesional acadmica de ingenieros. Consiste de unconjunto de conocimientos matemticos orientado a la modelacin de frmulasmatemticas para calcular el valor del dinero en un tiempo diferente al tiempo deaplicacin del dinero.

Los modelos implicados estn basados en la teora matemtica de: losexponentes y sus leyes, los logaritmos, las progresiones aritmticas ygeomtricas. Aplicando los modelos referidos se analizan temas de naturalezaeconmica y financiera relativos a:

Actualizacin de flujos de beneficios y costos en intervalos detiempo

Descuento de flujos de compromiso econmico-financiero por pagoadelantado

Costos constantes

Indicadores econmicos-financierosGracias al paciente trabajo del profesor Juan Jos Sez Vega, ha sido

posible compendiar el presente texto de instruccin, en relacin al syllabus de laasignatura de Matemtica Financiera para las carreras de Administracin yContabilidad.

El acucioso trabajo de recopilacin de diferentes trabajos de MatemticaFinanciera, correspondientes a una variedad de fuentes bibliogrficas, ha

permitido condensar la siguiente estructura:

Proporciones geomtricas Problemas Proporcionales Tanto por ciento Regla de Inters Regla de descuento simple Progresiones aritmticas Expresiones Exponenciales Logaritmos Inters compuesto Descuento compuesto


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6

Progresiones geomtricas Anualidades de amortizacin Operaciones con bolsa Rentas vitalicias y perpetuas Responsabilidad civil

Al cerrar estas lneas se hace presente el reconocimiento institucional alprofesor Juan Jos Sez Vega y tambin el agradecimiento institucional a losprofesores que han contribuido con sus apreciaciones al trabajo de recopilacin.

Vicerrectorado de Investigacin


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7

NDICE

Pg.

I. Proporciones geomtricas 9

II. Problemas Proporcionales 17

III. Tanto por ciento 21

IV. Regla de Inters 27

V. Regla de descuento simple 33

VI. Progresiones aritmticas 41

VII. Expresiones Exponenciales 53

VIII. Logaritmos 57

IX. Inters compuesto 61

X. Descuento compuesto 69

XI. Progresiones geomtricas 79

XII. Anualidades de amortizacin 87XIII. Operaciones con bolsa 105

XIV. Rentas vitalicias y perpetuas 117

XV. Responsabilidad civil 131


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CAPTULO I

PROPORCIONES

GEOMTRICAS

Es la relacin entre dos razones geomtricas iguales (tienen el mismo cociente).

1.1 Primera propiedad (fundamental).- El producto de los extremos es

igual al producto de los medios.a : b = c : da x d = b x c

Ejemplos:

1.

7070

145107;10

14

5

7

== xx

2.

12

39921

4

1337

,

12

33

932

4

13

312

==

36

273

36

273;

9

21

4

13

12

39

3

7= xx

1.2 Segunda Propiedad.- En toda proporcin geomtrica: un extremo es

igual al producto de los medios dividido entre el otro extremo. Un medioes igual al producto de los extremos, dividido entre el otro medio.

c

dxab

d

cxba

d

c

b

a=== ;;

Ejemplos:


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10

1) 7;332111;

3321

11 === xxxx

2)15

66

4

31

12

93

5

32

;

12

93

4

315

32

;

12

97

4

37

5

26

==== x

x

xxx

3) 7;80

3516;

35

8016=== x

xx

x

4) 136.0;11

374.04;374.011

4 === xxxx

5) 104;8

6413;

64

13

8=== x

xx

x

6) 8;21.1

8.811.0;

21.1

8.8

11.0=== x

xx

x

1.3 Tercera Propiedad.- La media proporcional geomtrica (medios iguales)es igual a la raz cuadrada del producto de los extremos.

dxabd

b

b

a== ;

cxbaa

c

b

a== ;

Ejercicios:

1) 202516;25

16=== xxx

x

x

2) 08.1;44.181.0;44.1

81.0=== xxx

x

x


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11

1.4 Cuarta propiedad.- Toda proporcin geomtrica se puede representar deocho formas distintas y subsiste la primera propiedad.

1)d

c

b

a= cambio extremos.

Cambios medios 3)d

b

c

a=

2)a

b

c

a= cambio medios.

Cambios medios y extremos 4)a

b

c

d=

Cambio razones

5)b

a

d

c=

Cambio extremos en 5

6)c

a

d

b=

Cambio medios en 5

7)b

d

a

c=

Cambio medios y extremos en 5

8)c

d

a

b=

Es necesario recordar esta propiedad. Se utiliza frecuentemente.

Represente de ochos formas distintas las proporciones:

1)p

o

n

m== )2;

132

84

11

7

1.5 Quinta propiedad.- En toda proporcin geomtrica la suma o diferenciade antecedente y consecuente de la primera razn es a su consecuente;como; la suma o diferencia de antecedente y consecuente de la segundarazn es a su consecuente.


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12

d

c

b

a= ;

b

ba + =d

dc +

b

ba =

d

dc

Ejemplos:

1) 21013

8=+= yx

y

x

130;13

21210;

13

138==

+=

+y

yy

yx

x + y = 210 reemplazando y por su equivalente.

X + 120 = 210 ; x = 210 - 120

x = 80

2) 1207

13== yx

y

x

6

7120;

7

6210;

7

713 xy

yy

yx==

=

y = 140

x - 140 = 120 ; x = 120 - 140

x = 260

1.6 Sexta propiedad.- En toda serie de razones geomtricas, la suma de los

antecedentes es a la suma de los consecuentes; como, cada antecedente esa su respectivo consecuente.

hfdb

geca

h

g

f

e

d

c

b

a

+++

+++====

b

a

hfdb

geca=

+++

+++ ;

d

c

hfdb

geca=

+++

+++


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13

fe

hfdbgeca =+++

+++ ; h

ghfdbgeca =+++

+++

1) 55515139

=++== zyxzyx

1537

555

1513915139==

++

++=== zyxzyx

135915159 === xxx

x

19513131513

=== yxyy

22515151515

=== zxzz

Utilizando las propiedades anteriormente estudiadas, resolver losejercicios:

Hallar x en las proporciones:

1)4

168=

x

2)4.0

2404.0=

x

3)002.014

25.14 x=

4)x

06.0

05.0

04.0=

5)

5

54

18

3

25

=x

6)

5

2

6

13

1

x=

7) x6

2

6

13

12

1

=

8)x

9

210

2

1

45.0=


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14

9) 36.48

1

45.3 x=

10)2

6

5

1 =

x

11)04.0

2

1

5 x=

12)x

25.4

5

23

1

=

13)

7

13

6

15

4

18

x=

14)

9

26

1

03.0=

x

15) 25

16 x

x =

16)25

49.0 x

x=

17)

16

94

1

x

x=

18)69.1

25.2 x

x=

19) Escribir de ocho

maneras distintas

n

m

y

x=

20) Si,

10; =+= yxy

z

y

x

Hallar x e y

21) Si:b

a=

5

7; a b = 30; a ? b?

22) Si:n

m

b

a= ; a + m = 45; b + n = 40; m = 5 cunto vale n

23) 6;15;20; ==== nnymxn

m

y

x

Hallar m


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15

24) d

c

b

a= ; a + b = 40; a b = 30; c + d = 50

Cul es el valor c d

25)n

m

y

x= ; x m = 10; y + n = 30; y - n = 20

Hallar; x + m =

26) 56

ba

= ; b + a = 15; hallar a?

27)54

nm= ; m + n = 18; hallar n = ?

28) ;5

6

12=

aa b = 15; hallar a

29) ;

5

6=

b

aa b = 12; hallar a + b

30) Dos nmeros estn en la relacin 5 es a 2. La suma es 49. Hallar

los nmeros.

31) Dos nmeros tienen como razn 8 es a 3; y su diferencia es 55.

Hallar los nmeros.

32) Si:432

cba== ; a + b + c = 36

Hallar a; b y c

33)edc

645== ; c + d + e = 120

Hallar c; d; e = ?


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34)yxnm

4321=== ; m + n + x + y = 14

Hallar m; n; x ; y

35) Tres nmeros tienen la relacin: 2; 7 y 5; la suma es 24. Hallar los

tres.


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CAPTULO II

PROBLEMASPROPORCIONALES

Los problemas proporcionales son aquellos que utilizan las propiedades delas proporciones.

1. Reparto proporcional: directo e inverso;

2. Tanto por ciento3. Tanto por uno4. Inters simple.5. Descuento comercial simple.6. Anualidades de capitalizacin y amortizacin a inters simple.

REPARTO PROPORCIONAL

Reparto proporcionar directo

Ejemplos:

1) Una compaa tiene tres trabajadores de: 18 aos, 24 aos y32 aos de servicios. Los tres tienen un fondo decompensacin por S/. 244,200. Cunto recibe cada uno?

74

200,244

74322418=

++=== zyxzyx

= 3300

400,593300

18

== xx

200,79330024

== yy

600,105330032

== zz


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2) Una compaa emite 170 acciones y adquiridas en la

relacin: 3, 5 y 9. Cunto cobrar cada empresario.

1017

170

17953==

++=== zyxzyx

30103

== xx

50105

== yy

90109

== zz

Para desarrollar:

1) Tres obreros trabajan: 15 das, 22 das y 43 das. De unfondo de S/. 34,400; cunto cobrar cada uno.

2) De un fondo de S/. 2,680 cunto cobrar cada trabajador.

El primero trabaj 15 das a razn de 7 horas diarias, elsegundo 23 das de 9 horas diarias; y el tercero 28 das a 8horas diarias.

Reparto proporcional inverso

a) Se hallan los inversos de los datos a repartir;

b) Se halla el comn denominador, convirtindose en nmeros

racionales homogneos;

c) Se realiza el reparto proporcional con relacin a losnumeradores.


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EJERCICIOS

1) Un padre de familia deja una herencia de S/. 439,292 para ser repartidosen proporcin inversa a las edades de sus hijos: de 8 aos; 15 aos y 24aos.

8

24

1

15

1

8

18

1 zyx==

15

15

1

120

5

120

8

20

15

zyx==

24 24

1

5815

zyx== =

28

439242 = 15689

1)15

x = 15689 x = S/. 235 335

2) 8

y

= 15689

y = S/. 125 512

3)5

z = 15689 z = S/. 78 445

Respuesta.- El de 8 aos recibe S/. 235,335; el de 15 aos S/.125,512 yel de 24 aos S/. 78,445 (observe que, el de menor edad recibe ms)

2) Un padre de familia deja una herencia de S/. 4806,320; para ser

repartidos en proporcin inversa a las edades de sus hijos de: 3 aos, 4meses; 13 aos, 4 meses y 21 aos, 8 meses.

3) Una compaa aseguradora emite bonos en la relacin de 8; 12 y 20.

Cuntos bonos compra cada empresario; si el nmero total de bonos es

de 2280.


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4) 4 obreros tienen el mismo jornal trabajando: 12 das; 15 das; 25 das y

30 das respectivamente. El fondo para la cancelacin de dichos obreros

es S/. 2,501. Cunto recibe cada uno.

5) 3 obreros trabajan: el primero 28 das 6 horas diarias; el segundo 35 das

7 horas diarias; y el tercero 40 das 8 horas diarias. Cunto le toca a cada

uno de un fondo total de S/. 4,104.80.

6) En una reunin infantil; uno de los nios tiene 4 aos de edad; otro 6

aos y un tercero 8 aos. Se desean repartir 325 caramelos en proporcin

inversa a las edades. Cuntos caramelos le toca a cada uno?

7) Tres capitalistas aportan: 25; 30 y 40 acciones; por un total de S/.

338,200. Cunto aport cada uno?

8) Tres capitalistas han invertido S/. 350,000; S/. 400,000 y S/.650,000

aumentan su capital en S/. 38625,440. Cunto aportar cada uno en

relacin directa a su capital.

9) Dos personas se asocian aportando: 40 acciones de 5,000; y el otro, 55

acciones de 3,500 si tienen.


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CAPTULO III

TANTOPORCIENTO(%)

Es un problema proporcional considerado por cada cien unidades. Si para cien esun tanto por ciento (%) para n ser x

100

%;

%100 nx

n==

Ejemplos:

1. Hallar el 15% de 32

100

1532;

15

32

100 xx ==

x = 4.8

2. Hallar %8

1de 96

1008

196

;8

1

96

100 x

xx

==

x = 0.12

EJERCICIOS

1. Hallar el 18% de 72.

2. Hallar el 35% de 180.3. Hallar el 5.34% de 23

4. Hallar el 6 %7

5de 49.

5. Hallar el %4

1de 1320.

6. Hallar el 2/9% de 720.


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7. Hallar el 38% de 15640.

8. Hallar el %4

3de 15640.

9. Hallar el %5

3de 7250.

10. Hallar el %5

2de 9650.

PROBLEMAS DE APLICACIN

1. Un comerciante vende un televisor; cuyo costo es S/. 840 y tiene unaganancia del 8%. Cul es su ganancia.?

100

8840;

8

840

100 xx

x==

x = S/. 67.20

2. Un agente vende una refrigeradora en S/. 1550. El 20% al contado y elresto en 8 cuotas mensuales. Hallar la cuota inicial y la mensualidad.

100201550;20

1550100 xx

x==

Cuota inicial S/. 310

1550 310 = S/. 1,2401,240 : 8 = S/. 155 cuotas mensuales.

3. Una compaa produce 25% de bebidas tipo nctar; 35% agua mineral y15% de bebidas aromticas. Adems 1800 son conservas envasadas. Qu

cantidad produce en cada caso.

100 (25 + 35 + 15) = 25%

25

001800;

100

251800 xx ==

x = 7200 el total


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23

Nctar 100720025;720025100 xx

x ==

x = 1800

100

720035;

7200

35

100 xx

x==

x = 2520

100

720015;

7200

15

100 xxx ==

x = 1080

4. El precio de un televisor es S/. 6,400. Sin embargo para su venta se debenincrementar el 4%; luego el 5%; adems el 10% por diferentes conceptos.Cul ser el precio de venta.

256./;100

46400;

4

1006400Sx

xx

x===

6400 + 256 = S/. 6656

8.332./;100

56656;

5

1006656Sx

xx

x===

6656 + 332.8 = S/. 6988.8

88.698./;100

108.6988;10

1008.6988Sx

xx

x===

Precio de venta 6988.8 + 698.88 = S/. 7687.68

5. Hecho el descuento del 12% se cancel por una mercadera S/.12500. Culfue el costo inicial.


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881250100)12100(125088100 xx

x ==

x = S/. 1420.45

6. Hecho el incremento del 15% se cancel por una mercadera S/. 27,450.Hallar el costo inicial.

)15100(

27450

115100+=

x

115

27450100 xx =

56.869,23./Sx =

EJERCICIOS DE APLICACIN

1. Se compra una mercadera con S/. 18,600; faltan de cancelar el 45%.Hallar el costo de la mercadera.

2. Una compaa vende 126 sacos a razn de S/. 117 el saco. Si se realizauna rebaja del 18%. Cul ser la suma a pagar.

3. Un automvil tiene un costo de S/. 24,000. Se cancela el 28% como cuotainicial y el resto en 18 cuotas. Hallar el depsito y el costo de cada cuota.

4. Un obrero desea construir una pared de 420 metros cuadrados de rea en 5

das el primer da el 25% del total, el segundo da el 5%; el tercer da el20% del resto; el cuarto da el 25% del resto y el ltimo da el total. Qurea levant cada da.

5. Una persona gana S/. 3,000. El 20% gasta en alquiler de vivienda. El 60%del resto en alimentacin y el 30% de lo que le sobra en gastos diversos,cunto ahorra?


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6. Un vendedor ganando el 8% de comisin, vende un objeto en S/.1200,otro en 1,600 ganando el 12%; un tercero en S/. 2400 ganando un 15%.Cul fue mi ganancia.

7. Tres personas se asocian para emprender un negocio. El primero impone

5

1del capital; el segundo

3

1del capital y un tercero S/.240,000. Cunto

depsito el primero y el segundo.

8. En una empresa el 60% son varones y el resto damas. Los obreros gananS/. 300 semanal y las damas un 30% menos. Cul es la planilla semanal si

el nmero total es de 1500 trabajadores.


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CAPTULO IV

REGLADEINTERS

Es un problema proporcional que estudia la ganancia o la prdida de los capitalesinvertidos, prestados o depositados.

CLASESSe conocen dos tipos de inters:

1. INTERS SIMPLECuando la ganancia o la prdida del capital, es fijo e invariable durante eltiempo que permanecen: invertidos, prestados o depositados. Esconveniente recordar algunas palabras que se utilizan en la matemticafinanciera.

Dinero.- Son monedas o billetes que se aceptan como medio de pago, portener un respaldo legal.

Capital (c).- Es la suma de dinero, que se presta, invierte o deposita, en

las entidades correspondientes o personas jurdicas.Inters (I).- En el beneficio, utilidad o ganancia al capital.

Capitalizacin.- Es la capacidad de agregar intereses al capital.

Financiacin.- Dinero necesario para efectivizar una empresa.

Ahorros.- Actividad que se utiliza para guardar dinero orientado a unfinanciamiento; inversin o capitalizacin.

Tanto por ciento (%).- Es el inters por cada cien soles. Llevar elsistema anual.

Tiempo (t).- Son los aos, meses, das u horas que los capitalespermanecen, invertidos, prestados o depositados.

El inters simple es muy importante por ser utilizados por el 80%econmicamente activa especialmente en la pequea empresa.


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Divisa.- Moneda del curso legal en los pases extranjeros, comoconsecuencia de transacciones comerciales. Se utiliza para pagarimportaciones, teniendo especial atencin del Banco Central deReserva.

Rentabilidad.- Es la capacidad para producir beneficios: peridicaso temporales, fijas o variables.

Supervit.- Cuando los ingresos son superiores a los gastos.

Dficit.- Opuesta al supervit.

Financiacin.- Capital necesario para una actividad empresarial.

Endeudamiento.- Capital captado de recursos ajenos paradesarrollar una actividad financiera.

PROCESO

Todo capital (c) invertido tiene un inters (I).

Cien soles tiene un inters (%) en determinado tiempo (t).

t

IC

%100 =

Utilizando las propiedades de las proporciones; hallaremoscualquier incgnita.

Esta frmula est calculada en aos. Se recomienda presentar enaos el tiempo. Utilice una simple proporcin geomtrica, segn elcaso.

Ej. Llevar 3 aos, 4 meses, 18 das a aos.

1 mes tiene 30 das.x tendr 18 das.

mesesxxx

xx

6.0;30

18;

30

181;

18

301====

4 meses + 0.6 meses = 4.6 meses.


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29

1 ao tiene 12 meses

x tendr 4.6

383.0;12

6.41== x

xx

t = 3 + 0.383 ; x = 3.383 aos

Nota: Aproximar el tiempo hasta milsimos en todos los casos.

PROBLEMAS

1. Hallar el inters producido con un capital de S/. 36,600; durante 4aos, 7 meses, 15 das, al 9% anual de intereses simples.

c = S/. 36,600t = 4 aos, 7 meses, 15 das.% = 9 anualI = ?

100

%;

%100

tcI

t

IC==

2. Qu capital habr producido un inters de S/. 7,630; durante 2 aos, 5meses, 12 das; al 12% anual de intereses simples.

c = ?I =7630t = 2 a 5 m, 12 d =% = 12 anual

3. Un capital de S/. 84,650 produjo un inters de S/. 16,560 al 14% anual

de intereses simples. Hallar el tiempo.

c = S/. 84,650I = S/. 16,560% = 14 anualt = ?


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30

4. Hallar el tanto por ciento anual de intereses simples de un capital deS/. 215,640; durante 3 aos, 2 meses, 12 das; que produjo un intersde S/. 18,524.

% = ?C = S/. 215,640t = 3 a 2 m, 12 dI = S/. 18,524

MONTO (M)

Se denomina as a la suma del capital ms el inters:

M = C + I

Recordemos%100

IC=

Cambiemos medios:tI

C

%

100=

Utilicemos la propiedad de las proporciones:

t

t

I

IC

%

%100 +=

+

Reemplacemos:t

t

I

M

%

%100+=

Utilizando las propiedades de las proporciones despejamos

cualquiera de las incgnitas.

1. Un ahorrista retir 127,500 luego de 2 aos, 7 meses, 12 das,depositados al 12% anual de intereses simples. Hallar elcapital y los intereses del ahorrista.M = 127,500% = 12 anualt = 2 a 7 m, 12 d = 2C = ?I = ?


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EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. Qu capital habr producido un inters de S/. 16,710 durante 3 aos, 5meses, 18 das, al 9% de intereses simples.

2. Un capital de S/. 323,610 qu inters ganar; durante 3 aos, 18 das,al 14% anual de intereses simples.

3. Un capital de S/. 416,130 gan un inters de S/. 53,160; al 12% anualde intereses simples. Hallar el tiempo.

4. Un capital de S/. 112,500; gan un inters de S/.12,690; durante 1ao, 8 meses, 12 das. Hallar el tanto por ciento anual de interesessimples.

5. Luego de 5 aos, 3 meses, 18 das; un capitalista retir S/. 2689,200;al 18% anual de intereses simples. Hallar el capital y los intereses delcapitalista.

6. Con un inters de 0.9% mensual cunto ganar un capital deS/.531,630; durante 2 aos, 18 das.

7. Un capitalista 4

1

de su capital impreso al 12% anual de intereses

simples. Los8

3al 15% anual de intereses simples; y el resto al 20%

anual de intereses simples. Luego de 3 aos, 24 das, retiraS/.720,680. Hallar los intereses y el capital.

8. Un capitalista impuso6

1de su capital al 1.2% mensual de intereses

simples; 0.03% diario de intereses simples3

1de su capital; y el resto

al 15% anual de intereses simples. Luego de 5 aos, 15 das, retira S/.3645,720. Hallar el capital y los intereses del ahorrista.

9. Se toma S/. 48,000 como hipoteca al 12/ anual de intereses simples.Hallar los intereses mensuales.

10. Hallar el inters producido por S/. 110,000 al % mensual deintereses simples durante 4 meses, 5 das.


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32

11. Hallar la renta diaria de S/. 360,000 al 1/90% diario.

12. El 29 de abril se toma una hipoteca por S/. 900,000 al 5 anual deintereses simples y se devuelve el 20 de julio del mismo ao. Hallarlos intereses.

13. Se pag S/. 600 por un prstamo al 1/3 % mensual de interesessimples; durante 90 das. Hallar el capital.

14. Por qu capital se cancel un inters de S/. 14,500; durante 3 meses, 8das al 2/5% mensual.

15. Hallar el monto producido que a un inters de S/. 17,640 durante 7meses, 12 das, al 2/7% mensual de intereses simples.

16. Se tiene que pagar S/. 700 cada 3 meses por un prstamo deS/.40,000. Hallar el tanto por ciento anual de intereses simples.

17. Qu tiempo estuvo impuesto S/. 46,720 al 12% anual de interesessimples y produjo S/. 1,340.

18. Una persona solicit un prstamo de S/. 36,840 y cancel S/.2,560 deintereses al 8% anual de intereses simples. Otra tom como prstamo

S/.65,721, cancelando S/. 5,680 de intereses al 8% anual de interesessimples. Quin tard ms tiempo.


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CAPTULO V

REGLADEDESCUENTOSIMPLE

Estudia a la letra de cambios.

LETRA DE CAMBIOSEs un documento legal respaldado por la ley que legaliza el crdito.

ELEMENTOS1. Valor Nominal (Vn) es la suma de dinero que se encuentraconsignado en la letra (capital prestado ms intereses).

2. Valor Actual (Va) es la suma de dinero que se cancela al retirar laletra.

3. Descuento (D)es el inters del valor nominal.4. Tanto por ciento (%) es el descuento por cada cien soles.5. Tiempo (t) son los aos, meses o das que faltan para el vencimiento

de la letra desde el momento de cancelacin.

PROCESOTodo valor nominal tiene un descuento si se cancela antes de vencimiento.Cien soles tiene un descuento de un tanto por ciento en determinadotiempo.

T

DVn

%100 = = (en aos)

Utilizando las propiedades de las proporciones, se despeja cualquierincgnita.

Para el valor actual se tiene:

Va = Vn D

t

DVn

%100 = proporcin hallada


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tD

Vn

%

100= (en aos)

t

t

D

DVn

%

%100=

propiedad conocida

Reemplazando:

t

t

D

Va

%

%100 = (en aos)

Por lo general los descuentos se realizan en das; se recomienda observarla fecha que consigna la letra y la fecha de vencimiento (se trabaja con 365das que tiene el ao).

REQUISITOS DE UNA LETRA DE CAMBIO1. Los firmantes deben presentar un documento de identidad (mayores de

edad) realizar la firma sin coaccin.2. Indicar: lugar, da, mes y ao en que se expide la letra.

3. El tiempo en la que se cancelar la letra.4. Indicar plenamente los nombres y razn social del aceptante y el girador.5. Por ejemplo una letra girada el 26 de mayo a treinta dasvence el 25 de

junio y girada a un mesvence el 26 de junio.6. Una letra no pagada es remitida a Notario Pblico para el respectivo

protesto(certificado al no haber sido cancelado). Luego acudir al PoderJudicial para proceder a su cancelacin con los derechos y obligacioneslegales, como: cancelacin al Notario y al abogado defensor.

Endoso, es cuando una letra traspasa la propiedad de una letra a otra persona. Sedenomina endoso por realizar indicaciones al dorso de la letra como son:

nombres, DNI, razn social de la otra persona.

Pagars, son promesas escritas para cancelar el costo de un prstamo ni fechadeterminada. Todo pagar indica:

1. Nombre especfico del pagar.2. La fecha de expedicin; y fecha de pago.3. El valor nominal.4. Nombre y apellidos del otorgante.


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35

5. Nombre y apellidos del tenedor.6. Origen del valor que representa.7. Firma del que controla al pagar.8. Los intereses del pagar es sobre el valor nominal.


1. Una letra fue firmada a 180 das el 3 de enero del 2005; porS/.63,680; al 12% anual de intereses simples. Se cancel el 20 demarzo del mismo ao. Hallar el descuento.

Del 3 de enero al 20 de marzo se tiene 7 das.

t = 180 76 = 104 das; t =365

104 = 0,285

Vn = S/. 63,680

% = 12t

DVn

%100 =

D =100

285.01263680;

100

% xxD

tVn=

D = S/. 2177.86

Va = S/. 63680 2177.86

Va = S/. 61,502.14

2. Una letra fue cancelada 73 das de su vencimiento con S/. 103,748;firmada al 11% anual de intereses simples. Hallar el monto de la letray el descuento.

t

t

D

Va

%

%100=

t

tVaD

%100

%

=


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36

2.011100 2.011103748 xxxD

= (365 : 73)

8.97

6.228245=D

80.333,2./SD =

Vn = S/. 106,081.80

3. Una letra se cancel con un descuento de S/. 5,670; 75 das antes desu vencimiento; firmado al 13% anual de intereses simples. Hallar elValor Actual y Nominal de la letra.

t

DV

t

DVn

n

%

100;

%100 ==

Vn =205.013

1005670

x

x

Vn = S/. 212,757.97 ; Va = S/. 207,087.97

4. Una letra venca el 13 de Julio del 2005 y se cancel con 316,425;hecho el descuento de S/. 2896 y firmado al 14% anual de interesessimples. Qu da se cancel la letra?

Va = S/. 316,425t

t

D

Va

%

%100=

D = 2896

% = 14 Va % t = 100 D D%t

t = ? Va % t + D % t = 100 D

t (Va % + D %) = 100 D


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%%

100

DVa

D

t =14316425

289600

x

t =14289614316425

289600

xx +

t =405444429950

289600

+

t = 0.06478031287 x 365

t = 24 dasSe cancel el 20 de junio del 2005.

5. Hallar el tanto por ciento de una letra pagada 42 das antes devencimiento con S/. 226,386; hecho el descuento de S/. 7967.

Vn = 234083 t = 42 das = 0.115

tDVn%100 = ; % = tVn

D100

% =115.0234083

769700

x

% =55.21919

769700

% = 35 anual de intereses simples.


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PROBLEMAS

1. Una letra se firm por S/. 316,827 al 14% anual de intereses simplesel 7 de mayo del 2005; a 120 das; cancelndose con un descuento deS/. 6,725. Qu da se cancel la letra.

2. Una letra fue cancelada con un descuento de S/. 13,446; al 12%anual de intereses simples y el monto de la letra fue S/. 235,697 yvenca el 12 de junio del 2005, qu da se cancel la letra y qu davenca la letra?

3. Una letra se cancel el 4 de junio del 2005 y venca el 13 de agosto

del mismo ao. El monto de la letra fue 193615; siendo su descuentoS/.2067. Hallar el tanto por ciento anual de intereses simples.

4. Una letra se pag el 12 de mayo del 2005 y venca el 13 de agostodel mismo ao, con un descuento de S/.2308; firmndose al 12%anual de intereses simples. Hallar el monto de la letra.

5. Una letra se pag con S/. 217,319 el 6 de julio del 2005 y venca laletra el 13 de noviembre del mismo ao, firmndose al 8% anual deintereses simples. Hallar el monto de la letra.

6. Una compaa firm tres letras el mismo da por S/. 472,520; los

5

2de la letra al 12%;

5

1al 13% y el resto al 11% anual de intereses

simples. Las letras vencan el 13 de setiembre del 2005. El primerofue cancelado el 06 de junio del mismo ao; el segundo el 20 de

junio y el tercero el 03 de agosto. Hallar los descuentos totales.

7. Una letra venca el 12 de agosto del 2005 y fue cancelado con undescuento de S/. 12,724 y se cancel con S/. 316,827; firmada al

13% anual de intereses simples. Qu da se cancel la letra

8. Hallar el monto por lo que se firm una letra que venca el 8 de delagosto del 2005; firmada al 9% anual de intereses simples ycancelada el 15 de julio del mismo ao con un descuento deS/.4,980.


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9. Cul fue el monto de una letra que venca el 14 de diciembre del2005; descontada al 16% anual de intereses simples; y pagada el 8 denoviembre del mismo ao con un descuento de S/. 1,190.

10. Una letra venca el 14 de octubre del 2005, cancelndose el 4 desetiembre del mismo ao con S/. 59,800; firmada al 9% anual deintereses simples.

11. Una letra fue girada a 90 das el 2 de marzo del 2005 y se cancela el12 de abril del mismo ao con S/. 44,600; al 8% anual de intereses

simples. Hallar el monto de la letra.

12. el 10 de noviembre del 2004 se gira una letra, a 90 das, se cancela el3 de diciembre, al 11% anual de intereses simples; se pag con S/.59,700. Hallar el monto de la letra.

13. Una letra se cancel el 8 de julio del 2005, con S/. 115,790, quevenca el 13 de setiembre del mismo ao con un descuento de S/.5,680. Hallar el tanto por ciento anual de intereses simples.

14. Una letra se firma por S/. 4,000 a 120 das y se recibe S/. 3,808; al

12% anual de intereses simples si el vencimiento de la letra fue el 3de noviembre del 2005. Qu da se pag por la letra.

15. Qu tiempo faltaba para el vencimiento de una letra por S/. 11,400;que se negoci al 12% anual de intereses simples con un descuentode S/.1,008?


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41

CAPTULO VI

PROGRESIONESARITMTICAS

Son un conjunto de nmeros ordenados que se obtienen sumando unnmero constante que se denomina razn aritmtica.

Notacin.- Toda progresin aritmtica se representa:

a, a2, a3........ an

Elementos:

a1 : primer elemento

an : ltimo elemento

r : razn

n : nmero de elementos

S : suma de elementos

Ej.

r = 4 3.7.11.15.19.23.23 .....

Propiedad fundamental.- En toda progresin aritmtica, la suma deelementos equidistantes son iguales.

r = 5; 3 . 8 . 13 . 18 . 23 . 28 . 33

36

36

36


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43

Anualidad TiempoTanto por

unoIntereses Total

a 1 i I1= ai S1= a + ai

a 2 i I2= 2ai S2= a + 2ai

a

.........

.........

a

3

.........

.........

t

i

.........

.........

i

I3= 3ai

.........

.........

In= ait

S3= a + 3ai

.........

.........

Sn= a + ait

S = at +2

)( taitai +

S =2

)1(2 taitat ++

S =2

)]1(2[ ++ tiat(en aos)


1. Con un depsito anual de S/. 3648 qu capital se formar en 3 aos, 4meses, 15 das, al 12% anual de intereses simples.S = ?

a = S/. 3648

t = 3 a 4m, 15 ds = 3.375 aos

% = 12 anual i = 12: 100 = 0.12

S =2

)1375.3(12.02[375.33648 ++x

S = S/. 15,543.9

2. Con qu depsito anual se habr formado un capital de S/. 27,568;durante 4 aos 27 das, al 8% anual de intereses simples.


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44

a = ?

S = S/. 27,568

t = 4a, 27 d = 4.075 aos

i = 0.18 anual

27568 =2

)]07571.4(18.02[)075.4( +a

55136 = a (11.8725125)

a = S/. 4,644

3. Hallar el tanto por ciento anual de intereses simples; por las que, undepsito anual de S/. 5,796 se convirti en S/. 38,698 durante 3 aos,5 meses, 24 das.

% = ?

a = S/. 5,796

S = S/. 38,698

t = 3 a 5 m, 24 d. = 3.483

38698 =2

)]483.4(2[)483.3(5796 i+

468.18720

77396 - 2 = 4.483 I

3.834 2 = 4.483 i

i = 0.4141% anual de inters simple.


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45

4. Un depsito anual de S/. 4,596 se form un capital de S/. 42,328;firmado al 12% anual de intereses simples. Hallar el tiempo.S = 42,328

a = 4,596 42324 =2

)]1(12.02[4596 ++ tt

% = 12 i = 0.125964

64884= t [2 + 0.12 t + 0.12]

t = ?

18.418 = 2.12 t + 0.12 t2

a = 0.12 ; b = + 2.12 ; c = -18.418

X =)12.0(2

)418.18()12.0(44944.412.2

X = )12.0(2

84064.84944.412.2 +

X =24.0

652.312.2

X1= 6.383 aos.

CUANDO LOS DEPSITOS NO SON ANUALES (m)

La frmula queda:

S =2

)]1(2[ ++ mtiamt


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46

donde se representa el nmero de depsitos.

mensual : m=12

bimestral : m=16

trimestral : m=4 (un ao tiene 4 trimestres)

1. Qu suma de dinero se retirar con un depsito bimestral de S/.1,315;durante 3 aos, 2 meses, 12 das, al 12% anual.

S = ?

m = 6 meses

a = S/. 1815

t = 3 a, 2m , 15 d = 3.208

S =2

)]1208.36(12.02[208.318156 ++ xxx

S =

2

42976.412.34935 x

S = S/. 77,377.10


1. Cul ser el capital formado con un depsito anual de S/.31,624;durante 3 aos, 7 meses, 6 das; al 8% anual de intereses simples.

2. Qu capital se habr formado con un depsito trimestral de 4,215;durante 3 aos, 9 meses; al 11% anual de intereses simples.

3. Con qu depsito anual, se habr formado un capital de S/. 397,124;durante 3 aos, 18 das, al 13% anual de intereses simples.

4. Con qu depsito mensual se habr formado un capital de S/.816,324durante 4 aos, 5 meses; firmado al 14% anual de intereses simples.


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5. Cul fue el tiempo con las que se form un capital total deS/.2646,328; con un depsito anual de S/. 315,826; firmado al 15%anual de intereses simples.

6. Cul fue el tiempo, en las que, con un depsito bimestral de S/.63,417se form un capital de S/. 1623,314 firmado al 8% anual de interesessimples.

7. Hallar el tanto por ciento anual de intereses simples; con las que seform un capital de S/. 915,639; mediante un depsito anual deS/.169,315 durante 5 aos, 18 das.

8. Hallar el tanto por ciento anual de intereses simples; por lasque seform un capital de S/. 916,314; con un depsito semestral deS/.112,318; durante 3 aos, 3 meses.

ANUALIDADES DE AMORTIZACIN

Son depsitos fijos e invariables que se utilizan para cancelar un prstamoo un bien recibido.

ELEMENTOS

Anualidad (aa).- Son los depsitos fijos e invariables que se utilizan paracancelar un prstamo o un bien recibido.

Capital o monto recibido (CR).-Es el capital o bien recibido con todos

sus intereses.

Tiempo (t).- Son los aos, meses y das utilizados para cancelar el capitalo el bien recibido.

Tanto por uno (i).- Es el inters porcada nuevo sol.


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49

2. Con qu depsito anual se habr cancelado un prstamo deS/.725,618 durante 4 aos, 21 das, firmado al 11% anual deintereses simples.

S = S/. 725,618

t = 4.058 aos S =2

)]1(2[ + titac

i = 0.11

aa= ? 725618 =2

)058.3(11.02[)058.4( +ca

ac=481.9

1451236

3. Hallar el tiempo en la que se cancel un prstamo de S/.836,318; conun depsito anual de 108,714; firmado al 8% anual de interesessimples.t = ?

S = S/. 836,318

a = S/. 108,714

% = 8; i = 0.08

836,318 =2

])1(08.02[108714 + tt

15.386 = 2t + 0.08t2 0.08t

0.08t2+ 1.92 t 15.386 = 0

t =16.0

9232.46864.392.1 +

t =16.0

9342.292.1


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50

t = 16.0

0142.1

t = 6.33875

t = 6 aos, 4 meses, 2 das

4. Hallar el tanto por ciento anual de intereses simples, por las que se

cancel un prstamo de S/. 742,516 con un depsito anual de109,516 durante 5 aos, 9 meses, 18 das.

% = ?

S = S/. 742516 S =2

])1(2[ + titac

a = S/. 109,516

t = 5 aos, 9 meses, 18 das = 5.8 aos

742516 =2

)]8.4(2[)8.5(109516 i+

2.338 = 2 + i (4.8)

0.338 = 4.8i

i =

8.4

338.0

i = 0.07 x 100

% = 7 anual de intereses simples.

Aclaracin.- Si los depsitos no son anuales; se utiliza la variable m

mensual : m = 12

semestral : m = 6


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51

trimestral : m = 4

bimestral : m = 6

semanal : m = 52

diario : 365

y la frmula ser:

S =2

)]1(2[ + mtitmac


1. Con un depsito anual de S/. 237,896; qu prstamo se habrcancelado, durante 4 aos, 3 meses, firmado al 12% anual deintereses compuestos.

2. Con qu depsito anual se habr cancelado un prstamo deS/.416,315 durante 3 aos, 24 das, firmado al 11% anual de

intereses compuestos.

3. En qu tiempo se habra cancelado un prstamo de S/. 216,328 conun depsito anual de S/. 76,560; firmado al 10% anual de interesessimples.

4. Con un depsito anual de 79,567 se cancel un prstamo de 318,724durante 3 aos, 1 mes, 12 das. Hallar el tanto por ciento anual deintereses simples.

5. Con un depsito trimestral de S/.43,678 se cancel un prstamo deS/.596,758; durante 3 aos, 18 das. Hallar el tanto por ciento anualde intereses simples.

6. Con qu depsito bimestral se habr cancelado un prstamo de S/.926,315; durante 2 aos, 3 meses firmado al 8% anual de interesessimples.


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52

7. Con un depsito semestral de S/.24,578 se cancel un prstamo deS/. 24,578 se cancel un prstamo de S/. 975,427; firmado al 11%anual de intereses simples. Hallar el tiempo.

8. Hallar el tanto por ciento anual de inters simples; por las que secancel un prstamo de S/. 875,614 con un depsito semestral deS/.86,528; durante 2 aos, 7 meses, 15 das.


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CAPTULO VII

EXPRESIONESEXPONENCIALES

Potencia de un nmero.- Es la operacin que consiste en hallar unnmero, multiplicado por s mismo, tantas veces por s mismo como indicaotro nmero llamado exponente.

an

= a x a x a x a ......................... n veces35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

5 veces

PROPIEDADES FUNDAMENTALES

1. Todo nmero con exponente cero es igual a la unidad.a0= 1

(a + bx)0= 1anb0cm= ancm

2. Todo nmero con exponente uno (1) es igual al mismo nmero.a1= a

Nota: Si a una expresin o un nmero no se le indica exponente: esuna.

3. Todo nmero con exponente negativo es igual al inverso del nmerocon exponente positivo.

a-1=a

1


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54

1

1a = a

a

b

b

a=

1

a2x-3 =3

2

a

a x

4. Para multiplicar expresiones de la misma base, se suman losexponentes:

a2x a5 = a7

(a2x + 3) (a3x 5) = a5x + 8

5. Para dividir expresiones de la misma base, se restan los exponentes:a5: a2= a5-2 = a3

(a

3x 4

) : (a

x 2

) = a

2x 2

(ax 6) : (a2x 8) = a2 x

6. Para elevar a una potencia expresiones exponenciales, se multiplicanel exponente por la potencia.

(a2)3 = a6

(a2x-3)5= a10x 15

(ax-5)3x= a3x2 15x

7. Para hallar la raz de una expresin exponencial; se divide elexponente de la expresin entre el ndice de la raz

24 aa =

33 aax x =

233 69 2 = xx xx aa


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55

8. Para ingresar una expresin en un radical, se multiplica, elexponente por el ndice.

42 22 aa =

242 55 xx aa =

xxx aaa 73 =

9. En toda igualdad, si las bases son iguales; los exponentes soniguales. Si los exponentes son iguales, las bases son iguales.

DESARROLLO DE ECUACIONES EXPONENCIALES

1. (ax)x = (a37)3

2. (ax)x = (a32)2

3. (ax)3 = (ax)x

4. (ax)7 = (ax)x

5. ax = (ab-x)x

6. (7 4 -x)5 x= 1

7. (106-x)5-x = 100

8.x

x aa =

9. xx aa =4

10. xx aa =3 27

11. 100 x 10x= x 51000

12. 2x+1 + 4x= 80

13. 2x+ 4x = 272

14. 2x+3 + 4x+1 = 320

15. 3x+2 + 9x+1 = 810

16. 2x+3 1152 = -2x

17. 4x+1 + 43-x= 257

18. 16x= 100 x 4x-1

19. 22+x + 22-x= 17

20. 32x+3 32x+1= 32x+2


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56

21. 3x+ 3x-1+ 3x-2+ 3x-3 + 3x-4 = 121

22. 3

3x -323 x = 216

23. 103

333

141

=+

+

+

x

xx

24. ( ) 2 42 =xx


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57

CAPTULO VIII

LOGARITMOS

DEFINICIN

Se denomina, logaritmo de un nmero al EXPONENTE a la que se debeelevar a un nmero llamado base, para encontrar el nmero dado (la basedebe ser positiva y diferente del nmero uno).

an= c; log c = n

TIPOS DE LOGARITMOS

Los tipos de logaritmos, dependen de la base. En consecuencia, existeninfinidad de tipos de logaritmos.

Sin embargo, dos matemticos calcularon sus logaritmos.

1. Logaritmos naturales o Neperianos cuya base es el nmero e

71828183.2!

1..............

!2

1

!1

11 =+++=

ne

2. Logaritmos vulgares o de Briggs, cuya base es el nmero diez

y = 10x log y = x ; se conoce

que diez es la base 10 representndose:

x = log y

Consecuentemente:

y = ex Lney = x


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58

Representndose x = Lny

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1. En todo sistema logartmico de la base es uno (1) y el logaritmo dela unidad es cero (0).

2. Los logaritmos de los nmeros mayores que la unidad son positivos,y al crecer indefinidamente el nmero, crece indefinidamente ellogaritmo.

3. Los logaritmos de los nmeros menores que la unidad son negativos;el nmero al aproximarse a cero (0) se aproxima el logaritmo amenos infinito (-).

4. Los nmeros negativos carecen de logaritmo real. Tienen logaritmoimaginario.

5. El logaritmo de un producto es igual: a la suma de sus logaritmoslog (a x b) = log a + log b

Ln (a x b) = Lna + Lnb

6. El logaritmo de un cociente es igual: al logaritmo del dividendomenos el logaritmo del divisor

Log bab

aloglog =

Ln bLnaLnb

a=

7. El logaritmo de una potencia, es igual: a la potencia por ellogaritmo de la base

Log ax = x log a

Ln ax= x Ln a


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59

8. El logaritmo de una raz es igual: al logaritmo de la expresin sub-radial, dividido entre el ndice de la raz.

Logn

aan

log=

Lnn

aLnan =

ECUACIONES LOGARTMICAS

1. logx = log24 log 8

2. 2log x = log192 + log4

3

3. logx = 3log18 4log12

4. 5 logx = log288 + 3log2

x

5. x2+ y2= 425

logx + logy = 26. x4+ y4= 641

2logx + 2logy = 2

7. logx + logy = 3

5x2 3y2= 11300

8. log x - log 5 = 0.5

3logx + 2logy = 1.505150

9. 2logy logx = 0,124939log3 + 2logx + logy = 1,732393

10. x + y = 65

logx + logy = 3

11. logx log5 = log10

logx3+ logy2= log32

12. 53x-2y = 3125

116x-7y = 14641

13. logx + logy =2

3

logx logy =2

1

14. 3x

x 4y

= 39813122yx 5x= 400000

15. x yx + = 2

(x + y) x 3x= 279936


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60


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61

CAPTULO IX

INTERSCOMPUESTO

Estudia la ganancia o la prdida de los capitales prestados o depositados de

tal modo que los intereses se capitalizan y ganan o pierden nuevos

intereses.

ELEMENTOS

1.

CAPITAL INICIAL (C) es la suma de dinero que se deposita paraformar un capital.

2. CAPITAL TOTAL (S) es igual al capital inicial, ms sus intereses.

3. TIEMPO (t) son los aos, meses o das que permanecen los capitales:invertidos, prestados o depositados.

4. TANTO POR UNO (i).- Es el inters por cada nuevo sol.

5. TANTO POR CIENTO (%).- Es el inters por cada cien soles.

DEMOSTRACIN DE LA FRMULA1. Recordemos el inters simple:

100

%;

%100

tCI

t

IC==

I = C i t

Capital Tiempo Tanto poruno

Inters Total

C 1 i I1= Ci C + Ci

C (1+i) 1 i I2= C (1+i) i C(1+i) i + C (1+I) i

C (1+i)2.

.

.

1 i I3= C (1+i)2i C(1+i)2+ C (1+I)3

Todos los ejercicios se desarrollan por logaritmos.

S = C (1 + i)t en aos


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62

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Con un depsito inicial de S/. 407,624 qu capital se habr formado durante

4 aos, 7 meses, 6 das; firmados al 12% anual de intereses compuestos:

S = ?

C = S/. 407,624 S = C (1 + i)t

t = 4 a 7 meses, 6 das = 4.6

% = 12; i = 0.12

Los S = log407624 + 4.6 log 1.12

Log 407624 = 5.610259746

4.6 log 1.12 = 0.22640290435.8366626503

S = S/. 686534.95

2. Con qu depsito inicial, se habr formado una capital de S/. 836,548;

durante 3 aos, 27 das, firmado al 14% anual de intereses compuestos.

C = ?

S = 836548 S = C (1 + i)t

t = 3 aos, 27 das = 3.074% = 14 anual; i = 0.14

836548 = C (1.14)3.074

log836548 = log C + 3.074 log 1.14

log 836548 = 5.922490865 -

1.14 log 3.074 = 0.174925513

5.747515352

C = S/. 559,133.29

3. Con qu tanto por ciento se habr convertido un capital S/.346,596 enS/.506,493; durante 4 aos, 9 meses.

% = ?

C = S/. 346,596

S = S/. 506,493

t = 4 aos, 9 meses = 4.75

log 506493 = log346596 + 4.75 log (1+i)

log 506493 = 5.704573448


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63

log 346596 = 5.539823506

0.164749942: 4.75

log (1+I) = 0.034668419832

1 + i = 1.0831

i = 0.0831

8.31% anual de intereses compuestos.

4. Hallar el tiempo en la que, un depsito inicial de S/.439,568, se convirti en

S/. 712,154; firmado al 14% anual de intereses compuestos.

t = ?

C = S/. 439,568 S = C (1 + i)t

S = S/. 712,154

% = 14; i = 0.14

712,154 = 439,568 (1.14)t

log712154 = log439568 + t log 1.14

log712154 = 5.852573918

log439568 = 5.643026069

0.209547849log 1.14 = 0.056904851

t = 3.682


CAPITALIZACIN NO ANUAL (m)Se multiplica el tiempo de debido sistema de capitalizacin y se divide entre el

mismo, el tanto por ciento anual.

Mensual = 12 veces al ao.Bimestral = 6 veces al ao.

Trimestral = 4 veces al ao.

Semestral = 2 veces al ao.

S = Cmt

m

+

11


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64

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Con un depsito inicial de S/. 639,513; en cunto se convertir;

durante 4 aos, 6 meses, 15 das; capitalizndose mensualmente al 8%

anual de intereses compuestos.

C = S/. 639,513

S = ?

t = 4 aos, 6 meses = 4.5

% = 8 anual; i = 0.08

m = 12 veces

S = Cmt

m

+

11

S = 639513 (1.006666667)12 x 4.5

LogS = log639513 + 54log 1.006666667

Log639513 = 5.805849377 +

54log 1.00666666 = 0.155827173

5.961676550

S = S/. 915,558.37

2) Hallar el depsito inicial por las que, se form un capital de

S/.747,596; durante 3 aos, 2 meses, 18 das; firmado al 12% anual de

intereses compuestos; capitalizndose semestralmente

S = Cmt

m

+

11

S = S/. 747,596

t = 3 aos, 2 meses, 18 das = 3.217 aos

% = 12; m

i

= 2

12.0

= 0.06mt = 3.217 x 2 = 6.434

log747596 = logC + 6.434log 1.06

log747596 = 5.873666969

6.436log 1.06 = 0.162868548

5.710798421

C = S/. 513,805.11


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65

3) En qu tiempo un capital inicial de S/. 416,715; se convirti en S/.

698,560 capitalizndose trimestralmente, al 15% anual de intereses

compuestos.

S = S/. 698,560

C = S/. 416,715 S = Cmt

m

+

11

m = 4 veces

% = 15 m =4

15.0

log698560 = log416715 + 4t log(1.0375)log698560 = 5.844203714 -

log416715 = 5.619839134

0.224364580

t = 0.224364580 .

0.063952422

t = 3.508


4) Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos de un capitalde 325,937; que se convirti en S/. 572,624 en 3 aos 15;

capitalizndose semestralmente.

% = ?

C = S/. 325,937 S = Cmt

m

+

11

S = S/. 572,624

t = 3 aos, 15 das = 3.042

m = semestralmente: 2 veces

m

i=

2

i S = C

mt

m

+

11

572 624 = 325 937042.32

21

xi

+

log572624 = log325937 + 6.083log

+

21

i


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66

5.757869546 - 5.513133664 = log

+

21 i

6.083

0.04023276048 = log

+

21

i

1.097066012 = 1 +2

1

0.097066012 x 2 = i

i = 0.1941 19.41%

EJERCICIOS PARA DESARROLLAR

1. Con qu depsito inicial se form un capital de S/. 915,624; durante 3

aos, 4 meses, 15 das; al 14% anual de intereses compuestos.

2. Con un depsito inicial de S/. 596,315; qu capital se formar durante

4 aos, 3 meses; firmado al 12% anual de intereses compuestos.

3. Con un depsito inicial de S/. 426,539 se form un capital de

S/.714,216 firmado al 13% anual de intereses compuestos. Hallar el

tiempo.4. Con un depsito inicial de S/. 538,916 se form un capital de

S/.796,741 firmado al 6% anual de intereses compuestos. Hallar el

tiempo.

5. Con un depsito inicial de S/.639,586 se form un capital de

S/.815,742; durante 2 aos, 4 meses, 18 das. Hallar el tanto por

ciento anual de intereses compuestos.

6. Un capital inicial de S/. 236,899; en cunto se convertir; durante 4

aos, 1 mes, 18 das; firmado al 12% anual de intereses compuestos;

capitalizndose mensualmente.

7. Cul fue el capital inicial para retirar S/. 939,512; luego de 3 aos, 24

das; capitalizndose bimestralmente al 13% anual de intereses

compuestos.

8. Un capital inicial de S/. 594,615 se convirti en S/. 916,943;

capitalizndose semestralmente; firmado al 8% anual de intereses

compuestos. Hallar el tiempo.


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67

9. Un capital inicial de S/. 624,398 se convirti en S/.879,618 durante 3

aos, 4 meses, 12 das; capitalizndose bimestralmente. Hallar el

tanto por ciento anual de intereses compuestos.

10. Con qu depsito inicial, se form un capital de S/. 975,314; durante

2 aos, 7 meses, 24 das, capitalizndose mensualmente al 12% anual

de intereses compuestos.

11. Con un depsito inicial de S/. 794,563 se form un capital de

S/.996,618; capitalizndose semestralmente y firmado al 15% anual

de intereses compuestos. Hallar el tiempo.

12. Un capital inicial de S/. 534,217 se convirti en S/. 934,715;

capitalizndose trimestralmente durante 3 aos, 9 meses, 27 das.

Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos.

13. Cul fue el monto retirado, luego de 3 aos, 4 meses, 27 das;

capitalizndose mensualmente; al 8% anual de intereses compuestos

y, con un capital inicial de S/. 389,568.

14. Con qu depsito inicial, luego de 4 aos, 3 meses, 18 das; se retir

un monto de S/. 917,724; al 9% anual de intereses compuestos,

capitalizndose bimestralmente.

15. Cul fue el tanto por ciento anual de intereses compuestos; para que,un depsito inicial de S/. 517,324; se convierta en S/. 935,314 durante

4 aos, 3 meses, 12 das, capitalizndose trimestralmente.

16. Durante 3 aos, 6 meses, 3 das un capital inicial de S/. 416,715; se

convirti S/. 698,560; firmado al 15% anual de intereses compuestos.

Hallar el perodo de capitalizacin.

17. Hallar el perodo de capitalizacin por la que, un capital inicial de

S/.513,805; se convierta en S/. 747,596; durante 3 aos, 2 meses, 18

das; al 12% anual de intereses compuestos.

18. Un depsito inicial de S/.: 628,578 se convirti en S/. 975,814; luegode 3 aos, 6 meses, 21 das, capitalizando semestralmente. Hallar el

tanto por ciento anual de intereses compuestos.

19. Un capital inicial de S/. 316,824 aument en un 50% durante 4 aos, 3

meses, 24 das; capitalizndose mensualmente. Hallar el tanto por



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68

20. Un depsito inicial de S/. 416,318 se increment en un 40% luego de

3 aos, 27 das; capitalizndose mensualmente.- Hallar el tanto por



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69

CAPTULO X

DESCUENTOCOMPUESTO

Se denomina as, cuando el valor actual se convierte en valor nominal,

cada cierto tiempo de descuento.

ELEMENTOS1. VALOR NOMINAL (Vn).- Es la suma de dinero que fija la letra;

como consecuencia del dinero prestado o el valor recibido.2. DESCUENTO (D).- Es el inters del valor nominal en el tiempo

que fija la letra y el da de cancelacin.

3. VALOR ACTUAL (Va).- Es la suma de dinero que se cancela alretirar la letra. En algunos casos se realiza la cancelacin

secuencialmente (diario, quincenal, mensual, trimestral, semestral,

etc).

4. TIEMPO (t).- Se utiliza desde el da de cancelacin hasta elvencimiento de la letra.

5. TANTO POR CIENTO (%).- Es el inters por cada cien soles.

6. TANTO POR UNO (i).- Es el inters por cada nuevo sol.100

%=i

DEMOSTRACIN DE LA FRMULA

Recuerde: Vn Va = D

t

DVn

%100 = ; D = 100

%tVn

; i = 100

%

D = Vn i t


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70

ValorNominal Tanto poruno Tiempo Descuento Valor Actual

Vn i 1 D1= Vni Vn Vni

Vn (1 - i) i 1 D2= Vn (1-I)i Vn(1-i) Vn(1-i) i

Vn (1 - i)2 i 1 D3= Vn (1-I)2i Vn(1-i)2 Vn(1-i)2i

Vr = Vn (1 - i)t descuento anual

Todos los ejercicios se realizan con logaritmos.

PROBLEMAS Y EJERCICIOS1. Una letra fue firmada por S/. 126,572; al 16% anual de intereses

compuestos; y fue cancelada 48 das antes de su vencimiento. Cunto

se cancel por la letra.

Vn = S/. 126,572

i = 0.16 Va = Vn (1-i)t

t = 48 das = 0.133Va = ?

Va = 126572 (0.84)0.133

Log Va = Log126572 + 0.133 log 0.84

Log Va = 5.102337643 - 0.01007085495

Log Va = 5.092266788

Va = S/. 123670.69

2. Por qu suma de dinero se firm una letra, que fue cancelada conS/.253,796 65 das antes de su vencimiento y firmado al 15% anual

de intereses compuestos.

Vn = ?

Va = S/. 253796 Va = Vn [1 i]t

t = 65 = 0.181

i = 0.15

253796 = Vn (1 0.15)0.181


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71

log 253796 = logVn + 0.181 log0.85

5.404484773 0.181 log 0.85 = LogVn

5.404484773 + 0.01277517445 = LogVn

Log Vn = 5.417259947

Vn = S/. 261,372.53

3. Una letra se firm por S/. 387,915 y se cancel con 379,108; firmado

al 16% anual de intereses compuestos. Cuntos das antes de su

vencimiento fue cancelado?

Vn = S/. 387,915

Va = S/. 379,108 Va = Vn (1- i)t

i = 0.16

t = ?

log379108 = log387915 + t log 0.84

t = 5.578762949 - 5.588736573

-0.07572071394

t = - 0.009973624

- 0.07572071394t = 0.132 x 365

t = 48 das antes de su vencimiento.

4. Una letra fue firmada por S/. 383,724 y cancelada en S/. 315,247, 8

das antes de su vencimiento. Hallar el tanto por ciento anual de


Vn = S/. 383,724 Va = Vn (1 i)t

Va = S/. 315,247

t = 58 das; t = 0.159% = ?

log 315247 = log 383724 + 0.157 log (1-i)

5.498650962 - 5.584018963 = log (1 I)

0.157


73/149


72

- 0.085368001 = log (1 i)

0.157

- 0.5437452293 = log (1 i)

0.2859267387 = 1 i

+ 0.7140732613 = t i

71.4 %

5. Una letra fue firmada el 13 de febrero del 2005; a 120 das; y fue

cancelada el 23 de mayo del mismo ao con S/. 316,826; firmada al

14% anual de intereses compuestos. Por cunto se firm la letra.

Va = S/. 316,826

Vn = ?

% = 14; i = 0.14

t = 21 t = 0.05753424658

Vn = Vn (1 i)t

Log316826 = logVn + 0.058 log 0.86

5.500820814 + 0.003799089828 = logVn5.504619904 = logVn

Vn = S/. 319,609.67

6. Una letra fue firmada el 13 de marzo del 2005 y se cancel el 17 de

julio del mismo ao con S/. 416,724; el descuento fue de S/. 85,698;

firmado al 15% anual de intereses compuestos. Cundo venca la letra

y cul fue el plazo de cancelacin.

Va = S/. 416,724Vn = S/. 502,422 Va = Vn (1 i)t

% = 15; i = 0.15

t = ?

log416724 = log502422 + t log 0.85

5.619848513 - 5.701068648 = t

-0.07058107429

Febrero 15Marzo 31Abril 30Mayo 23

99120

9921

Marzo 18Abril 30Mayo 31Junio 30Julio 17 126


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73

- 0.081220135 = t

- 0.07058107429

t = 1.15 x 365

t = 420 das + 126 das

t = 546 das de plazo

venca el 15 de enero del 2007.

CUANDO EL DESCUENTO NO ES ANUAL (m)Mensual m = 12

Bimestral m = 6

Trimestral m = 4

Semestral m = 2

Va = Vnmt

m

+

11

CUANDO EL DESCUENTO NO ES ANUAL

1. Una letra fue firmada por S/. 274,865 al 12% anual de intereses

compuestos, descontndose mensualmente; y, pagada 56 das antes de

su vencimiento. Con cunto se pag la letra.

Va = ?

Vn = S/. 274,865 Va = Vnmt

m

+

11

% = 12 ; i = 0.12

m = 12t = 56 das = 0.153

log Va = log274865 + log153.012

12

12.01

x

Log Va = 5.439119442 + log (1 0.1)1.836

Log Va = 5.439119442 0.008013782719

Va = S/. 269,839.58

Julio 14Agosto 30Setiembre 30Octubre 31

Noviembre 30Diciembre 31Enero 31

197


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74

2. Por qu suma de dinero se firm una letra, cancelada con S/. 397,542;

2 meses, 5 das antes de su vencimiento y firmada al 14% anual de

intereses compuestos, descontada bimestralmente.

Vn = ?

Va = S/. 397,542 Va = Vnmt

m

+

11

t = 2m 5 ds = 65 das = 0.178

% = 14 ; i = 0.14

m = 6

3975 42 = Vn178.06

6

14.01

x

log397542 = LogVn + 1.068 log 0.97667

5.599383048 = logVn 0.01094929848

log Vn = 5.610332317

Vn = S/. 407,692.12

3. Una letra firmada por S/. 563,798 descontada bimestralmente se

cancel con S/. 512,897; firmada al 14% anual de interesescompuestos. Si se cancel el 12 de julio del 2005. Qu da venca la

letra?

Vn = 563798

Va = 512,898 Va = Vnmt

m

+

11

% = 14; i = 0.14

t = ?

m = 6

Log512898 = Log563798 + 6t log 0.9766665.710031006 = 5.751123531 - 0.0615218061 t

t = - 0.041092525

- 0.615218061

t = 0.668 x 365

t = 244 das

antes de vencimiento

venca el 13 de mayo del 2006.


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75

4. Una letra firmada por S/. 538,963; se cancel con 498,563 el 13 de

junio del 2005 y venca el 17 de octubre del mismo ao;

descontndose trimestralmente. Hallar el tanto por ciento anual de


Vn = S/. 538,963

Va = S/. 498,563

m = 4 Va = Vnmt

m

+

11

t = 126 das = 0.345% = ?

log 498563 = log538963 + 1.38 logmt

m

+

11

5.697720045 5.731558952 = log Vnmt

m

+

11

1.38

-0.0245209471 = log

4

1 i

0.9451 = 1 -4

i

4

i= 1 0.9451

4

i= 0.0549

i = 0.2196

21.96%


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76

EJERCICIOS Y PROBLEMAS1. Una letra se firm por S/. 427,816 al 15% anual de intereses

compuestos y se cancel 68 das antes de su vencimiento. Hallar el

costo que se pag.

2. Una letra se cancel con 715,823 82 das antes de su vencimiento,

firmado al 12% anual de intereses compuestos. Hallar el monto de la

letra.

3. En una letra de cambio se consign S/. 793,417; firmando al 14%

anual de intereses compuestos y se pag con S/. 764,929. Hallar el

da de vencimiento, si se cancel el 13 de julio del 2005.

4. Una letra venca el 7 de setiembre del 2005 y se cancel el 12 de

junio del mismo ao, con S/. 674,715. Si el monto de la letra fue S/.

715,628. Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos.

5. Una letra fue descontada mensualmente y se pag con S/.618,965;

58 das antes de su vencimiento, firmado al 15% anual de intereses

compuestos. Cul fue el monto de la letra.

6. Una letra fue firmada por S/. 936,715 para ser descontada

bimestralmente y fue pagada 68 das antes de su vencimiento al

16% anual de intereses compuestos. Hallar con qu suma de dinerose cancel la letra.

7. Cunto tiempo antes de su vencimiento se cancel una letra por

S/.975,824; con S/. 926,348; firmada al 15% anual de intereses

compuestos; descontada trimestralmente.

8. Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos, por las

que, una letra firmada por S/. 697,829 se cancel con S/.635,978;

62 das antes de su vencimiento y descontada semestralmente.

9. El 23 de abril del 2005 se firm una letra a 180 das, por S/.629,315

y se cancel con S/. 607,827; descontada mensualmente y firmadaal 14% anual de intereses compuestos. Hallar qu da se pag la

letra.

10. El 15 de julio del 2005 se cancel una letra firmada por S/.607,915

y la letra venca el 14 de noviembre del mismo ao; descontndose

bimestralmente al 16% anual de intereses compuestos. Hallar el

valor actual de la letra.


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77

11. Una letra venca el 7 de diciembre del 2005 y fue cancelada con

S/.915,715; habindose firmado por 928,835 al 16% anual de

intereses compuestos, descontndose trimestralmente. Qu da se

cancel la letra.

12. El 15 de agosto del 2005 se cancel una letra con S/. 938,575;

firmado al 14% anual de intereses compuestos y descontada

semestralmente; si el descuento fue de S/. 3,569. Qu da venca la

letra.

13. Una letra venca el 15 de agosto del 2005; y se cancel con

S/.745,396 hecho el descuento de S/.3,646; descontada

trimestralmente y firmada al 12% anual de intereses compuestos.

Qu da se cancel la letra.

14. Una letra se firm por S/. 974,869 el 13 de julio del 2005 y venca

el 3 de noviembre del mismo ao; firmada al 12% anual de intereses

compuestos. Se fue descontada trimestralmente; cul fue el

descuento de la letra.

15. Una letra tuvo un descuento de S/. 5,680; cancelada 65 das antes de

su vencimiento y descontada semestralmente; firmada al 15% anual

de intereses compuestos. Hallar el monto de la letra.16. El 16 de mayo del 2005 se firm una letra por S/. 986,715;

descontndose mensualmente; teniendo un descuento de S/. 36,290

y firmado al 14% anual de intereses compuestos. Si la letra tena

240 das de plazo para cancelar. Qu da fue pagada?

17. Al 12% anual de intereses compuestos se firm una letra el 13 de

abril del 2005; descontndose bimestralmente y tuvo un descuento

de S/.3,845 de un monto por S/. 987,825. Si la letra tena un plazo

de 250 das para ser cancelada. Qu da se pag y cundo venca?.

18. Hecho el descuento de S/. 1,865 se cancel una letra conS/.497,785; 65 das antes de su vencimiento. Hallar el tanto por


19. Una letra fue firmada el 13 de mayo del 2005; a 240 das por

S/.839,680; se cancel con un descuento de S/.1,380; firmada al

12% anual de intereses compuestos y descontado bimestralmente.

Qu da se cancel la letra?


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78

20. Una letra se firm por S/. 825,416 y fue cancelada el 14 de junio

del 2005; con un descuento de S/. 3,568 descontada mensualmente y

firmada al 14% anual de intereses compuestos. En qu fecha venca

la letra?.


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79

CAPTULO XI

PROGRESIONESARITMTICAS

Son conjuntos de nmeros ordenados que se obtienen multiplicando un

nmero constante llamado razn geomtrica.

NOTACIN.- Toda progresin geomtrica se representa:

: a1: a2: a3: ..................... an

Elementos:

a1 : Primer trmino.

an : ltimo trmino.

q : razn.

n : nmero de elementos.

S : suma de elementos.

SUMA DE ELEMENTOSSea la progresin geomtrica.

a1: a2: a3: : : : : : : : : : : an

La suma ser:

1) S = a1 + a2 + a3 + .. a4

multiplicando por la razn.

a) Sq = a1q + a2q + a3q + :::::::::::::::: + anq

- S = - a1 - a2- a3 . - an

___________________________________________

Sq S = -a1 + anq

S (q 1) = anq - a1

S = anq a1

q 1


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80

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONESSon depsitos de dinero e invariables que se utilizan para formar un

capital, o cancelar un prstamo o un valor recibido; a intereses

compuestos.

Cuando se forma un capital, se denomina: Anualidades de capitalizacin.Cuando se cancela un capital prestado o se cancela un bien recibido, se

denomina: Anualidades de amortizacin.

ANUALIDADES DE CAPITALIZACINSon depsitos fijos e invariables de dinero que se utilizan para formar un

capital, a intereses compuestos.

Elementos:

1. Anualidad (a) es el depsito fijo e invariable que se utiliza paraformar un capital.

2. Capital Total (S) es la suma de dinero que corresponde a todas las

anualidades ms sus intereses compuestos.

3. Tiempo son los aos, meses o das que se utilizan para formar elcapital.

4. Tanto por uno (i) es el inters por cada nuevo sol.

DEMOSTRACIN DE LA FRMULA


uno Capital con interesesa1 t i S1= a1(1 + i)

t

a2 t - 1 i S2= a2(1 + i)t-1

a3 t - 2 i S3= a3(1 + i)t-1

. . . .

. . . .

a 1 i Sn= a (1 + i)


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81

S = anq a1 suma de elementos de una progresin geomtrica

q 1

11

)1()1()1(

+

+++=

i

iaiiaS

t

;i

iiaS

t 1)1)(1( ++= en aos

i

m

i

m

i

amS

mt

+

+=

111 en: meses, bimestres, trimestres, etc.


1. Con un depsito anual de S/. 172,569 qu Capital se habr formado,

durante 4 aos, 3 meses, 18 das, firmado al 12% anual de intereses

compuestos.

a = S/. 172,569

t = 4 a 3 m 18 ds. = 4.3 aos S = a (1+i) [ (1+i)t 1 ]

i = 0.12 i

S = ?

S = 172569 (1.12) [ (1.12)4.3 1]

0.12

S = 172569 (1.12) (0.628)

0.12

logS = log 172569 + log 1.12 + log 0.628 log 0.12log 172569 = 5.236962782

log 1.12 = 0.04921802267

log 0.628 = - 0.2020403563

log 0.12 = +0.920818754

log S = 6.004959202

S = S/. 1011,484.43


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82

2. Hallar el depsito anual con la que se form un capital de

S/.978,624 durante 3 aos 24 das; firmado al 15% anual de

intereses compuestos a=?

15% anual de intereses compuestos.

a = ?

S = S/. 978,624 S = a (1+i) [ (1 + i)t 1]

t = 3 a 24 ds; t = 3.066 i

i = 0.15

log978624 = log a + log 1.15 + log 0.535 log 0.15

5.990615862 0.06069784035 + 0.271646218- 0.8239087409 = log4

a = S/. 238,591.79

3. Con un depsito anual de S/. 196,578 se form un capital de

875,698 durante 3 aos, 2 meses , 24 das. Hallar el tanto por ciento

anual de intereses compuestos.

a = S/. 196,578

S = S/. 875,698 3 + 3i + i2

t = 3 a 2m 24 ds. 1 + it = 3.233 3 + 3i + i2

% = ? 3i + 3i2+ i3

3 + 6i + 4i2+ i3

875698 = 196578 (1+i) [ (1+i)3 1]

i

875698 = (1 + i) [ 1+ 3i + 3i2+ i3 1]

196578 i

4.46 = (1 + i) (3i + 3i2+ i3) i =)46.11()4(4366

i 8

4.46 = (1 + i) (3 + 3i + i 2)2 i = -6 7.7

4.46 = 3 + 6i + 4i2 + i3 8

i3+ 4i2 + 6i 1.46 = 0 i = 0.22 22%

Rta. 22.05%


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83

4. Con un depsito anual de S/.215,678 se form un capital de

S/.915,638; firmado al 12% anual de intereses compuestos. Hallar

el tiempo.

S = S/. 915,638

a = S/. 215,678 915,638 = 215,678 (1.12) [ (1.12)t 1]

% = 12; i = 0.12 0.12

t = ? log 915638 = log215678 + log 1.12

+ log [1.12t

- 1] log 0.125.961723808 5.333805848 0.04921802267

+ 0.920818754 + log [1.12 t 1]

log [1.12t 1] = 1.5 t = log2.5 ; t = 0.3979400087

1.12t 1 = 1 log1.2 0.07918124605

.12 t= 2.5 t = 5.027 t = 5 aos, 10 das

5. Con un depsito mensual de S/.15,680; qu capital se habr

formado durante 4 aos, 6 meses; al 14% anual de interesescompuestos.

S =i

m

imima

mt

++ 1)(

S = 15680 (12.14) [ 1.01254 1 ]

0.14

log S = log15680 + log 12.14 + log 0.90435 log 0.14

log S = 4.195346058 + 1.084218687 0.04366345708+ 0.8538719643

log S = 6.089773252

S = S/. 1229,626.61


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84

6. Con qu depsito bimestral se form un capital de S/. 913,564

durante 4 aos, 3 meses, 12 das, firmado al 14% anual de intereses

compuestos.

913564 = a (6.14) [ (0.706)25.7 1]

0.14

log 913564 log 6.14 log 0.809005 + log 0.14 = log a

5.960738977 0.7881683711 + 0.09204879 0.8538719643= loga

a = S/. 26,150.16

7. Durante qu tiempo un capital de S/.938,642; se form con un

depsito trimestral de S/.43,560; firmado al 12% anual de interesescompuestos.

938,642 = 43560 (4.12)

0.12

log938642 + log 0.12 log 43560 - log 4.12 = log [1.034t 1]

- 0.202303858 = log [1.034t 1]

0.628 = 1.034t 1 t = 4 aos, 1 mes

log 1.628 = 4t log 1.03 14 das

t = 0.2116544006 = 4.1220.05134889882

8. Con un depsito mensual de S/. 48,596; se form un capital de

S/.516,398 durante 3 aos, 8 meses, 15 das. Hallar el tanto por

ciento anual de intereses compuestos,

10.626 =i

i

++ 1

2

11)2(

3

t = 7.417

10.626 =i

iiii

++++

8

86128)2(

32

85.008 = (2 + i) (12 + 6i + i2)

12 + 6i + i2 85.008 = i3+ 8i2 + 24i + 24

2 + i


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85

24 + 12i + 2i2 i3+ 8i2+ 24i 61.008 = 0

12i + 6i2+ i3

24 + 24i + 8i2+ i3 i = -24 50.28

16

3 = 164 i = 1.6426

7.4 x 164%


1. Hallar el capital que se ha formado con un depsito anual deS/.183,612; durante: 4 aos, 1 mes, 6 das; firmado al 14% anual de


2. Con qu depsito anual se form un capital de S/. 2649,815; durante

5 aos, 6 meses, 12 das, al 11% anual de intereses compuestos.

3. Cul fue el tiempo necesario para formar un capital de S/.915,745;

con un depsito anual de S/. 196,745; al 15% anual de intereses

compuestos.

4. Hallar el tanto por ciento anual de intereses compuestos; por las que

un depsito anual de S/. 217,319; form un capital de S/. 915,319durante 3 aos, 2 meses, 15 das.

5. Con un depsito mensual de S/. 36,729 qu capital se haba formado;

durante 3 aos, 9 meses; al 11% anual de intereses compuestos.

6. Con qu depsito bimestral, se form un capital de S/.915,217

durante 3 aos, 9 meses; al 12% anual de intereses compuestos.

7. Con un depsito trimestral de S/: 96,508 se form un capital de

S/.1315,207 al 14% anual de intereses compuestos. Hallar el

tiempo.

8. Con un depsito semestral de S/. 96,540 se form un capital de

S/:987,518 durante 3 aos, 7 meses, 12 das. Hallar el tanto por


9. Con un depsito mensual de S/. 7,856 qu capital se habr formado

durante 3 aos, 18 das; al 7.4% semestral de intereses compuestos.


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86

10. Con qu depsito bimestral se habra formado un capital de

S/:915,836 durante 4 aos, 9 meses; al 0.75% mensual de intereses

compuestos.

11. En qu tiempo se habr formado un capital de S/. 981,615; con un

depsito quincenal de S/. 2,697; al 2.7% bimestral de intereses

compuestos.

12. Hallar el tanto por ciento quincenal de intereses compuestos; para

formar un capital de S/. 1398,408; con un depsito mensual de

18,397: durante 3 aos, 18 das.

13. Qu capital se habr formado, con un depsito quincenal de S/.1,748durante 3 aos, 4 meses, 9 das; al 1.6% mensual de intereses

compuestos.

14. Con qu depsito trimestral se form un capital de S/. 2468,985

durante 4 aos, 7 meses, 15 das; firmado al 2.3% trimestral de


15. Hallar el tanto por ciento bimestral de intereses compuestos; por las

que, un depsito trimestral de S/. 28,645 form un capital de

S/.813,585; durante 3 aos, 6 meses.

16. En cunto tiempo un depsito semestral de S/.54,615; form un

capital de S/: 624,506, firmado al 0.85% mensual de intereses

compuestos.

17. Un depsito trimestral de S/: 15,876; form un capital de S/. 358,715

al 1.05 por ciento bimestral de intereses compuestos. Hallar el

tiempo.

18. Hallar el capital formado por un depsito mensual de S/. 7,685;

durante 4 aos, 21 das; firmado al 4.7% semestral de intereses

compuestos.

19. Con qu depsito trimestral se habr formado un capital de

S/.816,507 durante 3 aos, 18 das; al 4.05% semestral de intereses

compuestos.

20. Hallar el tiempo necesario para formar un capital de S/: 979,307; con

un depsito bimestral de S/. 69,587; firmado al 0.75% mensual de



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87

CAPTULO XII

ANUALIDADESDEAMORTIZACIN

Son depsitos fijos e invariables que se utilizan para cancelar un capital o

un bien recibido.

ELEMENTOS

1. Anualidad (a).- Es la suma de dinero fijo e invariable que se utilizapara cancelar el capital o bien recibido.

2. Capital inicial (C).- Es la suma de dinero o bien recibido, sinintereses.

3. Capital total (s).- Es la suma de dinero con sus interesescompuestos a cancelarse mediante anualidades.

4. Tanto por uno (i).- Es el inters por cada nuevo sol.

5. Tanto por ciento (%).- Es el inters por cada cien soles.

6. Tiempo (t).- Son los das, meses o aos; necesarios para cancelar elcapital.


unoCapital con intereses

a t - 1 i S1= a (1 + i)t-1

a t 2 i S2= a (1 + i)t-2

. . . .

. . . .

. . . .

a _ _ Sn= a

S = anq - a

q 1


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88

S = a (1+i)t-1(1 + i) a S = a [ (1+i)t 1]

(1 + i) 1 i en aos

Para hallar el capital inicial

S = c (1 + i)t C = a[ (1 + i)t 1 ]

i (1+i)t en aos

Cuando los depsitos no son anuales

S =i

m

iam

mt

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Libro de Matematica Financiera Utp Lima

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