Referencia 4to Medio 2008

7/28/2019 Referencia 4to Medio 2008

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MATERIALDER

EFERENC

IA

APRENDER MATMATICA

CREANDO SOLUCIONES

MATERIAL DE REFERENCIA


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I.S.B.N.: XXX-XXX-XXX-XXX-X

1 edicin: Octubre de 2008

2003 por Centro Comenius Universidad de Santiago de Chile

Inscripcin N XXXXXX

Derechos Exclusivos Reservados

Universidad de Santiago de Chile

Editado por

Centro Comenius Universidad de Santiago de Chile

San Martn 40 A oficina 6, Santiago

Telfono: 6883261 Fax: 6727140

Diseo

Juan Rojas R.

Impreso por XXXXXXX

XXXXXXXX, XXXXXX

Santiago de Chile


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Matemtica Interactiva: Aprender matemtica creando soluciones

Centro Comenius Universidad de Santiago de Chile

El Centro Comenius de la Universidad de Santiago de Chile, desarroll el modelo interactivo

para el aprendizaje matemtico, en el proyecto FONDEF D00I1073 Aprender matemticacreando soluciones entre los aos 2001 y 2004. El modelo cuenta, para su implementacinen salas de clases, con material para el alumno (actividades, guas, proyectos, etc.), material

del profesor (sugerencias pedaggicas para trabajar los materiales, los contenidos e integrar

las tecnologas), material de referencia (tratamiento ms formal de la matemtica), materiales

manipulativos concretos (fichas, dados, juegos, etc.), evaluaciones y recursos tecnolgicos

que siguen los principios de diseo tericos sugeridos en el modelo.

Sobre la base del Modelo Interactivo para Aprender Matemtica, en la actualidad se est

desarrollando el proyecto Enlaces Matemtica, con aportes del Centro de Educacin yTecnologa, ENLACES del Ministerio de Educacin de Chile y del Centro Comenius de laUniversidad de Santiago de Chile, implementndose en siete regiones del pas, con la

colaboracin de las universidades asociadas.


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Profesionales del Proyecto Enlaces Matemtica

Juan Silva Quiroz

Evelyn Herrera Toro

Encargados de la plataforma virtual

Lucrecia Zamorano Aravena

Instrumentos de evaluacin y

revisin de materiales

Sergio Reyes Gonzlez

Anlisis estadstico

Claudia Matus Correa

Asesora anlisis estadstico

Cristin Reyes Reyes

Rigoberto Becerra Allende

Eugenio Saavedra Gallardo

Gerardo Honorato Gutirrez

Miguel Muoz Jara

Gladys Bobadilla Abarca

Editores matemticos

Guillermo Garrido Acevedo

Coordinador Transferencia

Alicia Venegas Thayer

Responsable rea Educacin de Adultos

Jessica Marinkovic ORyan

Dwight Pennanen Arias

Roxana Donoso Loyola

Apoyo operativo y logstico

Juan Rojas RiveraDiagramacin, diseo y edicin grfica

Mauro Silva Cuevas

Hctor Ros Bolbarn

Ingeniera y soporte tcnico

Fidel Oteza Morra

Director del Proyecto

Gonzalo Villarreal Farah

Sub Director del Proyecto

Manuel Galaz Prez

Encargado operativo

Hernn Miranda Vera

Roberto Araya Schulz

Lorena Espinoza Salfate

Investigadores asociados

Claudia Matus Ziga

Coordinadora recursos educativos

Osvaldo Baeza Rojas

Macarena Escalante Salamanca

Evelyn Herrera Toro

Claudia Matus Ziga

Mauricio Moya Mrquez

Gustavo Rodrguez SeplvedaAlicia Venegas Thayer

Michael Yez Rojas

Lucrecia Zamorano Aravena

Diseo y desarrollo de textos, guas,

material concreto y recursos tecnolgicos

Luis Belmar Rebolledo

Nelly Devia Ormeo

Mara Isabel Escobar Gutirrez

Paula Gaete OteizaMarcelo Gonzlez Molina

Mara Jos Moreno Silva

Marisol Troncoso Salazar

Mabel Vega Rojas

Colaboradores produccin de materiales


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Muchas personas e instituciones han hecho posible el proyecto FONDEF Aprender Matemtica

Creando Soluciones y, como consecuencia directa, la existencia de este material educativo, cuyo

propsito es proponer caminos alternativos e interesantes para que muchos estudiantes puedan

aprender Matemtica y, lo que es ms importante, puedan disfrutar con ella y apreciarla como unaherramienta poderosa creada por el ser humano, que permite explicar y entender muchas cosas

del mundo que nos rodea.

A todos ellos les damos nuestro ms profundo agradecimiento por su trabajo duro y comprometido,

por sus ideas frescas y desafiantes, y por su apoyo constante cuando las encrucijadas de un esfuerzo

de esta envergadura, hacan difcil ver el camino por dnde seguir.

En particular, queremos agradecer a las instituciones que han aportado recursos financieros,

profesionales e instalaciones al proyecto: CONICYT de Chile, quienes a travs del FONDEF

aportaron fondos, aliento y apoyo constante; Automind S.A.; Corporacin Municipal de ServiciosTraspasados de Rancagua, a travs del Liceo scar Castro; Corporacin Municipal de SanVicente de Tagua-Tagua, a travs del Liceo Ignacio Carrera Pinto; Colegio Santa Mara deSantiago; Fundacin Educacional de La Araucana, a travs del Complejo Educacional Padrescar Moser de Padre Las Casas (IX Regin); Colegio Alcalde Pedro Urbina Flores de Peumo;DAEM de Las Cabras, a travs del Liceo Francisco Encina; Colegio Cristbal Coln deSantiago; Corporacin Municipal de San Fernando, a travs del Liceo de Nias EduardoCharme; SEREMI de Educacin de la Sexta Regin; Proyecto Enlaces del Ministerio deEducacin; Centro Zonal Enlaces Costa-Centro de la Universidad Catlica de Valparaso.

Tambin queremos agradecer especialmente a los colegios, profesores y estudiantes que participaronen las pruebas piloto del material educativo: Colegio Santa Mara de Santiago, a travs de sudirectorJos Parisi y las profesoras del Departamento de Matemtica, Lorena Lizana Manrquez,Ilia Maldonado, Luca Jara Bravo y Lucrecia Zamorano Aravena; Liceo Ignacio CarreraPinto de San Vicente de Tagua-Tagua, a travs de su director Eduardo Michel Aedo y los

profesores del Departamento de Matemtica, Juan Pablo Cabezas, Gustavo Moreno, JorgeFuentes, Lilian Miranda, Alfredo Astrain y Marcelo Seplveda.

RECONOCIMIENTO


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Un especial reconocimiento a los directivos, profesores y estudiantes de todos los establecimientos

que participaron en la experimentacin del material durante el ao escolar 2003: Liceo scarCastro de Rancagua; Liceo de Nias Eduardo Charme de San Fernando; Liceo Ignacio CarreraPinto de San Vicente de Tagua-Tagua; Liceo Francisco Encina de Las Cabras; Colegio AlcaldePedro Urbina Flores de Peumo; Colegio Santa Mara de Santiago; Colegio Cristbal Coln;Colegio Santa Cruz; Colegio Marcelino Champaignat; Colegio Franciscano Mara Reina;Complejo Educacional Padre scar Moser de Padre Las Casas. A todos ellos muchas gracias

por la paciencia de habernos tenido todo un ao visitando sus salas de clases y por el profesionalismo,

dedicacin y esfuerzo puesto en la experimentacin.

La existencia de este material no habra sido posible sin el trabajo editorial dedicado y altamente

calificado del personal de la empresa editora Zig-Zag S.A. Nuestros agradecimientos para todosellos, a travs de Felipe Morales, Robert Pardo y Mara Eugenia Mestre.

Por ltimo, una mencin y reconocimiento particular a todo el equipo de investigadores, profesionales

y tcnicos del Centro Comenius de la Universidad de Santiago, quienes hicieron un gran esfuerzopor construir este sueo: mejorar las condiciones para que muchos jvenes puedan aprender

Matemtica y abrir as sus posibilidades de construir un futuro mejor.


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FUNCIONES

FUNCIN POTENCIA, EXPONENCIAL Y LOGARITMO

UNIDA

D

FUNCIONES

MATERIAL DE REFERENCIA

Miguel Muoz JaraMabel Vega Rojas


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CONTENIDO

La inquietud de un agricultor 9

Un Amigo inesperado. El nmero 11Conclusin 16

9

1. Comienzo del anlisis desde el punto de vista histrico

El concepto de funcin 17

Definicin de funcin 18

Funciones inversas 22

Funciones montonas 29

17

2. Conceptos previos

Propiedades de la Potenciacin 32

Aplicacin 34

3.2.1. Representacin de los nmeros en una base determinada 34

3.2.2. Sistemas de numeracin 35

31

3. Potenciacin

Funciones exponenciales 40

Propiedades de las funciones exponenciales 43

Aplicaciones 45

1. Ecuaciones exponenciales 45

2. Aplicaciones de la Ley de Malthus 47

3. Inters compuesto 49

4. Funcin logstica 50

40

4. Funciones exponenciales

Definicin de funcin logaritmo 51

Propiedades de las funciones logartmicas 53

Aplicaciones 57

1. Ecuaciones Logartmicas 57

2. Intensidad del Sonido 59

3. Intensidad de un terremoto 60

515. Funciones logartmicas


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10Unidad: Funcin potencia, exponencial y logartmo

para la poca, una carroza de guerra y hasta una especie de submarino. Pero su inters principalera la religin y en 1593 public Una explicacin simple del Apocalipsis de San Juan, atacando

brutalmente a la Iglesia Catlica y sosteniendo, como buen protestante, que el Papa era elAnticristo. El libro, que alcanz la cifra de 21 ediciones (diez de las cuales fueron durante la

propia vida de Napier) fue traducido a un montn de idiomas. Tambin predeca que el Da delJuicio caera entre 1688 y 1700. Obviamente, esta prediccin estaba equivocada, ya que todo

indica que el Da del Juicio no cay entre esas fechas. Napier consideraba que, con este libro, sulugar en la historia estaba asegurado. Y en esto tambin se equivoc. Su fama qued aseguradapor un pasatiempo al que Napier dedic veinte aos de su vida, y que fueron precisamente, loslogaritmos.

La idea parte de una relacin bien conocida y que se repite como loro en la enseanza media, asaber: al multiplicar potencias de igual base se conserva la base y se suman los exponentes.Por ejemplo:

Lo anterior nos sugiere que de alguna manera hemos reducido una operacin de multiplicacin auna suma de exponentes y de manera anloga hemos reducido una divisin en una resta.

Pues bien: a Napier se le ocurri lo siguiente: si uno pudiera expresar todos los nmeros comopotencias de un nmero base, la multiplicacin se reducira, simplemente, a sumar exponentes y la

divisin a restarlos. Y lo puso en prctica tomando como base el nmero 0.3678794412 .

Con esta idea, y durante veinte aos desde 1594 a 1614 se dedic a hacer una tabla.

Lo cierto es que, una vez que termin con las cuentas, decidi que haba que ponerles un nombre.Primero pens en llamarlosnmeros artificiales, perofinalmente opt por la palabra logaritmos.La palabra logaritmo viene de dos trminos griegos: logosque significa calcular o razonar, yarithmosque quiere decir nmero, de lo anterior se desprende que la palabra logaritmo significa


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Unidad: Funcin potencia, exponencial y logartmo

nmero calculador. Es importante sealar que la poca en que aparecieron los logaritmos seles llam tambin nmeros proporcionales.

Napier public su invento en 1614, en un libro tituladoMirifici logarithmorum canonis descriptio (Descripcindel maravilloso canon de los logaritmos), y que tuvoun xito fulminante: primero el italiano Buonaventura

Cavalieri, contemporneo de Galileo, impuls su uso enItalia, luego Kepler en Alemania, y es interesante queel tercer pas en adoptarlos fuera China, donde en 1653apareci un tratado sobre los logaritmos escrito por elmatemtico Xue Fengzuo. Casi inmediatamente despus,el matemtico Henry Briggs elabor tablas de logaritmoscon base diez (esencialmente idnticas a las que se usabanhasta la llegada de las calculadoras porttiles), y WilliamOutghtred (1574-1660) invent la regla de clculo, que

funcion como una computadora de bolsillo para loscientficos y los ingenieros durante 350 aos, lo cual fuetodo un xito. Lo cierto es que los logaritmos, que, comodecamos, eran tan aborrecidos por los estudiantes, fueron una manera de librarse de horribles yespantosos clculos.

1.2. Un Amigo inesperado. El nmero2e

El nmero e llega por primera vez a las matemticas de forma muy discreta. Sucedi en 1618cuando, en un apndice al trabajo de Napier sobre logaritmos, apareci una tabla dando ellogaritmo natural de varios nmeros. Sin embargo, no se reconoci que estos fueran logaritmosen base e, ya que la base sobre la que se calculan los logaritmos no surgi en la manera en laque se pensaba en los logaritmos en aquel entonces. Aunque hoy consideramos a los logaritmoscomo los exponentes a los que se debe elevar una base para obtener el nmero deseado, esta esuna forma moderna de pensar. Dicha tabla en el apndice, aunque no tiene el nombre del autor, escasi seguro que fue escrita por Oughtred. Unos aos despus, en 1624, e estuvo a punto de volvera la literatura matemtica pero no lo logr. En ese ao, Briggs dio una aproximacin numrica allogaritmo base diez de e sin mencionar a ste especficamente en su trabajo.

2 Adaptacin del texto The Number e de J.J. OConnor and E.F. Robertson.


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Existe una duda con la siguiente aparicin de e en escena; yaque en 1647, Saint-Vincent calcul el rea bajo una hiprbolarectangular. No est claro si l reconoci o no la conexin conlos logaritmos, an si lo hubiera hecho, no haba realmenterazn para que se encontrara explcitamente con el nmero e.Posteriormente, hacia 1661 Huygens comprendi la relacin

entre la hiprbola rectangular y el logaritmo. Examinexplcitamente la relacin entre el rea bajo la hiprbolarectangularyx = 1 y el logaritmo. La relacin dice que el nmeroe es tal que el rea bajo la hiprbola rectangular entre 1 y e esigual a 1. sta es la propiedad que hace que e sea la base de loslogaritmos naturales, sin embargo para los matemticos de la poca no era tan obvio, aunque seestaban acercando lentamente a ello.

Huygens hizo otro avance en 1661. Defini una curva a la que llam logartmica pero no

en los trminos en los que nosotros nos referimos a una curva exponencial, con la formay = kax. Nuevamente, a partir de esto sale el logaritmo en base 10 de e, que Huygens calculcon 17 decimales. Sin embargo, en el trabajo que l realiz aparece como el clculo de unaconstante y no es reconocida como el logaritmo de un nmero (nuevamente cerca de e, pero sinser reconocido).

Hay trabajos posteriores sobre los logaritmos en los que todava no aparece el nmero e como tal,pero que contribuyen al desarrollo de los logaritmos. Unos aos ms tarde, para ser ms exactosen 1668, Nicols Mercator public Logarithmotechnia, esta obra contiene la expansin enserie de log(1 + x). Aqu Mercator usa el trmino logaritmo natural por primera vez para loslogaritmos en base e. El nmero e otra vez no aparece explcitamente y contina escondido enlas cercanas.

Parece curioso, pero la primera vez en que e es descubierto no tiene que ver con la nocinde logaritmo sino ms bien en un estudio del inters compuesto; esto se debe a que en 1683,Jacobo Bernoulli examin el problema del inters compuesto y, durante su anlisis de ste,

trat de encontrar el lmite de cuando n tiende a infinito. Us el teorema del binomio

para demostrar que el lmite tena que estar entre 2 y 3, podramos considerar este hecho como


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la primera aproximacin que se encontr para e. Tambin, si aceptamos sta como una definicinde e, sera la primera vez en que un nmero fue definido mediante un proceso de lmite. De hecho,Bernoulli no reconoci en ningn momento la conexin entre su trabajo y aquellos sobre loslogaritmos.

Hemos mencionado previamente que, al inicio de su desarrollo, no se pensaba que los logaritmos

tuvieran relacin alguna con los exponentes. Claro que de la ecuacin x = at, deducimos quet= log(x) donde log es el logaritmo en base a, pero esta es una forma de pensar muy posterior.Aqu realmente estamos pensando en log como una funcin mientras que los primeros trabajossobre logaritmos lo consideraban meramente como un nmero que ayudaba en los clculos. Es

posible que el primero en comprender la manera en que la funcin log es la inversa de la funcinexponencial haya sido Jacobo Bernoulli. Siguiendo con la historia, la primera persona que tal vezreconoci la conexin entre logaritmos y exponentes en 1684 fue tal vez James.

Hasta donde sabemos, la primera vez que el nmero e aparece explcitamente es en el ao 1690.

Aqu, Leibniz le escribi una carta a Huygens en la que usa la notacin b para lo que nosotros hoyllamamos e. Porfin el nmero e tena nombre (aunque no sea el actual) y era reconocido comotal.

Por otro lado, es importante recordar los problemas que surgen del hecho de que no se pensaraen log como una funcin. Es necesario mencionar que Johann Bernoulli comenz el estudio delclculo de la funcin exponencial en 1697 cuando public Principia calculi exponentialium seu

percurrentium.

Es tanta la notacin matemtica actual que le debemos a Euler que no sorprende descubrir quela notacin e para este nmero se la debemos a l. La afirmacin que se ha hecho algunas vecesde que Euler us la letra e porque era la primera letra de su nombre es ridcula. Es probable quee ni siquiera venga de exponencial sino que sea simplemente la vocal que sigue de la a, la cualEuler ya estaba usando en su trabajo. Sea cual fuera la razn, la notacin e aparece por primeravez en una carta que le escribi Euler a Goldbach en 1731. Euler hizo varios descubrimientosrespecto a e en los aos siguientes pero no fue sino hasta 1748 con la publicacin de Introductioin Analysin infinitorum cuando Euler dio un tratamiento completo a las ideas alrededor de e.Demostr que


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y que e es el lmite de cuando n tiende a infinito. Dio una aproximacin de e con 18

decimales,

e 2.718281828459045235

sin decir de dnde sali. Es probable que haya calculado el valor l mismo, pero de ser as no hayindicios de cmo lo hizo. De hecho, tomando unos 20 trminos de

se obtiene la aproximacin dada por Euler. Entre otros resultados interesantes, en este trabajo estla relacin entre las funciones seno y coseno y la funcin exponencial compleja, lo cual Eulerdedujo usando la frmula de De Moivre.

Es interesante que Euler tambin haya dado el desarrollo de e en fracciones continuas y que hayanotado un patrn en la expresin. Especficamente dio

y

El no dio una prueba que los patrones que encontr continuaran (lo cual s sucede) perosaba que si diera esta prueba sera equivalente a probar que e es irracional. Ya que,

si la fraccin continua para siguiera el patrn mostrado por los primeros trminos,

6, 10, 14, 18, 22, 26,... (sumando cuatro cada vez), entonces nunca terminara;


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por ello (as como e) no puede ser racional. Esto sin duda podra considerarse como el

primer intento de probar que e no es racional.

Aquella pasin que llev a tantos a calcular con ms y ms decimales nunca se dio para el casode e. Sin embargo, s hubo quienes calcularon su expansin decimal y el primero en dar a e con

un gran nmero de dgitos fue Shanks en 1854. Como dato curioso vale la pena hacer notar queShanks fue an ms entusiasta calculando la expansin decimal de . Glaisher mostr que las

primeras 137 posiciones de los clculos de Shanks estaban correctas pero encontr un error que,despus de ser corregido por Shanks, dio e con 205 decimales. De hecho, se necesitan unos 120trminos de 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +.. para obtener 200 decimales de e.

En 1864, Benjamn Peirce se tom una foto parado delante de un pizarrn en el que haba escritola frmula:

En sus clases, deca a sus estudiantes: Seores, no tenemos la menor idea de lo que significa estaecuacin pero podemos estar seguros de que su significado es algo muy importante.

Casi todo el mundo acepta que Euler fue el primero en probar que e es irracional. Y sin duda fueHermite quien prob en 1873 que e no es un nmero algebraico3. Si ee es algebraico es todavauna pregunta abierta, aunque claro que lo nico que falta es una prueba - ningn matemticoconsiderara seriamente que ee es algebraico! Hasta donde sabemos, lo ms cerca que losmatemticos han llegado a probar es un resultado reciente que dice que al menos uno de estos dos

nmeros no es algebraico (es decir, numero trascendente): ee y e elevado a e2.

Posteriormente en 1884 Boorman calcul e con 346 decimales y encontr que su clculo coincidacon el del Shanks hasta la posicin 187 pero despus variaban. Luego en el ao 1887, Adamscalcul el logaritmo base 10 de e con 272 decimales.

3 Un nmero se dice algebraico si es la raz de un polinomio de coeficientes enteros.


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1.3. Conclusin.

Desde su introduccin, los logaritmos pueden encontrarse tanto en los manuales de aritmtica comoen los de anlisis. Objeto y mtodo, no slo han participado del desarrollo de las Matemticas,sino tambin de la historia de las ciencias fsico - qumicas. La ph - metra, por ejemplo, nohabra podido ser concebida a principios del siglo XX sin la ayuda de este concepto matemtico.

Surgidos de una idea de hecho muy simple, los logaritmos continan siendo un instrumento talvez modesto, pero a pesar de todo esencial para el conocimiento cientfico. En el transcurso de launidad se mostrarn aplicaciones de los logaritmos y funciones exponenciales, los cuales puedenmotivar un estudio en ms profundidad de estos conceptos.


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2. Conceptos previos

En la siguiente seccin recordaremos e introduciremos algunos conceptos matemticos que sernde gran ayuda para dar una mirada distinta a la operatoria de potencias y logaritmos.

2.1. El concepto de funcin.

En todo contexto de trabajo se realizan relaciones entre objetos, ya sean estos de la misma naturalezao no. Un grupo de estas relaciones se denomina funcin (nocin moderna de funcin). El conceptode funcin es de gran importancia en matemticas y en todas las ramas del saber que interactancon las matemticas. De hecho si se realizara una encuesta a un grupo de matemticos conrespecto a los conceptos matemticos ms importantes en su rea de desarrollo, lo ms probableque el trmino funcin debiera estar en la mayora de las respuestas de los encuestados.

El trmino funcin fue usado por primeravez en 1637 por el matemtico francs RenDescartes, para designar la potencia xn de lavariable x. En 1694 el matemtico alemncoinventor del calculo, Gottfried Wilhem VonLeibniz utilizo el termino para referirse a variosaspectos de una curva.

La palabra funcin proviene de la palabra latina

functo, que significa acto de realizar. En lossiglos XVII y XVIII, los matemticos tenanuna idea ms intuitiva de funcin. Para muchos

de ellos el concepto de funcin solamente representaba una relacin funcional entre dos variablesla cual estaba dada por cierta curva uniforme o por una ecuacin que inclua las dos variables. A

pesar que las ecuaciones y las formulas juegan un papel importante en el estudio de las funciones,nosotros estudiaremos la interpretacin moderna de funcin (la que data de a mediados del sigloXIX, que fue definida por el matemtico alemn Johan Peter Gustav Lejeune- Dirichlet).


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2.2. Definicin de funcin.

Comenzaremos dando una definicin de funcin ms coloquial. En el mundo que nos desenvolvemoses habitual que interactuemos tanto con personas como con objetos. Por lo tanto es frecuente queestablezcamos una regla de correspondencia que asocie o empareje a los miembros de un grupocon los miembros de otro grupo. Por ejemplo, para cada automvil registrado en la ciudad de

santiago le corresponde una placa patente, toda persona de nacionalidad chilena le correspondeun nmero de identificacin. En matemticas estamos interesados en estudiar una clase especialde correspondencia, la cual denominamos funcin. Esta relaciona a cada miembro de un grupocon un nico elemento de otro grupo.

Para poder dar una definicin ms formal de funcin debemos introducir algunos conceptosde Teora de conjuntos. De hecho la definicin que utilizaremos y algunas propiedades msgenerales pueden ser profundizadas por el lector en el libro Axiomatic Set Theory del autorPatrick Suples.

Definicin Sean X e Y dos conjuntos no necesariamente distintos. Una funcin de un conjuntoen un conjunto Y es una regla de correspondencia que le asigna a cada elemento uno ysolamente un elemento .

En diversos textos de algebra y calculo la definicin de funcin usada es la siguiente.

Una funcin de un conjuntoXen un conjunto Yes una regla de correspondencia que le asigna a

cada elemento uno y solamente un elemento .

Es importante sealar que bajo este contexto el conjuntoXes el dominio de la funcin, entoncesen una funcin deXen Yse pueden establecer las siguientes definiciones.

Definicin. Seafuna funcin deXen Ydefinimos:

El dominio de f por:

La imagen de f por:


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La fincin inversa de f por:

Para representar funciones se utilizan diferentes tipos deregistro, a saber: diagramas, grficas y tablas. Utilizamosdiagramas (figura 1) para ilustrar la correspondencia detodos los elementos de conjuntoXcon algunos o todos loselementos del conjunto Y.

La utilizacin de tablas cumple el mismo papel que los diagramaspero nos permite tener una visin un poco ms ordenada de lacorrespondencia entre los elementos del conjunto X y el conjuntoY (figura 2). Es importante sealar que la utilizacin de tablas estacondicionada al nmero de elementos de los conjuntos con que setrabaje.

La utilizacin de grficas cumple el mismo papel que los

registros anteriores, dndonos una visin geomtrica delcomportamiento de la funcin (figura 3), este registro es tilen algunas ramas de la matemtica que estudian por ejemplomodelacin de problemas.

Observacin 1. Antes de introducir una notacin que permitael manejo y estudio de las funciones de la unidad debemos

mencionar que los conjuntos de trabajo sern consideradoscomo subconjuntos de los nmeros reales.Una funcin usualmente se denota por una letra itlicaminscula, por ejemplo f. Luego, dados dos conjunto XeY, podemos representar una funcin fde Xen Ypor medio


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de la notacin o por medio de un diagrama similar al de la figura 1 (figura 4). Elnmeroy del conjunto Yque se muestra en la figura 4 el que est asociado conx del conjuntoXva la funcin f se escribe:

y se lee y es igual a f dex. Tambin se dice que el nmerof(x) es el valor de la funcin f en

x o quey es la imagen dex vaf.

Observacin. Si se conoce la grafica de una relacin dada, la cual se desea determinar si esfuncin o no. Esto se puede realizar utilizando la prueba de la recta vertical, la cual establece:Una relacin es una funcin si y solamente si cada recta vertical intersecta la grfica de la relacindada a lo ms en un punto. Para que la prueba de la recta vertical nos que ms clara, analicemoslos siguientes ejemplos.

Ejemplo.

a. Consideremos la relacin dada implcitamente por la ecuacin. Es decir consideremos la circunferencia de radio 2. Si

observamos la grfica de nuestra relacin, la cual se muestra en lafigura 5, y trazamos una recta vertical que pase por el punto (1,0)

podemos observar que la recta intersecta a la circunferencia en dospuntos. Por lo tanto la relacin dada no es una funcin.

b. Consideremos la relacin dada implcitamente por laecuacin 3x + 4y 12 = 0. Es decir consideremos la rectaque pasa por los puntos (4,0) y (0,3). Si analizamos lagrfica de nuestra relacin, la cual se muestra en la figura6, podemos observar que al trazar una recta vertical estaintersecta a la grafica de la relacin solamente en un

punto. Por lo tanto la relacin dada es una funcin (lo cualya habamos estudiado en los cursos previos, de hecho la

relacin dada es la ecuacin general de la recta que pasapor los puntos (4,0) y (0,3)).


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Para determinar explcitamente la imagen de nuestra funcin haremos uso de una propiedad delos nmeros reales, la cual establece que; Dado y entonces existe tal que

yn =x4

De lo anterior podemos deducir que

2.3. Funciones inversas.

El lector podr observar que muchas relaciones matemticas importantes se pueden expresar entrminos de funciones, por ejemplo.

a. El volumen Vde un cubo en funcin de su ladox.

b. La demanda dde un producto en funcin del preciop.

c. La temperatura medida en Fen funcin de la temperatura en C.

En muchos casos, lo que nos interesa en invertir la correspondencia entre las variablesinvolucradas. As considerando los ejemplos anteriores tenemos:

a. El ladox de un cubo en funcin de su volumen V.

b. El preciop de un producto en funcin de su demanda d.

c. La temperatura medida en Cen funcin de la temperatura en F.

De nuestros ejemplos, podemos observar que al invertir la relacin entre las variables involucradasa menudo se obtiene una nueva relacin. Esta nueva relacin se denomina inversa de la funcinoriginal.

4 Vease Calculus vol 1, Tom M. Apostol o Principios de Anlisis Matemticos, Rudin.


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A continuacin desarrollaremos tcnicas para determinar si la relacin inversa determina unafuncin, la cual denominaremos funcin inversa.

Recordemos que una funcin es un tipo de relacin entre los elementos de losconjuntosXe Y, que relaciona los elementos de conjuntoXcon un nico elemento del conjunto Y.Pero la asignacin no garantiza que dos elementos del conjuntoXtengan una misma asignacin.

Por ejemplo si consideramos todos los bebs nacidos en Chile durante el ao 2006. Cada bebest asociado a una nica madre, sin embargo dos bebs pueden tener una misma madre. En estecaso la relacin inversa, la cual asigna a cada madre su beb no es una funcin, como podemosobservar en figura 7.

Definicin. Sea una funcin, diremos quefes una funcin uno a uno, tambin llamadainyectiva, si y solamente si se tiene que:

si entoncesx =y, donde .

En otras palabras, una funcin se dice inyectiva si esta no asigna a dos valores distintos unamisma imagen.

Ejemplo. Consideramos dos tipos de funciones ya estudiadas en los cursos previos.

a. Funcin cuadrtica. Sea , definida por . Observe que f no es una

funcin inyectiva ya que, por ejemplo, , mientras que2 2.


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b. Funcin afn. Sea , , donde m 0. Observe que f es una funcininyectiva, en efecto si suponemos que , entonces tenemos que:

Por lo tanto como m 0 tenemos quex =y. As de lo anterior podemos deducir que la funcin

lineal dada es inyectiva.

Observacin 2. Si se conoce la grfica de una funcin dada, y se desea determinar si es inyectivao no, se puede realizar la prueba de la recta horizontal: Una funcin es inyectiva si y solamentesi cada recta horizontal intersecta la grfica de la funcin dada a lo ms en un punto. Retomemoslos ejemplos anteriores y analicemos la inyectividad utilizando la prueba de la recta horizontal.

Ejemplo. Consideramos dos tipos de funciones ya estudiadas en los cursos previos.

a. Funcin cuadrtica. Sea , definida por . La grfica de fse presentaen la figura 8.

Observe que si trazamos la recta horizontalL :y = 5 observamos que se produce una interseccincon la grfica de la funcin en los puntos (2,5) y (2,5), como se muestra en la figura 9.


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De lo anterior tenemos que la funcin dada no es inyectiva.

b. Funcin afn. Sea , definida por . La grfica de f se muestra en lafigura 10.

De la figura 10 se puede observar que al trazar una recta horizontal cualquiera esta no intersectala grfica defen ms de un punto. Por lo tanto la funcin lineal dada es inyectiva.

Aun no estamos en condiciones de determinar si larelacin inversa asociada a una funcin dada es o nouna funcin, ya que falta analizar si todo elementodel conjunto de llegada posee una pre-imagen. Enefecto, analicemos los siguientes ejemplos.

Ejemplo. Comencemos con un ejemplo un pocoms coloquial. La empresa de transmisin de datos


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Rapid posee 4 estacionamientos reservados para su planta de ejecutivos de alto nivel (gerentegeneral, gerente de finanzas y gerente informtico). Para evitar problemas con el uso de losestacionamientos asigna a cada uno de ellos un respectivo estacionamiento como se indica enla figura 11. As la relacin que asigna a cada gerente su respectivo estacionamiento es unafuncin inyectiva, mientras que la relacin inversa que asigna a cada estacionamiento a surespectivo gerente no es una funcin, ya que el estacionamiento 4 no posee usuario asignado.

Ejemplo. Consideremos definida por la relacin

. Si analizamos el grfico de f (figura 12) y

usamos la prueba de la recta horizontal podemos observarque en este caso la funcin dada es inyectiva, adems laimagen de la funcin es .Por otro lado la relacin inversa esta dada por:

Si f(x) =y. Lamentablemente la relacin inversa obtenida no es una funcin sobre el conjuntode los nmeros reales, ya que su dominio no es todo el conjunto de los nmeros reales.

De lo anterior podemos observar que no basta con que una funcin sea inyectiva para que surelacin inversa sea tambin una funcin. De hecho, adems de inyectiva, se debe cumplir que todo

elemento del conjunto de llegada tenga una pre-imagen. Las funciones que satisfacen lo anteriorse denominan funciones epiyectivas o sobreyectivas. A continuacin damos su definicin.

Definicin. Sea una funcin, diremos que f es una funcin epiyectiva, tambinllamada sobreyectiva, si y solamente si se tiene que:


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En otras palabras podemos decir que una funcinfes epiyectiva si y solamente si .

Lo anterior establece que si una funcin es epiyectiva entonces todo elemento del conjunto Yestrelacionado con algn elemento del conjuntoXa travs def.

Como hemos visto a veces es importante, que la relacin inversa asociada a una funcin sea

tambin una funcin. Por lo tanto, las funciones que cumplen lo anterior se denominan funcionesbiyectivas y su relacin inversa de denomina funcin inversa. Para ser ms precisos consideremosla siguiente definicin.

Definicin. Sea funcin, diremos quefes una funcin biyectiva si y solamente si fes una funcin inyectiva y sobreyectiva. Adems la relacin inversa asociada a fse denominafuncin inversa, denotamos por . Adems se tienen que:

Observacin. Antes de mencionar algunas propiedades de las funciones biyectivas, es importante

sealar que .

Ejemplo. Consideramos la funcin lineal definida por podemos observar

que es biyectiva. Adems se tiene que la relacin inversa esta dada por . Me

gusta mucho esta notacin. Hay gente que no usa el y como variable dependiente y se casen conla x. Se agradece.

Por otro lado tenemos que , de donde podemos deducir que , mientras

no esta definida.

Observaciones. Sea una funcin biyectiva, entonces:


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El dominio de f-1 es la imagen def .

La imagen de f-1 es el dominio def.

, para todo . En otras palabras , dondeIy

es la funcin iden-

tidad asociada al conjunto Y

, para todo . En otras palabras , dondeIx es la funcin iden-tidad asociada al conjuntoX

Ejemplo. Consideremos la funcin lineal , definida por . Observe que la

funcin dada es inyectiva, ya que m = 3 0. Para determinar si f una funcin biyectiva

determinemos la imagen def.

Por lo tanto para determinar la imagen de la funcin dada basta determinar para que valores dey

la ecuaciny = 3x + 1 posee solucin. Al resolver la ecuacin en cuestin tenemos:

Por lo tanto no hay restriccin sobrey, lo que implica quey puede ser cualquiera en , de donde

se tiene que:

As de lo anterior tenemos que la funcin es una funcin biyectiva con relacin

inversa . Adems la relacin inversa es funcin.


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2.4. Funciones montonas.

Para finalizar esta seccin introduciremos dos nuevas propiedades que pueden satisfacer lasfunciones. Definiremos los conceptos de funcin creciente y funcin decreciente.

Definicin. Consideremos Iun subconjunto no vaco de los nmeros reales y

funcin. Diremos quefes una funcin:

a. Creciente en I, si y solamente si se tiene que para todo tales que a < b se tieneque . Ver figura 13 como ejemplo.

b. Decreciente en I, si y solamente si se tiene que para todo tales que a < b se tieneque . Ver figura 14 como ejemplo.

Ejemplo. Si consideremos la funcin afn definida por , donde m 0 tenemos

que:

a. Si m > 0, entonces la funcin lineal dada es creciente en . En efecto, supongamos queson tales que a < b. Entonces se tiene que:

De donde podemos deducir que . As de lo anterior se tiene que la funcinlineal dada es creciente.

Para que nos quede ms claro el conceptoes importante sealar, que si conocemosla grfica de la funcin f y observamosque al desplazarnos por el eje de las Xdeizquierda a derecha se tiene que la grficade la funcin sube, esto nos indica que lafuncin es creciente.

b. Si m < 0, entonces la funcin lineal dada


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o

es decreciente en . En efecto, supongamos que son tales que a < b. Entonces setiene que:

De donde podemos deducir que . As de lo anterior se tiene que la funcin linealdada es decreciente.

Anlogamente al caso anterior si conocemosla grafica de la funcinfy observamos que aldesplazarnos por el eje de lasXde izquierdaa derecha se tiene que la grafica de la funcinbaja, esto nos indica que la funcin esdecreciente.

Observacin 3. Si , es unafuncin epiyectiva la cual es creciente odecreciente en A, entonces f es una funcin

biyectiva. En efecto, sin perdida de generalidadpodemos suponer que la funcin en cuestin es creciente (el caso en que la funcin dada esdecreciente es anlogo y se deja como ejercicio al lector), es decir si son tales que a < bentonces . Observe que solo debemos mostrar que la funcin es inyectiva ya que

por hiptesis se tiene que la funcin es epiyectiva.

Supongamos quefno es inyectiva, es decir supongamos que existen distintos tales que. Pero sixy, entoncesx


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3. Potenciacin

La potenciacin o exponenciacin es una multiplicacin de varios factores iguales solo cuandoel exponente es natural, lo mismo que la multiplicacin es una suma de varios sumandos igualescuando uno de los factores es natural. En la nomenclatura de la potenciacin se diferencian dos

partes, la base y el exponente. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica

por s misma. Lo descrito anteriormente se puede analizar en la figura 15.

Una de las definiciones de la potenciacin, se puede realizar utilizando recursividad, a saber:

Si en la segunda expresin se toma que n = 1, se tiene que . Al dividir los dos trminosde la igualdad porx (siempre quex 0), obtenemos quex0 = 1. De este modo hemos obtenido quela potencia cero de cualquier nmero no nulo, es igual a la unidad. Para el caso particular six = 0se tiene 00, esta expresin no est definida.

La definicin anterior se enunci solamente para exponentes naturales o cero. De lo anteriorsurge una interrogante natural; La definicin puede ser extendida al conjunto de los nmerosenteros?

La solucin al problema se puede obtener si introducimos el siguiente axioma, que se asume como

vlido e irrefutable.

Axioma. Dado y entonces .


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Ejemplo. .

3.1. Propiedades de la Potenciacin.

En la siguiente seccin analizaremos las propiedades que satisfacen las potencias. Asumiendo quelos exponentes son nmeros enteros.

Multiplicacin de potencias de igual base. Al multiplicar dos o ms potencias de igual base a se obtiene una potencia de base a cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes delas potencias involucradas. En otras palabras:

Divisin de potencias de igual base. Al dividir dos potencias de igual base a se obtiene una

potencia de base a cuyo exponente es igual a la diferencia de los exponentes del numerador y eldenominador. Ejemplo:

Potencia de potencia. La potencia de una potencia de base a es igual a una potencia de base a cuyo exponente igual al producto de los exponentes. Es decir:

Propiedad distributiva. La potenciacin es distributiva con respecto a la multiplicacin y a ladivisin, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta. Es decir:

En general:


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Existen algunos casos particulares donde se cumple la distribucin de la potenciacin con respectoa la suma y/o la resta, los cuales se detallan a continuacin:

1. Si m = 1. En efecto

2. Si n > 1 entonces:

Si a = 0 entonces existe distribucin de la potenciacin con respecto de la suma. En efecto.

Si b = 0 entonces existe distribucin de la potenciacin con respecto de la suma y la resta. Enefecto.

Si a = b = 0 entonces existe distribucin de la potenciacin con respecto de la suma y la resta.Notar que este es caso particular de los anteriores. En efecto.

Observacin. En general:

Potencia de exponente 0. Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.

, si se cumple que

Potencia de exponente 1.

Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a .


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Potencia de base 10. Toda potencia positiva de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceroscomo unidades posee el exponente. Por ejemplo:

3.2. Aplicacin.

Una de las aplicaciones importantes de la potenciacin es la representacin de nmeros en una basedeterminada. Esta aplicacin es de gran importancia en informtica. A continuacin detallamos lamencionada aplicacin.

3.2.1. Representacin de los nmeros en una base determinada.5

Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudosen una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un nmero al siguiente. A medida que lacantidad crece se hace necesario un sistema de representacin ms prctico.

En diferentes partes del mundo y en distintas pocas se lleg a la misma solucin, cuando se alcanzaun determinado nmero se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este nmeroes la base. Se sigue aadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el nmero

anterior y se aade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un nmero determinado (quepuede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden,las decenas en caso de base 10, se aade una de tercer orden y as sucesivamente.

La base que ms se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 segn todas las apariencias por ser eseel nmero de dedos con los que contamos. Hay alguna excepcin notable como son la numeracin

babilnica que usaba 10 y 60 como bases y la numeracin maya que usaba 20 y 5 aunque con algunairregularidad.

5 Adaptacin del texto El concepto de base de Santiago Casado.


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Desde hace 5000 aos la gran mayora de las civilizaciones han contado en unidades, decenas,centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos hacindolo hoy. Sin embargola forma de escribir los nmeros ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido suavance cientfico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el clculo.

Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los nmeros enteros, aunque en

algunos casos pueden confundirse unos nmeros con otros, pero muchos de ellos no son capacesde representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de smbolos que los hace pocoprcticos.

Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicacin,requiriendo procedimientos muy complicados que slo estaban al alcance de unos pocos iniciados.De hecho cuando se empez a utilizar en Europa el sistema de numeracin actual, los abaquistas,los profesionales del clculo se opusieron con las ms peregrinas razones, entre ellas la de quesiendo el clculo algo complicado en s mismo, tendra que ser un mtodo diablico aquel que

permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla.

El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los rabes. Del origenindio del sistema hay pruebas documentales ms que suficientes, entre ellas la opinin de Leonardode Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. Elgran mrito fue la introduccin del concepto y smbolo del cero, lo que permite un sistema en elque slo diez smbolos puedan representar cualquier nmero por grande que sea y simplificar laforma de efectuar las operaciones.

3.2.2. Sistemas de numeracin.

A continuacin describiremos algunos sistemas de numeracin mas usados. Cabe resaltar que eltrabajo de numeracin se puede realizar en cualquier base

a. Sistema de numeracin decimal. Tambin llamado sistema de numeracin Base 10, utilizadiez dgitos para representar cualquier cifra. Ellos son:


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0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Combinando estos dgitos, podemos construir cualquier nmero.

Ejemplo: El nmero 569 es un dato representado en sistema de numeracin decimal. Loconstruimos mediante:

b. Sistema de numeracin binario. Tambin llamado sistema de numeracin Base 2, El sistemabinario utiliza dos dgitos para representar cualquier cifra. Estos dgitos son 0, 1. Combinandoestos dgitos, podemos construir cualquier nmero.

Ejemplo: El nmero 110101 es un dato representado en sistema de numeracin binario.

Observemos que no estamos familiarizados con el sistema de numeracin binario, ya que enla vida cotidiana utilizamos y representamos los nmeros en el sistema decimal.Para comprender mejor el significado del nmero 110101 en sistema binario, aplicaremos un

proceso de conversin, que nos permita representar dicho nmero en el sistema decimal.

Ejemplo: El nmero 110101 en sistema binario equivale a:

De lo anterior tenemos que la representacin decimal del numero binario 110101 es 53.

Observacin. Tambin es posible realizar el proceso inverso, es decir dado un nmerorepresentado en el sistema decimal, determinar su representacin en el sistema binario.


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Ejemplo: Continuemos trabajando con el nmero 53 en sistema decimal. Realicemos elsiguiente procedimiento:

El procedimiento anterior consiste en dividir por 2 el nmero que deseamos representar ensistema binario. Luego aplicamos el mismo procedimiento con el cuociente de la divisinanterior y as sucesivamente hasta obtener cuociente 0. Lo interesente de este mtodo esque los restos de las divisiones que hemos realizado nos determinan la representacin delnumero en base binaria. Por lo tanto nuestro nmero en sistema binario queda representado

por 110101.

Dato curioso.6 Existe una tcnica ms ldica que nos permite ver la representacin binariade un nmero. Esta tcnica consiste en utilizar los nuestras manos, la cual puede ser deutilidad si no contamos como una calculadora. Lamentablemente esta tcnica solo se puedeaplicar para nmeros pequeos (entre 1 y 1023). Ilustraremos un ejemplo con una secuenciade imgenes. Figura 16.

6 Para mayor informacin visitar http://gaussianos.com/los-dedos-de-la-mano-suman-1023.


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Como ejemplo de la importancia del sistema binario en la representacinde los datos, se tiene que los ordenadores representan todos susdatos en sistema de numeracin binarios. Es decir, los datos viajan,se procesan y se almacenan en los ordenadores a travs de impulsoselctricos. Estos impulsos se representan por dos estados, prendido(1) apagado (0).

c. Sistema de numeracin octal. Tambin llamado sistema de numeracin Base 8. El sistemaoctal utiliza ocho dgitos para representar cualquier cifra. Estos dgitos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

d. Sistema de numeracin hexadecimal. Tambin llamado sistema de numeracin Base 16. Elsistema hexagecimal utiliza diecisis dgitos para representar cualquier cifra. Estos dgitos

son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Es importante sealar que este sistema numrico tiene mucha utilidad, en las operacionesinternas del computador, ya que por ejemplo cuando se utiliza el comando DEBUG, losvalores contenidos en todos los registros de memoria se especifican en hexadecimal. S dosvalores se suman, restan, multiplican o dividen, el resultado se presenta en hexadecimal. Dadoque lo ms comn es el sistema decimal, es necesario efectuar una conversin de hexadecimaly viceversa para obtener el resultado de cualquier operacin en el formato DEBUG.

En este instante surge una pregunta natural: A mi me surge otra:

Como es posible realizar un cambio de Base?

El proceso para escribir el nmero 53 en sistema binario, se describi en (1) sin embargo, esteproceso se puede realizar para escribir cualquier nmero y cualquier base distinta de 10.El proceso consiste en dividir al nmero por la base, y luego dividir los cocientes que sevan obteniendo por la base hasta que no se pueda continuar. Luego se escriben los restosempezando por el ltimo hasta llegar al primero.

A continuacin se presenta el siguiente ejemplo, como escribir a 63481 en base 8:


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As del procedimiento anterior tenemos que la representacin del nmero 63481 en el sistemaoctal es (173771)

8

Para comprender como funciona el cambio de base, supongamos que ya se tiene escrito alnmero en base 8 (es lo mismo en cualquier otra base).

Lo podemos separar en dos partes: la ltima cifra y el todas las otras. De esta manera queda:

Pero la primera parte es mltiplo de 8 y la ltima es menor que 8, as que a tiene que serel resto en la divisin por 8 y ....fedcd

8el cociente. Por esto es necesario realizar la primera

divisin. En el ejemplo se tiene que a = 1 y ....fedcd8 = 7935.

Pero todava se necesita escribir al cociente en base 8, pero para ello repetimos esta operacin.En el segundo paso obtenemos que b = 7 y ...fedc

8= 991 . En cada repeticin el cociente es

ms chico y por lo tanto en algn momento el da menor que 8, por lo tanto este procedimientosiempre termina.


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4. Funciones exponenciales

La mayora de las funciones que se han estudiado en los cursos previos han sido funciones linealesy cuadrticas. La clase general de funciones definidas por medio de un numero finito de operacionesalgebraicas (suma, resta, multiplicacin, divisin, potencias y races) aplicadas a la funcin identidady a la funcin constante, se denominan funciones algebraicas.

En esta seccin se estudiarn las propiedades de dos nuevos tipos importantes de funciones, lasexponenciales y las logartmicas. Estas funciones no son algebraicas pero forman parte de ungrupo de funciones denominado funciones trascendentales. Las funciones logartmicas y lasexponenciales se utilizan en la descripcin y solucin de una amplia variedad de problemas de lavida cotidiana, como ya hemos mencionado, incluyendo el crecimiento de poblaciones, animales y

bacterias; decaimiento radioactivo; el incremento del dinero con inters compuesto; la absorcin dela luz al atravesar el aire, agua o vidrio y las magnitudes del sonido, entre otras.

4.1. Funciones Exponenciales.

Comencemos la discusin de los temas observando que las funcionesfygdefinidas por

y

no son iguales. En efecto, en la primera funcin se tiene una base variable elevada a un exponenteconstante y en la segunda funcin se tiene a una base constante elevada a un exponente variable,existiendo una gran diferencia. La primera funcin es una funcin polinomial, que pertenece alconjunto de las funciones algebraicas, mientras que la segunda funcin pertenece al conjunto delas funciones trascendentales, y se denomina funcin exponencial.

Observemos que si se les pidiramos a variosestudiantes que realizaran la grfica de la funcinexponencial , lo ms probable es queutilizaran una tabla asignando valores enteros a lavariable y uniran los puntos por medio de una curva

como se muestra en la figura 18.


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En la realizacin del procedimiento anterior, es importante sealar que existe una pequea trampa,ocurre que 3x no se defini para todos los nmeros realesx. De hecho hasta el momento solo sabemoslo que significa 3n, donde .

Para justificar el significado de 3p, dondep es un nmero racional usaremos la siguiente propiedadde los nmeros reales, la cual asumiremos como axioma.

Axioma 17. Para todo y existe tal queyn = x.y se denomina la raz enesima

dex la cual se denota por . Adems las leyes de potencias son validas para potencias

de exponentes de la forma , donde .

Observacin. Para calcular , donde y , aplicaremos la propiedad de potencia queestablece:

De lo anterior podemos deducir que .

En este momento estamos en condiciones de determinarxr, donde y . Si

entonces existen m, tal que . Por lo tanto

Por ltimo en este momento surge una pregunta natural. Cmo realizar el calculo de , porejemplo? O si se desea, nos podramos preguntar Cmo realizar el clculo de 3p, dondep es unnmero irracional?

7 Vease Calculus vol 1, Tom M. Apostol.


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La respuesta escapa a los alcances de la unidad. Sin embargo podemos mostrar un procedimientoque se puede utilizar para determinar una aproximacin de 3r, donde res un numero irracional.Por ejemplo tratemos de determinar . Observemos que:

Entonces los nmeros racionales

Dan en orden sucesivo mejores aproximaciones a . De lo anterior podemos deducir quelos nmeros

Nos entregan en orden sucesivo mejores aproximaciones al valor de . De hecho si se deseauna aproximacin ms exacta de debemos considerar una mejor aproximacin de . Eneste punto surge el problema de qu entendemos por mejor aproximacin lo cual es materiade otra rama de las matemticas. Para no profundizar ms en el tema, ya que no correspondea las materias de la unidad, introduciremos un axioma de trabajo, entendiendo que un axiomaun hecho considerado irrefutable y que se asume como verdadero, sobre el cual se basar en eltrabajo de esta seccin.

Axioma 28. Para b > 0 y cualquier nmero realr, la expresin brrepresenta un nico nmero

real, adems las leyes de potenciacin son vlidas para todos los exponentes reales.

Definicin. Sea a > 0, a 1, definimos la funcin exponencial de base a, , definida por

Observe que gracias al axioma se tiene que la funcin esta bien definida, de donde podemosdeducir que el dominio de es efectivamente el conjunto de los nmeros reales. Porotro lado es importante sealar que si a = 1 se obtiene simplemente la funcin constantef(x) = 1.


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4.1.1. Propiedades de las funciones exponenciales.

A continuacin realizaremos un estudio de las funciones exponenciales indicando las propiedadesque satisfacen, adems de analizar su grfica dependiendo de los valores que puede tomar su

base.

Consideremos a > 0, a 1, y la funcin exponencial de base a, , definida por

a. Observemos que dado el axioma, se tiene que el dominio de la funcin exponencial es elconjunto de los nmeros reales, lo cual ya fue mencionado para garantizar que la funcinexponencial esta bien definida.

b. La imagen de la funcin exponencial es el conjunto de los nmeros reales positivos. Lademostracin no es trivial, pero si el lector desea profundizar puede consultar el texto Calculusvol 1, Tom M. Apostol.La grfica de la funcin exponencial intersecta al eje las ordenadas solamente en el punto

(0,1), independiente de la base de la funcin exponencial.c. La grfica de la funcin exponencial no intersecta al eje de las abscisas, es decir la ecuacin

No posee solucin en el conjunto de los nmeros reales.d. El eje de las abscisas es una asntota9 horizontal de la grfica de la funcin exponencial. Ms

precisamente, dependiendo de la base de la funcin exponencial si esta es mayor a 1 o menora 1, la grafica se aproxima a cero, a medida que se aproxima al infinito negativo o al infinito

positivo segn corresponda.

e. La funcin exponencial es creciente si a > 1, mientras que si a < 1 la funcin exponencial esdecreciente. En efecto mostremos que si a > 1 entonces la funcin exponencial de base a escreciente.

Seax >y entonces se tiene quex =y + rdondex > 0, por lo tanto:

8 Vease Calculus vol 1, Tom M. Apostol.9 La definicin formal de asintota horizontal es: La recta y = b es una asintota horizontal de la funcinf(x) si . En trminos ms

coloquiales una recta horizontaly = b es una asintota de la funcinf(x) si la grfica de la funcinf(x) y de la rectay = b se confunden cuando

tiende al infinito.


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Pero de los axiomas 1 y 2 tenemos que las propiedades de potenciacin son siempre vlidas,por lo tanto podemos asegurar que:

As de lo anterior tenemos que

Por lo tanto la funcin exponencial es una funcin creciente si a < 1 . Por otro con unracionamiento similar podemos deducir que la funcin exponencial es una funcin decrecientesi a < 1.

f. La funcin exponencial es funcin inyectiva es decir:

En efecto, esto es consecuencia directa de la propiedad e. adems de la observacin 3 dela seccin 2 de la unidad. De esta propiedad se tiene una herramienta potente para resolverecuaciones exponenciales, una de las aplicaciones que analizaremos ms adelante.

g. S son tales que a 1 y b 1 entonces para todo se tiene que las siguientespropiedades de potencias se satisfacen.

Lo anterior es consecuencia directa de los axiomas 1 y 2, ya que las propiedades antesmencionadas son propiedades de potencias.

h. Dado no nulo se tiene que si son tales que a 1 y b 1 entonces

ax = bxsi y solamente si a = b.


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Ejemplo. Para ilustrar lo descrito anteriormente, analicemosen un mismo sistema coordenado las graficas de las funciones

exponenciales y .(Figura 19). De la

grfica podemos observar que la funcin f es una funcincreciente. Adems si realizamos la prueba de la recta horizontal

se puede determinar que la funcin es inyectiva. De maneraanloga podemos observar que la funcin g es decreciente einyectiva.

4.1.2. Aplicaciones.

En esta seccin mostraremos algunas aplicaciones de las funciones. Las aplicaciones quemostraremos van desde resolver ecuaciones exponenciales, resolver problemas de crecimiento de

poblaciones, calculo de inversiones de capital en inters compuesto, desintegracin radioactiva,entre otras.

1. Ecuaciones exponenciales. Uno de los problemas a los cuales se enfrentan los estudiantes durantela enseanza media es la resolucin de ecuaciones, ya sean ecuaciones lineales o ecuaciones desegundo grado, entre otras. En este ejemplo se ilustrar la utilidad de las propiedades de lasfunciones exponenciales para resolver ecuaciones que involucren funciones exponenciales.

Problema 1. Determine el conjunto solucin de la siguiente ecuacin exponencial.

Solucin. Para resolver la ecuacin dada usaremos la propiedad de inyectividad de las funcionesexponenciales. Ms especficamente propiedad f.


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2. Aplicaciones de la Ley de Malthus10. Para analizar esta ley primero debemos ubicarnos elcontexto de la modelacin matemtica. Las ecuaciones Diferenciales son una de las ramasde la matemtica que trata de resolver problemas reales va la modelacin. Muchas leyesnaturales e hiptesis pueden ser traducidas al lenguaje matemtico en ecuaciones que envuelvenderivadas. Por ejemplo derivadas aparecen en la fsica como velocidades y aceleraciones, enla geometra como pendientes, en la biologa como razn de crecimiento de poblaciones, en

sicologa como razn de aprendizaje, en qumica como rapidez de reaccin, en economa comorazn de cambio de costo de vida y en finanzas como razn de crecimiento de inversiones.

En muchos modelos matemticos, para obtener una ecuacin diferencial que describa unproblema real, se asume que la situacin es gobernada por leyes muy simples. Una vez que elmodelo es construido en la forma de una ecuacin diferencial, la siguiente etapa es resolverla ecuacin diferencial y utilizar la solucin para hacer predicciones relativas al problemareal. En el caso que estas predicciones no concuerden razonablemente con la realidad, sedebe considerar los supuestos iniciales para obtener un modelo ms cercano a la realidad. Acontinuacin daremos algunos ejemplos especficos donde las soluciones de las ecuacionesdiferenciales de algunos problemas reales son funciones exponenciales.

Dinmica de poblaciones. Uno de los primeros intentos de modelar matemticamente elcrecimiento demogrfico humano lo hizo el economista ingles Thomas Malthus en 1798.En esencia, la idea del modelo malthusiano es la hiptesis de que la tasa crecimiento de la

poblacin de un pas crece en forma proporcional a la poblacin total. P(t), de ese pas encualquier momento t.

En trminos matemticos, esta hiptesis se puede expresar en la siguiente ecuacin

(Ley de Malthus) (1)

donde kes una constante de proporcionalidad.

10 Para conocer la biografa de Thomas Malthus, visitar www.eumed.net/cursecon/dic/bzm/m/Malthus.htm.


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A pesar de que este modelo no toma en cuenta muchos factores, como por ejemplo inmigraciny emigracin, que pueden influir en las poblaciones humanas, sin embargo predijo con bastanteexactitud la poblacin de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860.

La solucin de la ecuacin diferencial (1) es una funcin exponencial, a saber:

DondeP0

representa la poblacin inicial de la muestra.

Observacin. Las poblaciones que crecen con tasa proporcional son raras, sin embargose sigue usando la ecuacin (1) para modelar el crecimiento de poblaciones pequeas enintervalos cortos de tiempo, como por ejemplo el crecimiento de bacterias.

Biologa. Se ha observado que para un gran tipo de colonias de bacterias tienden a crecer

en una razn proporcional al nmero de bacterias presentes. Si para tales tipos de coloniasconsideramos B(t) el nmero de bacterias presentes en el instante t y denotamos por k laconstante de proporcionalidad, podemos observar queB(t) satisface las hiptesis de la ley deMalthus, por lo tanto podemos deducir que:

dondeB0

es el nmero de bacterias iniciales de la muestra.

Desintegracin Radiactiva. El ncleo de un tomo esta formado por combinacionesde protones y neutrones. Muchas de esas combinaciones son inestables; esto es, lostomos se desintegran o se convierten en tomos de otras sustancias. Se dice que estosncleos son radioactivos; por ejemplo, con el tiempo el radio Ra 226 que es intensamenteradioactivo, se transforma en gas radn Rn , 222 tambin radioactivo. Para modelarel fenmeno de la desintegracin radioactiva, se supone que la tasa con que el ncleode una sustancia se desintegran es proporcional a la cantidad M(t) de sustancia quequeda en el tiempo t: es decir se supone que la desintegracin se comporta bajo los


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supuestos de la Ley de Malthus, de donde se tiene que la cantidad de material radioactivo enel instante testa dado por

Farmacologa. Se sabe en farmacologa que la penicilina y otras drogas administradas a

pacientes desaparecen de sus cuerpos de acuerdo a la siguiente regla; SiD(t) es la cantidadde droga en un cuerpo humano en el instante t, entonces la razn de cambio de la droga esproporcional a la cantidad presente. Esto es,D(t) satisface las hiptesis de la Ley de Malthus,de donde se puede deducir que la cantidad de droga en un instante testa dada por:

Donde kes la constante de proporcionalidad.

3. Inters compuesto. Las inversiones, tales como las cuentas de ahorros, pagan una tasaanual de inters que puede componerse anual, semestral, trimestral mensual, diaria y assucesivamente. En general, si una cantidad de P pesos se invierte con una tasa de intersanual r, que se compone n veces al ao, entonces la cantidad incrementada al cabo de taosesta dada por:

Donde Ses el valor futuro del capitalP.

Observe que el valor futuro del capital puede ser expresado como una funcin exponencial.En efecto, al cabo de taos el valor futuro del capital depositado en una cuenta de ahorros conun inters compuesto de rque se componen n veces al ao esta dado por:

Donde .


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Por otro lado si tenemos que el nmero n de veces que el inters se compone crece sin lmite,se dice que el inters se compone continuamente. Para determinar el valor futuro Sen este

caso es importante sealar que si consideramos , entonces obtenemos:

Por otro lado recordemos que e es el lmite de cuando m tiende a infinito, lo cual fue

expuesto en la seccin 1.2.). As podemos observar que si la tasa anual de inters rse componecontinuamente entonces el valor futuro Sde un capital Cdespus de taos ser:

4. Funcin Logstica. La funcin exponencial es un modelo vlido para crecimientos odecrecimientos continuos en los que las condiciones son siempre igualmente favorables:aumento del capital ingresado en un banco, desintegracin de sustancias radioactivas, etc.Las poblaciones de seres vivos comienzan creciendo segn una curva exponencial pero si nohay catstrofes, llegan a invadir su espacio vital y, debido a la limitacin de alimentos, etc.,su crecimiento se amortigua, no sobrepasando su poblacin lmite. Este tipo de aumento,

amortiguado por un nivel de saturacin se llama crecimiento logstico.

La funcin logstica describe mucho mejor que la exponencial lo que realmente ocurre conlas poblaciones de seres vivos. En general, la funcin logstica asociada a una exponencial

, dondeP0

es la poblacin inicial, es:

DondeL es la poblacin lmite y .


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5. Funciones Logartmicas

En la seccin anterior estudiamos las funciones exponenciales , donde y a 1.Una de las propiedades que analizamos de las funciones exponenciales es que independientede la base de trabajo, la funcin es exponencial es inyectiva.

Al ser la funcin exponencial , , inyectiva podemos garantizar queexiste la relacin inversa. Lamentablemente como ya analizamos en la seccin 4 para quela relacin inversa defina una funcin no basta con la propiedad de inyectividad y debemosaadir que la funcin asociada sea sobreyectiva.

La finalidad de esta seccin es analizar bajo que condiciones la relacin inversa asociada alafuncin exponencial , define una funcin y cuales son sus propiedades y aplicaciones.

5.1. Defi

nicin de funcin logaritmo.

Como ya hemos observado anteriormente En nuestro caso la funcin exponencial ,, no es sobreyectiva ya que la imagen de la funcin exponencial es .

De lo anterior podemos deducir que si consideremos la funcin exponencial ,definida por , donde y a 1, obtenemos que la relacin inversa define unafuncin.

Definicin. Definimos la funcin inversa asociada a la funcin exponencial ,definida por , donde y a 1, por:

Donde loga

(y) = x si y solamente si ax

=y.


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Observacin. Es importante sealar que la funcin inversa asociada a la funcin exponencial, se denomina funcin logaritmo de base a y la expresin

Se lee logaritmo en base a dey.

Ejemplo. En cada caso determinemos el valor de la variablex.

a. . Observe que si aplicamos la definicin de funcin logaritmo tenemos:

Por lo tanto se tiene que si y solamente six = 3.

b. . Observe que si aplicamos la definicin de funcin logaritmo tenemos:


c. . Observe que si aplicamos la definicin de funcin logaritmo tenemos:



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5.1.1. Propiedades de las funciones logartmicas.

A continuacin realizaremos un estudio de las funciones Logartmicas indicando las propiedadesque satisfacen, adems de analizar su grfica dependiendo de los valores que puede tomar su

base.

Consideremos a > 0, a 1 , y la funcin logartmica de base a, , defi

nida por

a. imagen de la funcin logartmica es el conjunto de los nmeros reales. La grfica de la funcinlogartmica intersecta al eje las abscisas solamente en el punto (1,0), independiente de la basede la funcin logartmica.

b. Al ser , la funcin inversa de la funcin exponencial , definida por

, se tienen las siguientes igualdades:

1. para todo .

2. para todo .

c. La grfica de la funcin logartmica no intersecta al eje de las ordenadas. De hecho independientede la base de la funcin logartmica se tiene que log

a(0) no esta definida.

Lo anterior es consecuencia directa de la definicin de funcin logartmica. En efecto sisuponemos que existe tal que log

a(0) =x entonces:

Lo cual es un absurdo, ya que si a > 0 , a 1 ax > 0


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d. El eje de las ordenadas es una asntota11 vertical de la grfica de la funcin exponencial. Esdecir la grfica de la funcin logartmica no corta el eje de las Y.

e. La funcin logartmica es creciente si a > 1, mientrasque si a < 1 la funcin logartmica es decreciente(Figura 20).

En efecto mostremos que si a > 1 entonces la funcinlogartmica de base a es creciente. Sea x > y > 0analicemos la relacin que existe entre log

a(x) y

loga

(y). Supongamos que:

Por lo tanto de la definicin de funcin logartmica tenemos que:

Por otro lado sabemos quex > y > 0 , de donde podemos deducir que:

Por otro lado como a > 1 se tiene que la funcin exponencial es creciente por lotanto si ap > aq, podemos deducir que p > q. De lo anterior hemos obtenido que la funcinlogartmica es una funcin creciente si a > 1. Por otro con un racionamiento similar podemosdeducir que la funcin logartmica es una funcin decreciente si a < 1.

f. La funcin logartmica es funcin inyectiva, es decir:

11 La definicin formal de asintota vertical es: La rectax = a es una asintota vertical de la funcinf(x) toma valores arbitrariamente grandes cuando. Para mayor informacin y profundizacin vease Calculus vol 1, Tom M. Apostol.


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En efecto, esto es consecuencia directa de la propiedad e. adems de la observacin 3 dela seccin 2 de la unidad. De esta propiedad se tiene una herramienta potente para resolverecuaciones logartmicas, una de las aplicaciones que analizaremos ms adelante.

g. S es tal que a 1 entonces para todo se tienen las siguientes propiedades

1. . En efecto, de la observacin a. se tiene que:

y

De donde podemos deducir que:

Es decir

Aplicando la definicin de funcin logartmica obtenemos:

2. . En efecto, de la observacin a. se tiene que:

y


Es decir



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3. , para cualquier . En efecto, de la observacin a. se tiene que:


Es decir


Observacin. Es importante sealar que:

h. Si son tales que a 1y b 1 entonces para todo se tiene que:

Esta propiedad se conoce como formula de cambio de base. Para verificar la formula de

cambio de base observemos que si:

entonces


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Si aplicamos logaritmo en base b en la ltima igualdad tenemos:

Es decir

Observacin. En el uso cotidiano de las funciones logartmicas existen dos bases que son ms

usadas, la base b = 10 y la base b = e, definiendo respectivamente las funciones logartmicasconocidas como funcin logaritmo comn y funcin logaritmo natural, las cuales sedenotan por

5.1.2. Aplicaciones.

En esta seccin mostraremos algunas aplicaciones de las funciones logartmicas. Las aplicaciones

que mostraremos van desde resolver ecuaciones logartmicas, Intensidad del sonido, entre otras.

1. Ecuaciones Logartmicas. Uno de los problemas a los cuales se enfrentan los estudiantesdurante la enseanza media es la resolucin de ecuaciones, ya sean ecuaciones lineales oecuaciones de segundo grado, entre otras. En este ejemplo se ilustrar la utilidad de las

propiedades de las funciones logartmicas para resolver ecuaciones que involucren funcioneslogartmicas.Problema 1. Determine el conjunto solucin de la ecuacin logartmica.


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Lamentablemente el dominio de la funcin log(x) es el conjunto de los nmeros realespositivos, de donde podemos deducir que x = 5 no es solucin de la ecuacin dada ya quelog(2) y log(5) no estn definidos.

As de lo anterior se tiene que la nica solucin de la ecuacin logartmica esx = 2.Problema 2. Determine el conjunto solucin de la ecuacin logartmica.

Solucin. Para resolver esta ecuacin combinaremos la tcnica para resolver ecuaciones desegundo grado y las propiedades de funciones logartmicas. En efecto observe:

Por lo tanto si realizamos el cambio de variable obtenemos que:

Al resolver la ecuacin de segundo obtenida se tiene que:

De lo anterior se tiene que los valores dex que resuelven la ecuacin exponencial dada debensatisfacer que:

As se tiene que las soluciones de la ecuacin logartmica sonx = 1 y x = e2.

2. Intensidad del Sonido. El odo humano es capaz de or el sonido en un rangoincreble de intensidades. EL sonido ms fuerte que una persona puede percibirsin sufrir dao en su tmpano posee una intensidad de un billn de veces la del

sonido ms suave que puede percibir. Para no trabajar con un rango tan grandede nmeros, se usan los logaritmos para crear escalas comprimidas que seanms fciles de trabajar. La escala de decibeles para la intensidad del sonido,


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es un ejemplo de escalas utilizadas. El decibel llamado as por el inventor del telfono,Alexander Graham Bell, se define por:

DondeD es el nivel de decibeles del sonido,Ies la intensidad del sonido medida en watts por

metro cuadrado eI0 es la intensidad del sonido ms pequeo audible por una personapromedio joven y saludable puede escuchar. Este ltimo se estandariza aI

0= 1012 watts por

metro cuadrado.

3. Intensidad de un terremoto. La energa liberada por un terremoto, medida en Joules, esaproximadamente de 100 mil millones de veces la energa liberada por un terremoto de

poca intensidad. En 1935 el sismlogo de California Charles Richter desarrollo una escalalogartmica que lleva su nombre y se usa ampliamente en Estados Unidos. La magnitudMenla escala de Richter esta definida por:

DondeEes la energa liberada por el terremoto, medida en Joules yE0

es la energa liberadapor un terremoto de muy poca intensidad que se ha estandarizado aE

0= 104.40 Joules.


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GEOMETRA

LA GEOMETRA EN QUE VIVIMOS

UNIDADGEOM

ETRA

Mara Isabel Escobar Gutirrez

Gustavo E. Rodrguez Seplveda

MATERIAL D E REFERENCIA


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CONTENIDO

63

Presentacin de la unidad

Elementos bsicos de geometra 66

Los actores geomtricos del espacio 73

Poliedros Regulares, Slidos Platnicos 76

Poliedros irregulares 81

rea de los cuerpos Geomtricos 87

Eureka, eureka! Lo encontr! 92

Cuerpos generados por traslacin 99

Slidos de revolucin 105

Teorema de Pappus - Guldin 107

64

Un poco de historia

65

Geometra del espacio

110

Referencias Bibliogrficas


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6Unidad: Geometra en el espacio

A lo largo de la Educacin Media nuestros estudiantes se han visto enfrentados fundamentalmentea situaciones en las que slo han necesitado desarrollar habilidades geomtricas en el plano. Sinembargo, en la realidad, la figura plana de dos dimensiones no existe como tal, si no formando

parte de un cuerpo en el espacio. Nuestro entorno est rodeado de objetos que tienen tres dimensiones:largo, ancho y alto: an cuando manipulamos papel, cartn, madera, etc., trabajamos con cuerposgeomtricos, ya que stos tienen, aunque pequeo, un cierto grosor; es mentalmente entonces queseparamos la figura geomtrica plana de las figuras geomtricas del espacio como si estas notuvieran relacin con los cuerpos slidos.

En la presente unidad de estudio, se abordarn tpicos referentes a la geometra del espacio. Comolos alumnos han trabajado en aos anteriores con los elementos bsicos del plano: punto, recta yngulo, en una primera instancia nos centraremos en los elementos bsicos de la geometra en elespacio, que se requieren para comprender su estudio. En particular, se caracterizarn rectas y

planos, ngulos diedros, posiciones relativas de los planos en el espacio, entre otras. Posteriormente

abordaremos las caractersticas de cuerpos geomtricos en general y las relaciones obtenidas ensu estudio: se presentar la Regla de Euler que nos muestra una relacin numrica entre caras,vrtices y aristas de los cuerpos poliedros, y se presentarn adems las relaciones obtenidas a partirdel volumen de los prismas y las pirmides.

Se tratarn conceptos bsicos de vectores vinculados a la traslacin de figuran que permiten larepresentacin plana de cuerpos geomtricos, y en la rotacin de figuras planas encontraremossentido al concepto de slido de revolucin, apoyados del teorema denominado Pappus-Guldinse mostrar un mecanismo matemtico que permite el clculo del volumen y rea de cuerposredondos a partir del estudio de la figura plana que lo genera.

La presentacin de los contenidos tericos se vincula a la historia, de manera que se aprecie quedetrs del pensamiento cientfico existe un contexto histrico y cultural. Han sido hombres quienes,en escenarios muy diversos, han puesto luz en zonas del conocimiento cientfico enriqueciendoel legado de conocimientos que tenemos como humanidad.

PRESENTACIN


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64 Unidad: Geometra en el espacio

La geometra ha estado presente en la historia de la humanidad desde sus comienzos, sin embargo,el origen de su nombre se remonta al antiguo Egipto. La geometra como palabra tiene dos racesgriegas:geo = tierra y metrn = medida; o sea, significa medida de la tierra. Tanto en el antiguo

Egipto como en la civilizacin Mesopotmica encontramos clculo de volmenes y reas, ademsde primitivas nociones de Trigonometra y semejanza de tringulos asociadas a medicin dedistancias y construccin de obras que les permitieron resolver situaciones prcticas, sin embargo,carecan de principios generales y demostraciones formales.

Recin alrededor del siglo VI a.C. durante el auge de la culturaHelnica se abordan los conceptos geomtricos desde una

perspectiva ms terica, donde por primera vez se recopilan loshechos matemticos abstractos. Estos conocimientos pasaron alos griegos y fue Thales de Mileto quien hace unos seis siglosantes de Cristo inici la geometra demostrativa. Las propiedades

se demuestran por medio de razonamientos y no porque resultenen la prctica las demostraciones pasan a ser fundamentales y laLgica pasa a ser la base de las leyes del razonamiento. As sesistematiz el conocimiento geomtrico acumulado, y en este

proceso se adquieren nuevos conocimientos mucho ms generalesque las reglas particulares ya conocidas.

Euclides fue otro matemtico griego, del siglo III antes de Cristo, quien en su famosa obra tituladaLos Elementos, recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de geometra hasta supoca y, salvo algunas pequeas variaciones, son los mismos conocimientos que se siguen enseandoen nuestros das.

Euclides, usando un razonamiento deductivo parte de conceptos bsicos primariosno demostrables tales como punto, recta, plano y espacio, que son el punto de

partida de sus definiciones, axiomas y postulados. Euclides demuestra teoremasy a su vez, stos servirn para demostrar otros. Crea nuevos conocimientos a

partir de los ya existentes por medio de cadenas deductivas de razonamientolgico. Esta geometra, llamada geometra euclidiana se basa en lo quehistricamente se conoce como 5 postulado de Euclides: por un punto situado

fuera de una recta se puede trazar una y slo una paralela a ella.

Existen otras geometras que no aceptan dicho postulado euclidiano, sino que aceptan otrosprincipios que dan origen a las llamadas geometras no euclidianas, como la creada en el siglo

XIX por el ruso Lobatschevsky.

La geometra euclidiana puede dividirse en geometra plana y en geometra del espacio oEstereometra. La geometra plana estudia las figuras contenidas en un plano. La geometra delespacio estudia figuras que no estn contenidas en un mismo plano.

UN POCO DE HISTORIA

Foto extrada de History and Theory ofPsychology Course

http://www.comnet.ca/~pballan/section1(210).htm


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Geometra del espacio

Este texto aborda de forma particular la geometra del espacio desde la perspectiva euclidiana yest orientada especialmente al clculo de reas y volmenes de cuerpos geomtricos, en estembito se destaca en forma especial el aporte realizado por Francesco Cavalieri, Pappus deAlejandra, Pal Guldin y Leonard Euler.

Francesco Cavalieri mediante su mtodo de lo indivisible encuentra simple y rpidamente reay volumen de varias figuras geomtricas, Pappus de Alejandra (300 a.C.) y Pal Guldin (ao1600)sintetizan lo que actualmente es llamado el teorema de Pappus-Guldin que permite el calculo derea y volumen en slidos de revolucin, un aporte al estudio de los poliedros convexos lo realizaEuler con la conocida regla que lleva su nombre, que da cuenta de la relacin existente entre caras,vrtices y aristas.

La mayora de las construcciones y los objetos creados por el hombre son ejemplos de formasgeomtricas, muchas veces cercanas a cuerpos geomtricos puros. En la siguiente serie de imgenes

podemos apreciar la presencia de cuerpos geomtricos en algunos diseos y construcciones.

Pilar en forma de paraleleppedorecto

Dados en forma de dodecaedro La Torre de Pisa que tiene forma de cilindro yla iglesia que tiene distintas formas de prismas

Planetario Universidad de Santiagode Chile

Prisma recto de base triangular Museo de Louvre en Francia


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66 Unidad: Geometra en el espacio

No slo se encuentran los cuerpos geomtricos en objetos hechos por el hombre, la naturaleza yasea en el mbito macro y microscpico nos muestra asombrosos ejemplos.

Elementos Bsicos de GeometraPunto

(1) Unpunto es lo que no tiene partes. (euclides.org)(2) Lmite mnimo de la extensin, que se considera sin longitud, anchura ni profundidad. (RAE)El espacio euclidiano puede considerarse constituido por todos los puntos existentes.

Unpunto no existe en el mundo fsico, sin embargo lo podemos

imaginar como el orificio que deja la punta de un alfiler osimplemente la punta de ste, la huella que deja sobre un papella presin de la punta de un lpiz recin afilado o por una estrellaen el firmamento.

Lnea

Este es una de los conceptos geomtricos cuya definicin representa considerable dificultad, porlo cual se enuncia de distinto modo en diferentes apartados de la geometra.

(1) En la geometra elemental el concepto de lnea no recibe una formulacin precisa y se define,a veces, como longitud sin anchura o como frontera de una superficie. (Enciclopedia delas Matemticas, MIR)

(2) Una lnea es una longitud sin anchura. (euclides.org)

Tipo 2 Cristal del Adenovirus deHexon

Nuestro planeta Tierra es visto comouna esfera

Los volcanes tienen forma similar de cono


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Los extremos de una lnea sonpuntos. (euclides.org)

Considerando que una lnea no existe

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Referencia 4to Medio 2008

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