13/11/2013

1

STATISTIK INDUSTRI 1

Agustina Eunike, ST., MT., MBA

Distribusi Peluang Kontinyu

Distribusi Peluang Kontinyu

• Rata-rata dan Variansi

– Rumus Umum:

UNIFORM Distribusi Peluang Diskrit dan Kontinyu

Distribusi Diskrit Uniform

Distribution Random Variable X

Possible Values of X

Distribution Function

Fx(a) = P(X=a)

Mean E(X)

Uniform Realization of 𝑥1 , 𝑥2 ,… , 𝑥𝑛

𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 1/𝑛

𝑏:𝑎2

Distribusi Diskrit Uniform

• Contoh: – Suatu bacth produk terdiri dari nomor serial, dengan

nomor urut pertama terdiri dari 0 sampai dengan 9. Jika salah satu produk diambil secara acak, maka X adalah munculnya nomor serial dengan angka pertama tersebut masing-masing nomor (R={0,1,2,...,9) memiliki peluang 0,1.

𝑓 𝑥 =1

10= 0,1

𝜇 = (9:0)2 <4,5

𝜎2 = (9;0:1)2;112

<8,25

13/11/2013

2

Distribusi Kontinyu Uniform Distribusi Kontinyu Uniform

• Contoh: – Variabel acak kontinyu menotasikan pengukuran arus pada

kawat tembaga dalam miliamper. Jika diketahui bahwa f(x)=0,05 untuk 0 ≤ x ≤ 20. Berapakah peluang pengukuran arus berada antara 5 dan 10 mA.

– 𝑃 5 < 𝑋 < 10 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 5 0,05 = 0,2510

5

– Rata-rata dan Variansi distribusi uniform arus kawat tembaga: a=0, b=20 • 𝜇 = 𝐸 𝑋 = (0+20)

2= 10𝑚𝐴

• 𝜎2 = 𝑉 𝑋 = (20−0)2

12= 33,33 𝑚𝐴

• 𝜎 = 5,77 𝑚𝐴

NORMAL Distribusi Peluang Kontinyu

Distribusi Normal

• Gaussian distribution (Karl Friedrich Gauss, 1777-1855)

• Bell-shaped curve

• Probability density function:

– 𝑛 𝑥; 𝜇, 𝜎 = 1

2𝜋𝜎𝑒−

1

2𝜎2(𝑥−𝜇)2,

– −∞ < 𝑥 < ∞

– 𝜋 = 3,14159 …

– 𝑒 = 2,71828 …

Distribusi Normal Distribusi Normal • Area dalam Kurva Normal

13/11/2013

3

Distribusi Normal • Area dalam Kurva Normal

Distribusi Normal

• Standard Distribusi Normal:

– Kurva normal yang telah di-standarisasi dan menggambarkan nilai standar deviasi dari nilai rata-rata.

– 𝑀𝑒𝑎𝑛 = 0, 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠𝑖 = 1. 𝑁(0,1). – 𝑍: 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑎𝑛 = 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠𝑖 = 1

𝑍 =𝑋 − 𝜇

𝜎

𝑧1 =𝑥1 − 𝜇

𝜎

𝑧2 =𝑥2 − 𝜇

𝜎

Distribusi Normal Distribusi Normal • Menggunakan Tabel

Distribusi Normal Standar

Distribusi Normal • Contoh Soal

– Suatu perusahaan generator menghitung berat salah satu komponennya. Berat komponen tersebut berdistribusi normal dengan rata-rata 35 gram, dan standard deviasi 9 gram.

1. Hitung probabilitas bahwa satu komponen yang diambil secara acak akan memiliki berat antara 35 dan 40 gram?

2. Berapa peluang pengambilan acak satu komponen dengan berat paling ringan 50 gram?

• JAWAB:

1. 𝐏 𝟑𝟓 ≤ 𝐱 ≤ 𝟒𝟎 :

– 𝑥 = 40 𝑔𝑟𝑎𝑚,

𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝜎=

40 − 35

9= 0,56, 𝑃 𝑍 ≤ 0,56 = 0,7123

– 𝑥 = 35 𝑔𝑟𝑎𝑚,

𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝜎=

35 − 35

9= 0, 𝑃 𝑍 ≤ 0 = 0,5

– 𝑃 35 ≤ 𝑥 ≤ 40 = 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 0,56 = 0,7123 − 0,5 = 0,2123

Distribusi Normal • Contoh Soal

13/11/2013

4

Distribusi Normal

• Latihan Soal:

– Nilai ujian fisika di sebuah kelas terdistribusi secara normal dengan rata-rata 60 dan standar deviasi 10. Berapa persen siswa yang memperoleh nilai antara 60 dan 70?

Distribusi Normal • Menghitung nilai 𝑥

𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝜎, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥 = 𝑧𝜎 + 𝜇

• Contoh:

– Diketahui suatu distribusi normal dengan 𝜇 = 40 dan 𝜎 = 6. Carilah nilai 𝑥, yang memiliki:

a. 45% area dari sisi kiri

b. 14% area dari sisi kanan

Jawab:

a. 𝑃 𝑍 ≤ 𝑧 = 0.45, 𝑧 = −0,13 𝑥 = 6 −0,13 + 40 = 39,22

Distribusi Normal

• Latihan Soal:

– Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian berdistribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ?

Distribusi Normal

• Central Limit Theory

• Menyelesaikan permasalahan binomial dengan distribusi normal

GAMMA Distribusi Peluang Kontinyu

• Diaplikasikan pada masalah antrian dan masalah keandalan (reliabilitas).

• Time / space occuring until a specified number of Poisson events occur

• Fungsi gamma:

• Properti fungsi gamma:

Distribusi Gamma

13/11/2013

5

• Fungsi distribusi gamma:

– 𝛽:𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛

– 𝛼: 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑏𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑢𝑡𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢/𝑟𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢

– λ: 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢/𝑟𝑢𝑎𝑛𝑔 (λ = 1/𝛽)

– 𝑥: 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 (lama waktu atau luasan area hingga kejadian berikutnya)

Distribusi Gamma

𝛼: 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘; 𝛽: 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 𝑠𝑘𝑎𝑙𝑎

Distribusi Gamma • Rata-rata dan Variansi:

• Jika 𝑋1 dan 𝑋2 adalah variabel acak yang independen, dan 𝑋1~ 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 (𝛼1, 𝛽); 𝑋2~ 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 (𝛼2, 𝛽), maka 𝑋1 +𝑋2~ 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 (𝛼1 + 𝛼2, 𝛽)

• Sehingga, jika 𝑋𝑖~ 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝛼𝑖 , 𝛽 , 𝑓𝑜𝑟 𝑖 =1, … , 𝑘, maka (𝑋1 +⋯+ 𝑋𝑘)~ 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 (𝛼1 +⋯+ 𝛼𝑘 , 𝛽)

EKSPONENSIAL Distribusi Peluang Kontinyu

Distribusi Eksponensial • Bentuk khusus dari distribusi peluang gamma (𝛼 = 1)

• Time to arrival or time to first poisson event problems

• Diaplikasikan pada permasalahan waktu antar kedatangan pada fasilitas jasa, life time / waktu kegagalan komponen, survival time, dan waktu respon komputer

Distribusi Eksponensial

• Eksponensial menganut proses Poisson (λ: laju kedatangan)

• 𝑋~𝐸𝑥𝑝 λ :

𝑃 𝑋 ≥ 𝑎 = λ𝑒;λ𝑥 𝑑𝑥∞

𝑎

= 𝑒;λ𝑎

𝜇 =1

λ; 𝜎2 = 1/λ2

– λ = 1/𝛽

• Karakter penting: memoryless property

– Pada permasalahan life time (hingga terjadi break down / failure / kerusakan), misal life time dari lampu, TV, kulkas

• Kerusakan yang diakibatkan oleh pemakaian berkala (misal

pemakaian mesin), tidak berlaku distirbusi eksponensial. Lebih tepat menggunakan distribusi GAMMA atau distribusi WEIBULL

13/11/2013

6

Contoh: Gamma Contoh: Gamma

Contoh: Gamma • Dari Tabel:

Contoh: Eksponensial • Jumlah telpon masuk pada nomor darurat 119 pada suatu kota diketahui

berdistribusi Poisson dengan rata-rata 10 telpon per jam. Jika saat ini dilakukan pengamatan, berapakah peluang telpon masuk terjadi paling cepat 5 menit dari sekarang?

– 𝜆 = 10 𝑡𝑒𝑙𝑝𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟 𝑗𝑎𝑚 = 10/60 𝑡𝑒𝑙𝑝𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡

– 𝛽 = 1/λ = 6 menit per telpon

– 𝑃 𝑋 ≥ 𝑎 = 𝑒;λ𝑎

– 𝑃 𝑋 ≥ 5 = 𝑒;(1

6)(5) = 2,71828;0,833 = 0,4347

X = menit antar telp ke 119

Rangkuman

Distributions with Parameters

Possible Values of X Density Function 𝒇 𝒙

Normal (𝜇, 𝜎2) −∞ < 𝑋 < ∞ 1

2𝜋𝜎𝑒−

12𝜎2(𝑥−𝜇)2

Exponential (λ) 0 < 𝑋 λ𝑒;λ𝑥

Gamma (𝛼, 𝛽) 0 < 𝑋 1

Γ(𝛼)𝛽𝛼𝑥𝛼;1𝑒;𝑥/𝛽

Note:

𝑃(𝑥) = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 CHI-SQUARED Distribusi Peluang Kontinyu

13/11/2013

7

Distribusi Chi-Squared

• Distribusi gamma dengan α = ν/2 dan 𝛽 = 2 • ν: degrees of freedom (derajat kebebasan), positive integer

• Density Function:

𝑓 𝑥; ν = 1

2ν/2Γ(ν/2)𝑥(ν/2);1𝑒;𝑥/2, 𝑥 > 0

0, 𝑒𝑙𝑠𝑒𝑤𝑕𝑒𝑟𝑒

• Mean dan Variansi:

𝜇 = ν dan 𝜎2 = 2ν

Distribusi Chi-Squared

• Di suatu kota, pemakaian tenaga listrik harian dalam jutaan kilowatt-jam, variabel acak 𝑋 berdistribusi gamma dengan 𝜇 = 6 dan 𝜎2 = 12. a. Cari nilai 𝛼 dan 𝛽 b. Cari peluang suatu hari tertentu pemakaian harian tenaga listrik

akan melebihi 12 juta kilowatt-jam

• Jawab: a. α = ν/2, ν = μ = 6, α =

6

2= 3, 𝛽 = 2

b. P X > 12 = 1 − 1

23

1

Γ 3𝑥2𝑒

−𝑥2

12

0

P X > 12 = 1 − 1Γ 3

𝑦2𝑒−𝑦

6

0

P X > 12 = 1 − F 6; 3 = 1 − 0.9380 = 0.0620

BETA Distribusi Peluang Kontinyu

Distribusi Beta • Pengembangan dari distribusi uniform • Distribusi kontiyu yang fleksibel tetapi terbatas pada suatu range

tertentu. Misal: proporsi radiasi matahari yang diserap oleh suatu material, waktu maksimal untuk menyelesaikan suatu proyek

• Fungsi Beta:

𝐵 𝛼,𝛽 = 𝑥𝛼;1(1 − 𝑥)𝛽;1𝑑𝑥 =Γ(𝛼)Γ(𝛽)

Γ(𝛼 + 𝛽), 𝑓𝑜𝑟 𝛼, 𝛽 > 0

1

0

Dengan parameter: 𝛼 > 0, 𝛽 > 0

• Density Function:

𝑓 𝑥; ν = 1

𝐵(𝛼,𝛽)𝑥𝛼;1(1 − 𝑥)𝛽;1, 0 < 𝑥 < 1

0, 𝑒𝑙𝑠𝑒𝑤𝑕𝑒𝑟𝑒

– Catatan: distribusi uniform (0,1) adalah distribusi beta dengan parameter 𝛼 = 1, 𝛽 = 1

• 𝛼 = 𝛽, distribusi beta akan berbentuk simetris

Distribusi Beta Distribusi Beta • Mean dan Variansi:

𝜇 =𝛼

𝛼:𝛽 dan 𝜎2 =

𝛼𝛽

𝛼:𝛽 2 𝛼:𝛽:1

– Modus:

𝜇 =𝛼 − 1

𝛼 + 𝛽 − 2

– Distribusi uniform (0,1), mean dan variansi:

𝜇 =1

1:1=

1

2 dan 𝜎2 =

(1)(1)

1:1 2 1:1:1=

1

12

13/11/2013

8

Distribusi Beta

• Jika diketahui waktu maksimum penyelesaian suatu proyek berdistribusi beta dengan 𝛼 = 3, dan 𝛽 = 1. a. Berapakah peluang waktu penyelesaian melebihi 0.7?

b. Berapa rata-rata dan variansi distribusi tersebut?

• Jawab:

a. P X > 0.7 = Γ(α:β)

Γ(α)Γ(β)xα;1(1 − x)β;11

0.7

P X > 0.7 = Γ(4)

Γ(3)Γ(1)x2(1 − x)0

1

0.7

P X > 0.7 = 246

13𝑥3

10.7

= 4 ∗ 0.219 = 0.876

b. Rata − rata = 0.75; Variansi = 0.0375

Referensi

• Montgomery, D.C., Runger, G.C., Applied Statistic and Probability for Engineers, 5th ed, John Wiley & Sons, Inc., NJ, 2011

• Walpole, Ronald B., Myers, Raymond H., Myers, Sharon L., Ye, Keying, Probability & Statistics for Engineers and Scientist, 9th ed, Prentice Hall Int., New Jersey, 2012.

• Weiers, R.M., 2011, Introduction to Business Statistics, Cengage Learning, OH, 2008.