Semana N° 3

Working Adult Cajamarca Facultad De Ingeniera

SEMANA N 3

CURSO: CALCULO III

Tema :

DERIVADA DIRECCIONAL Y VECTOR GRADIENTE

En el mapa del clima de la figura 1, se muestra un mapa de curvas de nivel de la funcin

temperatura ( , )T x y para los estados de California y Nevada a las 3 pm de un da de octubre.

Las curvas de nivel unen localidades con la misma temperatura. La derivada parcial xT en un

lugar como Reno es la razn de cambio de la temperatura con respecto a la distancia si viaja

hacia el este desde Reno; yT es la razn de cambio de la temperatura si viaja hacia el norte.

Pero Qu sucede si queremos saber la razn de cambio de la temperatura cuando viaja al

sureste? En esta seccin se estudia un tipo de derivada, que se denomina derivada

direccional, que permite calcular la razn de cambio de una funcin de dos o ms variables en

cualquier direccin.

La derivada direccional de en el punto x D y en la direccin de u vector

unitario de nR denotada por ( )u

D f x se define por

0

( ) ( )( ) lim

hu

f x hu f xD f x

h

,

Siempre que exista.

: nf D R R

DERIVADA DIRECCIONAL

Figura 1


A esta definicin la podemos particularizar considerando a 2D R y deseamos encontrar la

razn de cambio de ( , )z f x y en 0 0( , )x y en la direccin de un vector unitario ( , )u a b . Para

hacer esto considere la superficie S cuya ecuacin es ( , )z f x y , y 0 0 0( , )z f x y . Entonces el

punto 0 0 0( , , )P x y z queda en S. El plano vertical que pasa por P en la direccin de u corta a S

en una curva C (vase figura 2). La pendiente de la recta tangente T a C en el punto P es la

razn de cambio de z en la direccin de u.

Luego, para este caso, la definicin de derivada direccional de f en 0 0( , )x y en la direccin

de un vector unitario ( , )u a b es

0 0 0 00 0

0

( , ) ( , )( , ) lim u

h

f x ha y hb f x yD f x y

h

Si existe este lmite. Los teoremas dados a continuacin nos ayudaran a evitar el uso del

lmite.

Teorema Si : nf D es una funcin diferenciable, entonces la derivada direccional

se calcula por la frmula:

1 1 21 2

( ,... ) ......n nun

f f fD f x x u u u

x x x

. (1)

Figura 2


Teorema Si ( , )z f x y es una funcin diferenciable de ,x y , y cos u = i jsen es un vector

unitario, entonces

( , ) cosu

f fD f x y sen

x y

donde es el ngulo formado por el vector u con el eje OX .

Ejemplo 1 Calcula, la derivada direccional de la funcin 2 2( , ) 3f x y x xy en el punto (1,2)P

en la direccin que va desde el origen hacia este punto.

Solucin

2

( 1,2)

( 1,2)

2 3 14f

x yx

; ( 1,2)

(1,2)

6 12f

xyy

; adems

2 2

(1,2) 1 2,

5 51 2

vu

v

.

Por lo tanto 1 2 38

(1,2) 14 125 5 5

uD f

.

Ejemplo 2 Hallar la derivada de la funcin 3 22f ( x, y ) x xy y en el punto 1 2P( , ) y en la

direccin que va desde este punto al punto 4 6N( , )

Solucin

Sea (4,6) (1,2) (3,4) 5a PN N P a . El vector unitario es 3 4

( , ),5 5

a

a

2

( 1,2)

( 1,2)

3 1f

x yx

; ( 1,2)

(1,2)

4 9f

x yy

. Por lo tanto

3 4 33(1,2) 1 9

5 5 5uD f

.

Ejemplo 3 Suponga que la temperatura (en grados Celsius) en el punto (x,y) cerca de un

aeropuerto est dado por

1

( , ) 7400 4 9 (0.03)180

f x y x y xy

(con las distancias x y y medidas en kilmetros). Suponga que su avin despega del

aeropuerto en la ubicacin (200,200)P y se sigue al noreste en la direccin especificada por el

vector (3,4)v Cul es la tasa de cambio inicial de la temperatura que se observar?

Solucin

Como v no es un vector unitario, primero debemos reemplazarlo como uno que s lo sea y que

este en la misma direccin:


2 2

(3,4) 3 4( , )5 53 4

vu

v

Ahora utilizamos la formula (*) la cual produce

3 1 4 1

( , ) 4 (0.03) 9 (0.03) .5 180 5 180

uD f x y y x

Cuando se sustituye 200x y , se encuentra que

3 1 4 15 18( ) 0.1

5 180 5 180 180uD f P

Esta tasa instantnea de cambio -0.10C/Km significa que se observar en un inicio una

disminucin de 0.10C en la temperatura por cada kilmetro que se viaje.

Ejemplo 4 Del ejemplo anterior haciendo

1

( , ) 7400 4 9 (0.03)180

w f x y x y xy ,

(Con la temperatura expresada en grados Celsius y la distancia en kilmetros) observamos

que la derivada direccional de la funcin temperatura es

0

( ) 0.1udw C

D f Pds km

En el punto (200,200)P en direccin del vector (3,4)u . Si un avin sale del aeropuerto en P

y vuela en direccin de u con velocidad 5v ds dt km/min, entonces, la ecuacin (1)

proporciona 0 0

. 0.1 5 0.5 .min min

dw dw ds C km C

dt ds dt km

As, se observa una tasa inicial de disminucin de medio grado de temperatura por minuto.


GRADIENTE DE UNA FUNCIN

Si : nf D R R es una funcin diferenciable, entonces el gradiente de f es el vector

definido por

1 2

( ) , ,......,n

f f ff x

x x x

Interpretacin del vector gradiente

El vector gradiente f tiene una interpretacin importante que involucra el mximo valor

posible de la derivada direccional de la funcin f derivable en un punto P dado. Si es el

ngulo entre ( )f P y el vector unitario u (como se muestra en la figura),

entonces la ecuacin (1) da

( ) ( ). ( ) cos ( ) cosuD f P f P u f P u f P

porque 1u . El valor mximo posible de cos es 1, y esto se consigue cuando 0 . Es

decir, cuando u es el vector unitario particular ( ) ( )m f p f p , que apunta en direccin

del vector gradiente ( )f p la derivada direccional alcanza su mximo valor. En este caso la

frmula anterior lleva a

max ( ) ( ) uD f P f p

El cual representa el valor mximo de la derivada direccional.

Resumen:

1. 1 1 2 1 2( ,... ) ( , ,...., )( , ...... )n n nuD f x x f x x x u u u

2. El gradiente indica el sentido de crecimiento ms rpido de una funcin en un punto dado, mientras que el gradiente cambiado el signo seala la direccin de mxima

disminucin.


3. La derivada direccional tiene su valor mximo en el sentido del gradiente y coincide

con su modulo es decir ( ) max ( )u

f x D f x .

4. El valor mnimo de la derivada direccional es ( ) f x y ocurre cuando u y ( )f x

tienen direcciones opuestas (cuando cos 1 ).

Ejemplo 5 Dada la funcin 2 2

f ( x,y ) x y

a) Calcula ( )u

D f x en el punto P (1,2) en el sentido del vector que forma un ngulo de 60

con el sentido positivo del eje OX.

b) Calcula mx. ( )u

D f x

Solucin

a) 1 3

(cos60 ,sin60 ) ,2 2

u

; adems ( 1,2)

( 1,2)

2 2f

xx

;

( 1,2)

( 1,2)

2 4f

yy

, luego

1 3

( ) 2,4 , 1 2 32 2u

D f x

.

b) (1,2) (2,4)f 2 2max ( ) ( ) 2 4 2 5u

D f x f x .

Ejemplo 6 Ahora suponga que la funcin de temperatura del ejemplo 4 se reemplaza con

1

( , , ) 7400 4 9 (0.03) 2180

w f x y z x y xy z

El trmino adicional -2z corresponde a una disminucin de 20C en la temperatura por

kilometro de altitud z. Suponga que un halcn esta inmvil en el aire, en el punto P (200,

200,5) y sobre el aeropuerto desciende en forma sbita a la velocidad de 3km/min en la

direccin especificada por el vector (3,4,-12). Cul es la tasa de cambio instantnea que

experimenta el ave?

Solucin

El vector unitario en la direccin del vector (3, 4,-12) es

2 2 2

(3,4, 12) 3 4 12( , , )13 13 133 4 ( 12)

u

El vector gradiente de temperatura

1 1( ) [4 (0.03) ] [9 (0.03) ] 2

180 180f P y i x j k

Tiene el valor


10 15( ) 2

180 180f P i j k

En la posicin inicial del halcn, (200,200,5)P . Por lo tanto, la tasa de cambio de la

temperatura para el ave respecto a la distancia es:

010 3 15 4 12

( ) ( ). ( )( ) ( )( ) ( 2)( ) 1.808 .180 13 180 13 13

u

dw CD f P f P u

ds km

Su velocidad es de 3 / minds

kmdt

, por lo que la tasa de cambio temporal de la temperatura

que experimenta el halcn es

0 0

. 1.808 5 5.424 .min min

dw dw ds C km C

dt ds dt km

As, el ave se calienta inicialmente casi 5.5 grados por minuto conforme desciende hacia la

tierra.

Ejemplo 7

Del ejemplo anterior, sabemos que la funcin de temperatura es

1

( , , ) 7400 4 9 (0.03) 2180

w f x y z x y xy z

(Con la temperatura expresada en grados Celsius y la distancia en kilmetros). En qu

direccin debe descender un halcn que comienza en el punto (200,200,5)P a una altitud de 5

Km, afn de calentarse lo ms rpido? Qu tan rpido subir su temperatura conforme el ave

baje a una velocidad de 3 km/min? Cul ser la direccin de la brjula y el ngulo de

descenso conforme vuele en esa direccin particular? (Tarea)


SEMINARIO DE PROBLEMAS 1. En cada ejercicio calcular la derivada direccional de f en el punto P para el cual es un vector

unitario en la direccin de PQ .

a) ( , ) cosx yf x y e y e sen x (1,0)P , ( 3,2)Q .

b) 2 3( , ) .f x y x xy y (1,2) , (1,3)P Q .

c) ( , ) .xf x y e arctg y (0,2) , ( 2,5)P Q .

2. Calcula en cada caso, el gradiente y el valor mximo de la derivada direccional de la funcin en el

punto que se indica:

a) 2 2

( , )y

f x yx y

en el punto (1,1) b) 2

( , )x

f x yx y

en el punto (2,1)

c) ( , , ) cosxf x y z ze y en el punto (0,

4

,1) d)

2 2( , )f x y x y en el punto (2,1)

3. Dada la funcin 2 2 2( , , ) ( 1) 2( 1) 3( 2) 6f x y z x y z , encontrar la derivada

direccional de la funcin en el punto (2,0,1) en la direccin del vector 2i j k .

4. Hallar la derivada de la funcin 1

r , donde 2 2 2 2r x y z , en la direccin del gradiente.

5. Calcular la derivada de la funcin 2 2z x y en el punto (1,1)M en la direccin del vector que

forma un ngulo de 060 con el sentido positivo del eje x .

6. Encuentre las direcciones en las cuales la derivada direccional de ( , )xyf x y ye en el punto

(0,2) tiene el valor 1.

7. Encuentra la direccin y sentido en que cada una de las siguientes funciones disminuye lo ms

rpidamente posible en el punto P indicado en cada caso, y encuentra la razn de decrecimiento

en esa direccin.

a) 2 2( , ) 20 ; ( 1, 3)f x y x y P b) ( , ) ; (2,3)

xyf x y e P

c) ( , ) cos(3 ); ( , )6 4

f x y x y P

d) ( , ) ; (3,1)x y

f x y Px y

8. En una montaa la elevacin z por sobre el punto x, y en el plano XY horizontal al nivel del

mar es de 2 22000 2 4z x y pies. El eje positivo de las abscisas apunta al este y el eje positivo

de las ordenadas apunta al norte. Un alpinista se encuentra en el punto (20, 5,1100). a) Si el

alpinista utiliza una brjula para avanzar hacia el oeste, subir o bajara? Con que rapidez? b) Si

el alpinista utiliza una brjula para avanzar hacia el noreste, subir o bajara? Con que rapidez?

c) Qu direccin ha de marcar la brjula para que el alpinista avance en el mismo nivel?


9. La temperatura en un punto x, y de una placa metlica en el plano XY es 2 2

( , )1

xyT x y

x y

grados Celsius. a) Encuentra la razn de cambio de la temperatura en el punto (1,1) en la

direccin y sentido del vector (2,-1). b) Una hormiga que est en el punto (1,1) quiere caminar en

la direccin y sentido en que la temperatura disminuye ms rpidamente. Encuentra un vector

unitario en esta direccin y sentido.

10. Temperatura La temperatura en el punto ( , )x y de una placa metlica se modela mediante

2( ) 2( , ) 400 , 0 , 0x yT x y e x y

a) Utilizar un sistema computacional para graficar la funcin de distribucin de temperatura. b) Hallar las direcciones, sobre la placa en el punto (3,5) , en las que no hay cambio en el calor.

c) Hallar la direccin de mayor incremento de calor en el punto (3,5) .

11. En las cercanas de una boya, la profundidad de un lago en el punto de coordenadas ( , )x y es

2 3200 0.02 0.001z x y , donde , y x y z se miden en metros. Un pescador en un bote pequeo

parte del punto (80,60) y se dirige hacia la boya, la cual se ubica en el punto (0,0) . El agua

bajo el bote se hace ms somera o ms profunda cuando el pescador parte? Explique.

12. La temperatura T en una bola de metal es inversamente proporcional a la distancia desde el centro

de la bola, el cual se considera como el origen. La temperatura en el punto (1,2,2) es 0120 .

a) Determine la razn de cambio de T en (1,2,2) en la direccin hacia el punto (2,1,3) .

b) Demuestre que en cualquier punto en la bola la direccin de incremento ms grande de temperatura est definido por un vector que seala hacia el origen.

13. La temperatura es T grados en cualquier punto ( , , )x y z en el espacio 3R y

2 2 2

60( , , )

3T x y z

x y z

, la distancia se mide en pulgadas.

a) Encontrar la rapidez de cambio de temperatura en el punto (3, 2,2) en la direccin del

vector 2 3 6 i j k .

b) Encontrar la direccin y la magnitud de la mxima rapidez de cambio de T en (3, 2,2) .

14. La funcin ( , , )f x y z tiene en el punto (2, 3,5)P las derivadas direccionales 1

3en la direccin

al punto (0,1,9)A , 3

5 en la direccin al punto (5, 3,1)B y

1

4en la direccin al punto

(4, 2,7)C . Calcular la derivada direccional de f en la direccin al punto (1,3,6)D .


OPTIMIZACIN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

EXTREMOS ABSOLUTOS Y EXTREMOS RELATIVOS

En cursos anteriores se estudiaron las tcnicas para hallar valores extremos de una funcin de

una variable. En esta sesin se extienden estas tcnicas a funciones de dos variables. Por

ejemplo, en el Teorema siguiente se extiende el teorema de valor extremo para una funcin de

una sola variable a una funcin de dos variables.

Considrese la funcin continua f de dos variables, definida en una regin acotada cerrada R.

Los valores ),( baf y ),( dcf tales que

),(),(),( dcfyxfbaf

para todo (x, y) en R se conocen como el mnimo y mximo de f en la regin R, como se

muestra en la figura.

Figura N 4: R contiene algn(os) punto(s) donde f(x, y) es un mnimo y algn(os) punto(s)

donde f(x, y) es un mximo

Recurdese que una regin en el plano es cerrada si contiene todos sus puntos frontera. El

teorema del valor extremo se refiere a una regin en el plano que es cerrada y acotada. A una

regin en el plano se le llama acotada si es una subregin de un disco cerrado en el plano.

Teorema Teorema del valor extremo

Sea f una funcin continua de dos variables x y y definida en una regin acotada cerrada R

en el plano xy.

1. Existe por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor mnimo. 2. Existe por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor mximo.


A un mnimo tambin se le llama un mnimo absoluto y a un mximo tambin se le llama

mximo absoluto. Como en el clculo de una variable, se hace una distincin entre extremos

absolutos y extremos relativos.

Definicin Extremos relativos

Sea f una funcin definida en una regin R que contiene ),( 00 yx .

1. La funcin f tiene un mnimo relativo en ),( 00 yx si

),(),( 00 yxfyxf

para todo (x, y) en un disco abierto que contiene ),( 00 yx .

2. La funcin f tiene un mximo relativo en ),( 00 yx si

),(),( 00 yxfyxf

para todo (x, y) en un disco abierto que contiene ),( 00 yx .

Decir que f tiene un mximo relativo en ),( 00 yx significa que el punto ),,( 000 zyx es por lo

menos tan alto como todos los puntos cercanos en la grfica de ),( yxfz . De manera

similar, f tiene un mnimo relativo en ),( 00 yx si ),,( 000 zyx es por lo menos tan bajo como

todos los puntos cercanos en la grfica.

Para localizar los extremos relativos de f, se pueden investigar los puntos en los que el

gradiente de f es 0 los puntos en los cuales una de las derivadas parciales no exista. Tales

puntos se llaman puntos crticos de f.


Definicin Puntos crticos

Sea f definida en una regin abierta R que contiene ),( 00 yx . El punto ),( 00 yx es un punto

crtico de f si se satisface una de las condiciones siguientes:

1. 0),( 00 yxf x y 0),( 00 yxf y

2. ),( 00 yxf x o ),( 00 yxf y no existe.

Recurdese de la sesin anterior que si f es diferenciable y

j 0i 0

j ),(i ),(),( 000000

yxfyxfyxf yx

Entonces toda derivada direccional en ),( 00 yx debe ser 0. Esto implica que la funcin tiene

un plano tangente horizontal al punto ),( 00 yx , como se muestra en la figura

Al parecer, tal punto es una localizacin probable para un extremo relativo. Esto es ratificado

por el teorema siguiente

Teorema Los extremos relativos se presentan slo en puntos crticos

Si f tiene un extremo relativo en ),( 00 yx en una regin abierta R, entonces ),( 00 yx es un

punto crtico de f.

Ejemplo 1: Hallar los extremos relativos de 20682),( 22 yxyxyxf

Solucin

Para comenzar, encontrar los puntos crticos de f. Como


84),( xyxf x Derivada parcial con respecto a x.

y

62),( yyxf y Derivada parcial con respecto a y.

estn definidas para todo x y y, los nicos puntos crticos son aquellos en los cuales las

derivadas parciales de primer orden son 0. Para localizar estos puntos, se hacen ),( yxf x y

),( yxf y igual a 0, y se resuelven las ecuaciones

084 x y 062 y

Para obtener el punto crtico ( 2,3 ). Completando cuadrados, se concluye que para todo )3,2(),( yx

.33)3()2(2),( 22 yxyxf

Por tanto, un mnimo relativo de f se encuentra en ( 2, 3). El valor del mnimo relativo es

3)3,2( f , como se muestra en la figura.

El ejemplo 1 muestra un mnimo relativo que se presenta en un tipo de punto crtico; el tipo

en el cual ambos ),( yxf x y ),( yxf y son 0. En el siguiente ejemplo se presenta un mximo

relativo asociado al otro tipo de punto crtico; el tipo en el cual ),( yxf x o ),( yxf y no existe.


Ejemplo 2: Hallar los extremos relativos de 3/1221),( yxyxf

Solucin

Como 3/2223

2),(

yx

xyxf x

y

3/22232

),(yx

yyxf y

se sigue que ambas derivadas parciales existen para todo punto en el plano xy salvo para (0,0).

Como las derivadas parciales no pueden ser ambas 0 a menos que x y y sean 0, se concluye

que (0,0) es el nico punto crtico. En la figura siguiente se observa que )0,0(f es 1. Para

cualquier otro (x, y) es claro que

11),( 3/122 yxyxf

Por tanto, f tiene un mximo relativo en (0,0).

Observacin

En el ejemplo 2, 0),( yxf x para todo punto distinto de (0,0) en el eje y. Sin embargo, como

),( yxf y no es cero, stos no son puntos crticos. Recurdese que una de las derivadas

parciales debe no existir o las dos deben ser 0 para tener un punto crtico.


EL CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES

El teorema anterior afirma que para encontrar

extremos relativos slo se necesita examinar los

valores de ),( yxf en los puntos crticos. Sin

embargo, como sucede con una funcin de una

variable, los puntos crticos de una funcin de dos

variables no siempre son mximos o mnimos

relativos. Algunos puntos crticos dan puntos silla que

no son ni mximos relativos ni mnimos relativos.

Como ejemplo de un punto crtico que no es un

extremo relativo, considrese la superficie dada por

22),( xyyxf

Paraboloide hiperblico

que se muestra en la figura.

En el punto (0,0), ambas derivadas parciales son 0. Sin embargo, la funcin f no tiene un

extremo relativo en este punto ya que en todo disco abierto centrado en (0,0) la funcin asume

valores negativos (a lo largo del eje x) y valores positivos (a lo largo del eje y). Por tanto, el

punto (0,0,0) es un punto silla de la superficie. (El trmino punto silla viene del hecho de que la superficie mostrada en la figura se parece a una silla de montar).

En las funciones de los ejemplos 1 y 2, fue relativamente fcil determinar los extremos

relativos, porque cada una de las funciones estaba dada, o se poda expresar, en la forma de

cuadrado perfecto. Con funciones ms complicadas, los argumentos algebraicos son menos

adecuados y es mejor emplear los medios analticos presentados en el siguiente criterio de las

segundas derivadas parciales. Es el anlogo, para funciones de dos variables, del criterio de

las segundas derivadas para las funciones de una variable. La demostracin de este teorema se

deja para un curso de clculo avanzado.

Teorema Criterio de las segundas derivadas parciales

Sea f una funcin con segundas derivadas parciales continuas en una regin abierta que

contiene un punto (a, b) para el cual

0),( baf x y 0),( baf y

Para buscar los extremos relativos de f , considrese la cantidad

2),(),().,( bafbafbafd xyyyxx

1. Si 0d y 0),( baf xx , entonces f tiene un mnimo relativo en (a, b)

2. Si 0d y 0),( baf xx , entonces f tiene un mximo relativo en (a, b)

3. Si 0d , entonces )),(,,( bafba es un punto silla

4. Si 0d el criterio no lleva a ninguna conclusin.


Observacin

Si 0d , entonces ),( baf xx y ),( baf yy deben tener el mismo signo. Esto significa que

),( baf xx puede sustituirse por ),( baf yy en las dos primeras partes del criterio.

Un recurso conveniente para recordar la frmula de d en el criterio de las segundas derivadas

parciales lo da el determinante 22

),(),(

),(),(

bafbaf

bafbafd

yyyx

xyxx

Donde ),(),( bafbaf yxxy bajo ciertas condiciones.

Ejemplo 3: Identificar los extremos relativos de 124),( 23 yxyxyxf

Solucin

Para comenzar, se identifican los puntos crticos de f . Como

yxyxf x 43),(2 y yxyxf y 44),(

Existen para todo x y y, los nicos puntos crticos son aquellos

en los que ambas derivadas parciales de primer orden son 0.

Para localizar estos puntos, se igualan a 0 ),( yxf x y ),( yxf y y

se obtiene 043 2 yx y 044 yx . De la segunda

ecuacin se sabe que yx , y por sustitucin en la primera

ecuacin, se obtienen dos soluciones: 0 xy y 3/4 xy .

Como

4),( ,6),( yxfxyxf yyxx y 4),( yxf xy

se sigue que, para el punto crtico (0,0),

0160)0,0()0,0().0,0( 2 xyyyxx fffd

y, por el criterio de las segundas derivadas parciales, se puede

concluir que (0,0,1) es un punto silla. Para el punto crtico

3/4,3/4 ,

01616)4(8

)3/4,3/4()3/4,3/4().3/4,3/4(2

xyyyxx fffd

y como 08)3/4,3/4( xxf se concluye que f tiene un mximo relativo en 3/4,3/4 , como se muestra en la figura.


Con el criterio de las segundas derivadas parciales pueden no hallarse los extremos relativos

por dos razones. Si alguna de las primeras derivadas parciales no existe, no se puede aplicar el

criterio. Si

0),(),().,( 2 bafbafbafd xyyyxx

el criterio no es concluyente. En tales casos, se pueden tratar de hallar los extremos mediante

la grfica o mediante algn otro mtodo, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4: Hallar los extremos relativos de 22),( yxyxf

Solucin

Como 22),( xyyxf x y yxyxf y22),( , se sabe que ambas derivadas parciales son igual a

0 si 0x o 0y . Es decir, todo punto del eje x o del eje y es un punto crtico. Como

22),( yyxf xx ,

22),( xyxf yy y xyyxf xy 4),(

se sabe que si 0x o 0y , entonces

012164

),(),().,(

222222

2

yxyxyx

yxfyxfyxfd xyyyxx

Por tanto, el criterio de las segundas derivadas parciales no es concluyente, no funciona. Sin

embargo, como 0),( yxf para todo punto en los ejes x o y y 0),( 22 yxyxf en todos

los otros puntos, se puede concluir que cada uno de estos puntos crticos son un mnimo

absoluto, como se muestra en la figura


SEMINARIO DE PROBLEMAS

1. Identificar los extremos de la funcin reconociendo su forma dada o su forma despus de completar cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas parciales para

localizar los puntos crticos y probar si son extremos relativos.

a) 2 2

( , ) 1 3f x y x y b) 2 2

( , ) 5 3 2f x y x y

c) 2 2( , ) 1f x y x y d)

2 2( , ) 25 2f x y x y

e) 2 2( , ) 2 6 6f x y x y x y

f) 2 2( , ) 10 12 64f x y x y x y

2. Examinar la funcin para localizar los extremos relativos.

a) 164623),( 22 yxyxyxf b) 54323),( 22 yxyxyxf

c) 2810105),( 22 yxyxyxf d) 3222),( 22 xyxyxyxf

e) yxyxyxyxf 22

1),( 22 f)

22),( yxyxf

g) 2),(3/122 yxyxf

h)

22122

2

1),( yxeyxyxf

3. Examinar la funcin para localizar los extremos relativos y los puntos silla

a) 228080),( yxyxyxf b) yxyxyxf 22),(

c) 22 3),( yxyxyxf d) yxyxyxyxf 3),( 22

4. Una caja rectangular descansa en el plano xy con uno de sus vrtices en el origen. El vrtice opuesto est en el plano 24346 zyx como se muestra en la figura. Hallar

el volumen mximo de la caja.


5. Un fabricante de artculos electrnicos determina que la ganancia o beneficio P (en dlares) obtenido al producir x unidades de un reproductor de DVD y y unidades de un

grabador de DVD se aproxima mediante el modelo

10000001.0108),( 22 yxyxyxyxP

Hallar el nivel de produccin que proporciona una ganancia o beneficio mximo. Cul

es la ganancia mxima?

6. Hallar tres nmeros positivos x, y y z que satisfagan las condiciones dadas a) El producto es 27 y la suma es mnima.

b) La suma es 32 y zxyP 2 es mxima

c) La suma es 30 y la suma de los cuadrados es mnima.

d) El producto es 1 y la suma de los cuadrados es mnima.

7. Costos Un contratista de mejoras caseras est pintando las paredes y el techo de una habitacin rectangular. El volumen de la habitacin es de 668.25 pies cbicos. El costo

de pintura de pared es de $0.06 por pie cuadrado y el costo de pintura de techo es de

$0.11 por pie cuadrado. Encontrar las dimensiones de la habitacin que den por

resultado un mnimo costo para la pintura. Cul es el mnimo costo por la pintura?

8. Volumen mximo El material para construir la base de una caja abierta cuesta 1.5 veces ms por unidad de rea que el material para construir los lados. Dada una cantidad

fija de dinero C, hallar las dimensiones de la caja de mayor volumen que puede ser

fabricada.

9. Un comedero de secciones transversales en forma de trapecio se forma doblando los extremos de una lmina de aluminio de 30 pulgadas de ancho (ver la figura). Hallar la

seccin transversal de rea mxima.

10. Costo mnimo Hay que construir un conducto para agua desde el punto P al punto S y debe atravesar regiones donde los costos de construccin difieren (ver figura). El costo

por kilmetro en dlares es 3k de P a Q, 2k de Q a R y k de R a S. Hallar x y y tales que

el costo total C se minimice.

Date post:	17-Sep-2015
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Semana N° 3

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