fundamentos matematica financiera

8/20/2019 fundamentos matematica financiera

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FUNDAMENTOS DEMATEMÁTICA FINANCIERA

Curso de Preparación y Evaluación de Proyectos



• Ciclo

de vida

•Identifi- cación

•Diagnós- tico

•Evaluación

Temario

ILPESILPES

EVALUACIÓN DE PROYECTOS:Introducción

Matemáticas FinancierasFlujo de FondosCriterios de Decisión

VAN TIROtros

Temario



• Ciclo

de vida


•Diagnós- tico

•Evaluación

Temario

ILPESILPESMATEMÁTICA FINANCIERA

Valor del dinero en el tiem o

Valor !uturo " #alor actual Tasas de inter$s com uesta " sim le Anualidades In%ación " tasas de inter$s

Temario



• Ciclo

de vida


•Diagnós- tico

•Evaluación

Temario

ILPESILPES

Corresponde a la rentabilidad que un agenteeconómico exigirá por no hacer uso del dineroen el periodo 0 y posponerlo a un periodofuturo

Va or !e !inero en e tiem"o

Sacrificar consumo hoy debe compensarse en el futuro. Un monto hoy puede al menos ser invertido en el banco

ganando una rentabilidad.

La tasa de interés (r) es la variable requerida paradeterminar la equivalencia de un monto de dinero en dos

periodos distintos de tiempoLa sociedad es un participante más que también tienepreferencia intertemporal entre consumo e inversiónpresente y futura.



• Ciclo

de vida


•Diagnós- tico

•Evaluación

Temario

ILPESILPES

Periodo 0( !o 0 "$1.000 $1.100

Si r = 10%Periodo 1( !o 1 "

Valor del dinero en el tiem o...continuación...

E#em" oUn indi#iduo o&tiene 'o" un in(reso )* +, de -./+++ or unasola #e0 " decide no consumir nada 'o"/ Tiene la o ción de

oner el dinero en el &anco/a, 1Cu2l ser2 el #alor de ese monto dentro de un a3o si latasa renta&ilidad o de inter$s )r, 4ue uede o&tener en el&anco es de .+5 6

./+++ 7 )+8., 9 .++ )renta&ilidad, .++ : .+++ 9 $%$&& )#alor dentro de una3o,



• Ciclo

de vida


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Temario

ILPESILPES

Valor del dinero en el tiem o...continuación

Si ; Sólo 'a" < eriodos In(reso sólo 'o" ) Y &'$%&&&(

=uede consumir 'o" o en una3o)C&8C$, Renta&ilidad e>i(ida or no

consumir 'o"; r'$&)

&, 1 Cu2l ser?a el monto @nal dis oni&le ara consumirdentro de un a3o si consume -<++ 'o" 6

Si C&'*&& 8C$9).+++ <++,7.8.9

++&

EntoncesC$ ' ,Y & - C &(.,$/r(

+

<++

B++

C++

D++

./+++

./<++

+

. + +

< + +

E + +

B + +

F + +

C + +

G + +

D + +

H + +

. / +

+ +

Perio!o &

P e r i o ! o $

,*&&0 ++&(

,1&&0 11&(

,+&&0 **&(

$%$&&

Consumo total9 <++ : + 9

$%&+&



• Ciclo

de vida


•Diagnós- tico

•Evaluación

Temario

ILPESILPESValor !uturo )VF, " #alor actual )VA,

( )( )( ) ( )3

! r VAr r r VAVF +=+++=

& 2VF

A3o:VA

$ *

Si son eriodos

Caso 4enera : ( )nr VAVF += !

VALORFUTURO

( )r VAVF += !

& $VFVA

A3o:

Sólo . eriodo

Donde:r " tasa de inter$s



• Ciclo

de vida


•Diagnós- tico

•Evaluación

Temario

ILPESILPES

Valor !uturo )VF, " #alor actual )VA,

( ) ( ) ( ) ( )3

!! r

VF

r r r

VF VA

+

=

+++

=

& 2VF

A3o:VA

$ *

Caso eriodos

Caso 4enera : ( )nr

VF VA

+=

VALORACTUAL

...continuación...

( )r

VF VA

+=

& $VFVA

A3o:

Caso . eriodoDonde:r " tasa deinter$s



• Ciclo

de vida


•Diagnós- tico

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ILPESILPES

E#em" o VF :


a( Si se tiene -./+++ 'o" " la tasa de inter$s anual es de.<5/

1Cu2l ser2 su #alor al @nal del tercer a3o6

A3o +; ./+++A3o .; ./+++ 7 ).:+8.<, 9 ./.<+A3o <; ./.<+ 7 ).:+8.<, 9 ./< BA3o ; ./< B 7 ).:+8.<, 9 $%5&1

VF9 ./+++ 7 ).:+8.<, 2 9 ./+++ 7 .8B+BH 9$%5&1

Alternati#amente;

...continuación...



• Ciclo

de vida


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•Evaluación

Temario

ILPESILPES

E#em" o VA:


6( Si en cuatro a3os m2s necesito tener - / ++ " la tasa d inter$s anual es de . 5/ 1Cu2l es el monto 4ue re4uiero de ositar 'o" ara lo(ra

la meta6 A3o B; / ++A3o ; / ++ ).:+8. , 9</ H8A3o <; </ H8 ).:+8. , 9</BH 8A3o .; </BH 8 ).:+8. , 9</. H8A3o +; </. H8 ).:+8. , 9$%++70+

VA9 / ++ ).:+8. , 5 9 ./+++ .8GBH 9$%++70+

Alternati#amente;

...continuación



• Ciclo

de vida


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Temario

ILPESILPES

E#em" os VF 8VA:


Caso es"eciac( Si los -./+++ de 'o" e4ui#alen a -./ B al @nal del a3o

/

1Cu2l ser2 la tasa de inter$s anual rele#ante6

...continuación

VF9 ./+++ 7 ).:r, 2 9 ./ B).:r, 2 ' .8 B).:r, 9

).8 B,$92

.:r ' .8. r ' &0$+



• Ciclo

de vida


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•Evaluación

Temario

ILPESILPES

Tasas de inter$s com uesta " sim le

Tasa !e inter scom";estaCorres onde al mismo conce to asociado a la con#ersiónde un #alor actual )VA, en un #alor @nal )VF, " #ice#ersa/El monto inicial se #a ca itali0ando eriodo a eriodo8 as?

or ejem lo8 lue(o del rimer eriodo se suma el ca italm2s los intereses (anados " este total es el 4ue (anaintereses ara un se(undo eriodo/

( )nr VAVF += !

VF = Monto capitalizado (valor fnal)VA = Inversión inicial (valor actual)r = tasa de interés del periodon = nú ero de per!odos

(1+r) n : Factor decapitalización{( )nr

VF VA

+= { : Factor !e !esc;ento

1(1+r) n



• Ciclo

de vida•Identifi- cación

•Diagnós- tico

•Evaluación

Temario

ILPESILPES


Tasa !e inter ssim" eConce to oco utili0ado en el c2lculo @nanciero8 es de!2cil o&tención8 ero con de@ciencias or no ca itali0arla in#ersión eriodo a eriodo/El ca ital in#ertido es lle#ado directamente al @nal sin4ue se ca italice eriodo a eriodo con los intereses(anados

&!'! nr VAVF +=

VF = Monto acu ulado (valor fnal)VA = Inversión inicial (valor actual)r = tasa de interés del periodon = nú ero de per!odos

(1+r*n) : Factor ac;m; aci<nsim" e{( )nr

VF VA

!+= { : Factor !esc;ento sim"

1(1+r*n)

...continuación...



• Ciclo


•Diagnós- tico

•Evaluación

Temario

ILPESILPES


E#em" o tasa inter s com";esta =ers;s tasa inter ssim" eSi se tiene -./+++ 'o" " la tasa de inter$s anual es de.<5/1Cu2l ser2 su #alor al @nal del tercer a3o6Con tasa inter$s com";esta ;

C 9 ./+++ 7 ).:+8.<, 2 9 ./+++ 7 .8B+BH 9$%5&1

Con tasa inter$s sim" e ;C 9 ./+++ 7 ).:+8.<7 , 9 ./+++ 7 .8 9$%27&

$&&& $5&1$$*& $*15

$/r $/r $/r

$&&& $27&

$/r.2

...continuación...

Intereses(anados;A3o .; - .<+A3o <; - . BA3o ; - . .

Intereses(anados;A3o .; - .<+

A3o <; - .<+A3o ; - .<+



• Ciclo


•Diagnós- tico

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Temario

ILPESILPES


Tasa !e inter se>;i=a enteSi se tiene una tasa de inter$s anual r a 8 la tasa deinter$s mensual e4ui#alente r m 8 uede sercalculada usando las si(uientes e> resiones;

2r

r a

m =

( ) 2−+=

amr r Con inter$s com";esto:

Con inter$s sim" e:

Este ejem lo se 'ace e>tensi#o a cual4uier unidad detiem o/

...continuación



• Ciclo


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Temario

ILPESILPES

Anualidades

Considere un %ujo ) F ", )anualidad, or montos

i(uales 4ue se a(a al @nal de todos los a3os orun er?odo de tiem o n a una tasa r

+ . < n . n

F " F " F " F " F "

A3o:F ;#os

Act;a i?a!os: F 1

,$/r( F 1

,$/r( *

F 1

,$/r( 2

F 1

,$/r( n@$

F 1

,$/r( n



• Ciclo


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•Evaluación

Temario

ILPESILPES

El Va or Act;a de esa anualidad )F . , 4ue im licala suma de todos esos %ujos actuali0ados almomento + se de@ne como;

n

n

r r

r F

&'!&'

!+

−+=

Anualidades...continuación...

r

r F VA

n−+−

=&'

!

=

+

++

+

+

+

=n

r

F

r

F

r

F VA

&'

!(((

&'

!

&'

!2



• Ciclo


•Diagnós- tico

•Evaluación

Temario

ILPESILPES

Como contra artida al #alor actual de un %ujo setiene;El Va or Fina de una anualidad )F . , 4ue im lica lasuma de todos esos %ujos lle#ados al eriodo n "

se de@ne como;

Anualidades ...continuación...

r

r F VF

n&'!

−+

=

=++−

+++= (((&'!&'! F n

r F n

r F VF



• Ciclo de vida


•Diagnós- tico

•Evaluación

Temario

ILPESILPES

E#em" o an;a i!a!: Su on(a usted a(ó cuotas mensuales de -< +/+++ orla com ra de un auto durante < a3os )<B meses, a unatasa de .5 mensual/1 Cu2l !ue el #alor del r$stamo6


5%#(#6(3%)%

&%)%'!%%%(25%

24

=+−

=

−

VA



• Ciclo de vida


•Diagnós- tico

•Evaluación

Temario

ILPESILPES

E#em" o an;a i!a!: Su on(a usted tra&ajar2 durante + a3os8 su coti0aciónen la AF= ser2 de -<+/+++ mensuales8 si la AF= le o!receuna renta&ilidad mensual de +8 51 Cu2l ser2 el monto 4ue tendr2 su !ondo al momento de

ju&ilar6


3%(%$%(2%%%5)%

&%%5)%'!%%%(2%

36%

=−+

=VF



• Ciclo de vida


•Diagnós- tico

•Evaluación

Temario

ILPESILPES

E#em" o an;a i!a!: Su on(a usted com rar2 una casa 4ue #ale 'o"-<+/+++/+++ " solicita al &anco un cr$dito or el totaldel #alor a . a3os la0o ). + meses,/ Ja tasa deinter$s es de +8 5 mensual/1 Cu2l de&er2 ser el #alor del di#idendo mensual 6


r

r F VA

n−+−

=&'

!Si; Entonces; nr

r VA F

−+−

=

&'!

As?; 77(6#&%%5)'

%%5)%!%%%(%%%(2% #% =

−=

− F



• Ciclo de vida


•Diagnós- tico

•Evaluación

Temario

ILPESILPESAnualidades

Per"et;i!a!Consid$rese un %ujo ) F " , )anualidad, or monti(uales 4ue se a(a a "er"et;i!a!%Per"et;i!a! corres onde a un eriodo de tiemlo su@cientemente (rande ara considerar los %uj@nales como oco rele#antes dado 4uedescontarlos al a3o + son insi(ni@cantes/

El Valor actual de esa anualidad se de@necomo;

r

F VA =

...continuación...



• Ciclo de vida


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Temario

ILPESILPES

E#em" o "er"et;i!a!: Su on(a usted es de esos a!ortunados 4ue decide ju&ilar a los + a3os " reci&ir2 una renta #italicia de- +/+++ mensuales 'asta 4ue muera/ Ja tasa deinter$s rele#ante es de .5 mensual " la em resa 4ue

le dar2 la renta su one una Klar(a #idaL ara usted)su onen odr?a lle(ar a los H+8 o tal #e0 H o or4u$no .++ a3os,/1 Cu2l es el #alor actual del !ondo 4ue la em resa de&etener ara oder cu&rir dic'a o&li(ación6

Anualidades ...continuación

%%%(%%%(5%)%%%%(5%

==VA

En ri(or8 usando la !órmula de#alor actual de una anualidad)no er etua, se tendr?a;Si #i#e & a3os; VA9-B/H G/Si #i#e 1 a3os; VA9-B/HG / +

Si #i#e $&& a3os; VA9-B/H G/< .



• Ciclo de vida


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ILPESILPES

In%ación " tasas de inter$s

A;mento sosteni!o en e ni=e Benera !e"recios% Norma mente me!i!o a tra= s !ecam6io en e IPC

In aci<n:

En resencia de in%ación ) , 8 la ca acidad de com rao oder ad4uisiti#o de un monto de dinero es ma"or'o" 4ue en un a3o m2s/

1!! 1!!#i " = $%&

=eriodo +)A3o +,

=eriodo . )A3o .,



• Ciclo de vida


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Temario

ILPESILPESIn%ación " tasas de inter$s

Ja ecuación 4ue relaciona las tasas nomina 8rea 8 es conocida en la literatura con el nom&rede iB;a !a! !e Fisc er:

Don!e i ' tasa de inter$s nomr ' tasa de inter$s real ' Tasa de in%ación

( ) ( ) ( )r i ++=+ ! π

A

Ja tasa !e inter s )conocida como tasa nominal,

de&er2 incor orar;

A%Ja renta&ilidad e>i(ida ara 'acer indi!erente unmonto a'ora o en el !uturo )#alor dinero en el tiem o,)tasa rea ,

%Di!erencial 4ue cu&ra la in%ación " manten(a eloder ad4uisiti#o ) tasa in aci<n ,

...continuación...



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ILPESILPES

R !"# $%& conceptos% ' Costo de oportunidad (tasa interés real)

' oder adquisiti o (inflación)

aso 1% *alora costo de oportunidad+ tasa de interés de10,

aso &% *alora costo de oportunidad y además- #antiene poder adquisiti o+ inflación de &.,


$1100 $1375

!o # !o #Si π = 25%

$1000 $1100

!o $ !o #Si r = 10%

...continuación...



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Temario

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Si ten(o - 1&& " un &anco me o!rece una tasa !einter s nomina an;a !e 2 01) " me encuentro enuna econom?a donde la in aci<n es !e *1) an;a /

1 Cu2l es la tasa real corres ondiente 61 Cu2nto es mi ca ital nominal al @nal del a3o 6

E#em" o:

...continuación...



• Ciclo de vida


•Diagnós- tico

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Temario

ILPESILPES

Si: , $ / i ( ' , $ / ( . , $ / r (

Donde π 9+8< " i 9+8 G

Entonces; ).:+8 G , 9 ).:+8< ,7).:r,).:r, 9 .8. r ' $&)

Si el ca ital inicial es C & 9 - ++

Entonces; C . 9 C +7).:i, 9 ++7).8 G , C$ ' G 7+ 01

In%ación " tasas de inter$s...continuación...



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In%ación " tasas de inter$s...continuación

La e=a ;aci<n !e "ro8ectos ;ti i?a tasas!e inter s rea es 8 "or tanto ;#os rea es 0!e esta Horma se e=ita tra6a#ar conin aciones >;e norma mente ten!r an>;e ser estima!as a H;t;ro con econsiB;iente "ro6 ema !e incerti!;m6re%

Nota im"ortante





• Ciclo de vida


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Temario

ILPESILPESIn%ación

E#em" o: De actarSi costos de in#ersión de un ro"ecto !ormulado en el a3o <++<son - $1%&&& mi ones ero se necesita sa&er cual 'a&r?a sidosu costo real en el a3o <++.Se de&er2 !e actar dic'o costo se( n #ariación en Indice de=recios al Consumidor )I=C,;Si; I=C romedio <++. 9 .+ 8 G

I=C romedio <++< 9 ...8

&' cambioIPC

Costo

Costo t

t +

=−

&'! cambioIPC CostoCostot t

+=−As?;

−=

−t

t

IPC

IPC CambioIPC

14.635=

−+

=−

&67)%#3#)

''

%%%(5t Costo

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