Semana 8 DPI

8/17/2019 Semana 8 DPI

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SESIÓN°. 8:

PROCESAMIENTO, YTRATAMIENTO ESTADÍSTICO DEDATOSDocente:

Dr. Ing. Jhonny Valverde Flores [email protected]

www.ucv.edu.pe

CURSO: DESARROLLO DE

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN

mailto:[email protected]




Capacidad a lograr

Aplica el procesamiento y tratamientoestadístico de sus datos.



Contenido

1. El diseño experimental.2. La prueba de hipótesis.

3. Pruebas de hipótesis de las medias de muestrasgrandes4. Pruebas de hipótesis de las medias de muestras

pequeñas.



1. EL DISEÑO EXPERIMENTAL

El Diseño es una etapa fundamental de laexperimentación, Experimentación comprendetoda investigación científica que se realiza por larepetición del mismo. El diseño comprende laforma de aplicar los tratamientos a las unidadesexperimentales. Mediante un modelo estadístico

se cuantifica la variación debido a factorescontrolables y no controlables.



Donde:Unidades experimentales: (personas, elementos físicos,···)Factor: Variable controlable por el experimentador (Niveles del factor otratamientos)Variable de interés: Variable Respuesta.Error experimental o perturbación: Variables no controlables por elexperimentador.Tamaño del experimento: número total de observaciones.



Ejemplos:

Una compañía algodonera que emplea diversosfertilizantes desea comprobar si éstos tienen efectosdiferentes sobre el rendimiento de la semilla de algodón.

Una profesora de estadística que imparte en gruposexperimentales de alumnos, en los que explica la mismamateria pero siguiendo distintos métodos de enseñanza,desea comprobar si el método de enseñanza utilizadoinfluye en las calificaciones de los alumnos.

Una industria química, que obtiene un determinadoproducto, está interesada en comprobar si los cambiosde temperatura influyen en la cantidad de productoobtenido.



INTERÉS: Un solo factor con varios

niveles o tratamientos.TÉCNICA ESTADÍSTICA: Análisis de la Varianza de un factor o una vía.OBJETIVO: Comparar entre sí varios

grupos o tratamientos.MÉTODO: Descomposición de la

variabilidad total de un experimento encomponentes independientes.



OTROS FACTORES QUE INFLUYEN

Pequeñas variaciones en la cantidad de riego, en lapureza de los insecticidas suministrados, etc. El nivel cultural del alumno, el grado de atención y de

interés del alumno, etc.

La pureza de la materia prima, la habilidad de losoperarios, etc.Teóricamente es posible dividir esta variabilidad en dos

partes, la originada por el factor de interés y la

producida por los restantes factores que entran en juego, conocidos o no, controlables o no, que recibe elnombre de perturbación o error experimental.



Prueba estadística y

naturaleza de los datos

Datos de escala Prueba estadística

Nominal PruebaOrdinal no-paramétrica

De intervalo Prueba no-paramétrica yDe razón paramétrica



Pruebas estadísticas

Hay dos clases de pruebasestadísticas

Las pruebas paramétricas yLas pruebas no paramétricas.



Características comunes delas pruebas paramétricas

1. Independencia de las observaciones a excepción de datos pareados.2. Las observaciones para la variable dependiente se han obtenido demanera aleatoria de una población con distribución normal.

3. La variable dependiente es medida al menos en una escala deintervalo.

4. Se recomienda un tamaño de muestra mínimo de 30 sujetos por grupo.5. Los datos son obtenidos de poblaciones que tienen varianzas iguales

(una varianza no debe ser el doble o mayor que la otra).6. Habitualmente las hipótesis se hacen sobre valores numéricos,

especialmente el promedio de una población (µ), como ejemplo:

Ho: µ1 = µ2H1 : µ1 ≠ µ2

7. Otros posibles requisitos: variable independiente nominal o de intervalo,homocedasticidad (para cada nivel de la variable independiente hay

una variación similar de la variable dependiente) y casillas de igualtamaño.



Características comunes delas pruebas no paramétricas.

1. Independencia de las observaciones aleatorias aexcepción de datos pareados.

2. Pocas asunciones con respecto a la distribución de lapoblación.

3. La variable dependiente es medida en escalacategórica.

4. El punto primario es el ordenamiento por rangos o porfrecuencias.

5. Las hipótesis se hacen sobre rangos, mediana ofrecuencias de los datos.

6. El tamaño de muestra requerido es menor (20 o <).



¿CUANDO APLICAR UNA PRUEBA

DE HIPOTESIS PARAMETRICA?

Cuando se cumple las siguientes características: Permiten contrastar hipótesis referidas a algún

parámetro (promedio, varianza, proporción, coeficientes

de regresión, etc.) Exigen el cumplimiento de determinados supuestos

sobre las poblaciones originales de las que se extraenlos datos (normalidad, homocedasticidad, etc.).

Analizan datos obtenidos con una escala de medida deintervalo o razón.

Cuando al menos 1 de las características no se cumple, se aplica

Prueba de Hipotesis No Parametrica



MÉTODOS O PRUEBAS ESTADÍSTICAS

PARAMÉTRICAS MÁS UTILIZADAS

Coeficiente de correlación de Pearson y regresión lineal.

Prueba t. Prueba de contraste de las diferencias de proporciones. Análisis de varianza unidireccional (ANOVA en un solo sentido o oneway) Análisis de Varianza factorial (ANOVA)

Análisis de covarianza (ANCOVA)Otra lista de pruebas paramétricas: Prueba del valor Z de la distribución normal Prueba T de Student para datos relacionados (muestras dependientes) Prueba T de Student para datos no relacionados (muestras independientes) Prueba T de Student-Welch para dos muestras independientes con

varianzas no homogéneas Prueba de ji cuadrada de Bartlett para demostrar la homogeneidad de

varianzas

Prueba F (análisis de varianza o ANOVA)



2. PRUEBA DE HIPÓTESIS

DEFINICIONES PRELIMINARES:

HIPÓTESIS: Es una respuesta a priori a un problema.HIPÓTESIS ESTADÍSTICA: En un enunciado acercadel valor de un parámetro poblacional.

PRUEBA DE HIPOTESIS: Es un procedimiento

basado en la información muestral y en la teoría deprobabilidad, para determinar si una hipótesisestadística debe ser aceptada o rechazada.

Dr. Ing. Jhonny Valverde Flores



CLASES DE HIPOTESIS:

HIPOTESIS NULA.Se denota por Ho.Es una afirmación o enunciado tentativo que se realiza

acerca del valor de un parámetro poblacional.

Por lo común es una afirmación acerca del parámetro depoblación cuando toma un valor específico.

HIPOTESIS ALTERNATIVA.Se denota por H1.Es una afirmación o enunciado contraria a la presentada en

la hipótesis nula.




Prueba de Hipótesis

Trata de responder a la pregunta: ¿es elparámetro poblacional igual a ciertovalor específico?Se compone de cinco partes:Hipótesis NulaHipótesis AlternativaRegión de RechazoEstadística de PruebaConclusión



Prueba de hipótesis de la mediapoblacional (μ)

2.1. Hipótesis Nula (H0):

Afirma el valor conocido del parámetro:

μ0 es el valor conocido del parámetropoblacional.

H 0 0:



2.2. Hipótesis Alternativa(Ha):

Es la hipótesis que propone elinvestigador a partir de la evidenciamuestral.

Generalmente contradice lo que afirmala Hipótesis Nula.



2.2. Hipótesis Alternativa (Ha):

Puede tomar una de las siguientes tresformas:

i. cuando > μ0 (unilateral)ii. cuando < μ0 (unilateral)

iii. en cualquier caso (bilateral)

X H H

H

a

a

a

:

:

:

0

0

0

X



2.3. Región de Rechazo:

Es una región en la distribución deprobabilidad del estimador muestral,en nuestro caso utilizamos ladistribución Normal Estándar.

Se ubica en concordancia con lahipótesis alternativa seleccionada:

i. Cola derechaii. Cola izquierdaiii. Ambas colas




La región de rechazo está delimitada porel valor teórico correspondiente a ladistribución de probabilidad delestimador.Para la prueba de media poblacional,

con muestra grande (n≥30), utilizamos

la distribución Normal Estándar.




En Excel utilizamos la función:DISTR.NORM.ESTAND.INV

con probabilidad de:i. Cola derecha: 1-αii. Cola izquierda: 1-α

iii. Ambas colas: α /2 A este valor de Z le llamamos “teórico”



0

0 . 0 5

0 . 1

0 . 1 5

0 . 2

0 . 2 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1

1-α

α

2.3. Región de Rechazo (i)



0

0 . 0 5

0 . 1

0 . 1 5

0 . 2

0 . 2 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1

1-α

α

2.3. Región de Rechazo (ii)



0

0 . 0 5

0 . 1

0 . 1 5

0 . 2

0 . 2 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1

1-α

α/2 α/2

2.3. Región de Rechazo (iii)



2.4. Estadística de Prueba:

Se utiliza un estadístico construido apartir del estimador (se transforma elestimador) para tomar una decisión

sobre la veracidad de la HipótesisNula



2.4. Estadística de Prueba:

En esta prueba para la media, seestandariza el valor de paraubicarlo en la distribución Normal

Estándar:

Esta es la Z “calculada”

X

n

-XZ



2.5. Conclusión

si el valor de Z calculada cae dentro de la región derechazo delimitada por la Z teórica, se Rechaza lahipótesis nula (H0). Esto significa que lo más probablees que la hipótesis alternativa sea cierta.

si el valor de Z calculada NO cae dentro de la regiónde rechazo delimitada por la Z teórica, No se Rechazala hipótesis nula (H0). Lo que significa que es muyprobable que la hipótesis nula sea cierta.

x

x z



OTRAS PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Prueba de

Hipótesis para

Hipótesis

nula

Hipótesis

alternativa

Región de

Rechazo

Estadística

de PruebaHa: μ > μ 0 N o r m a l Z ( 1 - α )

H a : μ < μ 0 N o r m a l Z ( α )

M e d i a

p o b l a c i o n a l ( μ )

( n ≥ 3 0 )

H o : μ = μ 0

H a : μ ≠ μ 0 Normal Z (α /2)

Z =

nσ

μX 0

H a : μ > μ 0 + t c o n n - 1 , ( 2 α )

H a : μ < μ

0

- t c o n n - 1 , ( 2 α )

M e d i a

p o b l a c i o n a l ( μ )

( n < 3 0 )

H o : μ = μ 0

H a : μ ≠ μ 0 t con n-1, (α)

t =

nS

μX 0

H a : p > p 0 N o r m a l Z ( 1 - α )

H a : p < p 0 N o r m a l Z ( α )

Proporciónp o b l a c i o n a l ( p )

H o : p = p 0

H a : p ≠ p 0 Normal Z (α /2)

Z =

n

qp

pp

00

0ˆ

H a : σ

2 > σ

2

0

2

con n-1, (α)H a : σ

2 < σ

2

0

2 con n-1,(1-α)

V a r i a n z a

p o b l a c i o n a l

( σ

2)

H o : σ

2= σ

2

0

H a : σ

2 ≠ σ

2

0

2 con n-1,(1-α/2)

y

2 con n-1,(α/2)

2 = 20

2

σS1n



a Hipótesis

La suposición que se desea probar, se denomina hipótesis nula y se representapor H0. Si se rechaza la hipótesis nula, la conclusión que debemos aceptar sellama hipótesis alternativa y se simboliza por H1.

Supongamos que se quiere probar la hipótesis de que el promedio de calificaciónde los alumnos de cierta Universidad es de 8.5, entonces:

H0 : = 8.5 Establece que la media de la población es igual a 8.5

La hipótesis alternativa se puede interpretar de tres maneras:

H1 : 8.5 Establece que la media de la población no es igual a 8.5.H1 :

8.5 Establece que la media de la población es mayor que 8.5.H1 : 8.5 Establece que la media de la población es menor que 8.5.

La prueba de hipótesis tiene como finalidad emitir un juicio sobre la diferencia

que existe entre el valor calculado del estadístico muestral y el parámetrosupuesto de la población. No consiste en poner en duda el valor calculadodel estadístico muestral.

Después de formular las hipótesis nula y alternativa, se debe decidir el criterioque se va a aplicar para aceptar o rechazar la primera.



b Nivel de significancia

Supongamos que la media de calificaciones delejemplo anterior de 8.5, se expresa con un nivelde confianza del 95%, entonces el nivel de

significancia será de 0.05, es decir: = 1 – 0.95Entonces: = 0.05 Que representa el nivel de

significancia.Se puede comprender mejor observando lagráfica siguiente:





El nivel de significancia está repartido en las zonas derechazo, 0.025 + 0.025 = 0.05, significa que existeuna diferencia significativa entre el estadístico de lamuestra y el supuesto parámetro de la población, esdecir, que si esto se demuestra, se rechaza la hipótesis

nula H0 de que el promedio de la población sea de 8.5y se acepta la hipótesis alternativa H1.

Entonces se concluiría que el promedio de lascalificaciones de la población, no es de 8.5, puede ser

diferente, mayor o menor de 8.5.El nivel de significancia representa la zona de rechazo dela hipótesis nula y el nivel de confianza de la zona deaceptación.



c Selección de un nivel de significancia

No hay un nivel de significancia que sea oficial ouniversal con el cual probar las hipótesis. Perola elección del criterio mínimo de unaprobabilidad aceptable, o nivel de significancia,es asimismo el riesgo que se corre de rechazaruna hipótesis nula aunque sea verdadera.Cuando más alto sea el nivel de significanciaque utilizamos al probar una hipótesis, mayores

probabilidades habrá de rechazar una hipótesisnula que sea verdadera.



d Errores de tipo I y II

Si se rechaza una hipótesis nula que sea verdadera es un error de tipoI, y su probabilidad se representa con . Si se acepta una hipótesisnula que sea falsa se llama error de tipo II, y su probabilidad serepresenta con . La probabilidad de cometer uno de estos erroresse reduce si se aumenta la probabilidad de incurrir en otro tipo deerror. A fin de conseguir una baja, habremos de conformarnos conuna alta. Para sortear esto en situaciones personales yprofesionales, los encargados de tomar decisiones eligen el nivelapropiado de significancia examinando los costos o castigos queconllevan a ambos tipos de error.

Por ejemplo: supóngase que el cometer un error de tipo I implica eltiempo y el trabajo de reelaborar un lote de sustancias químicas que

debería haber sido aceptado. En cambio, el incurrir en un error detipo II significa correr el riesgo de que se envenene un grupo enterode usuarios de la sustancia. La gerencia de esta compañía preferiríael error de tipo I al de tipo II y, en consecuencia, estableceríaniveles muy elevados de significancia en sus pruebas para conseguir bajas.



Tipos de Error

Resultado de

la Prueba:

Hipótesis

Nula

Verdadera

Hipótesis Nula

Falsa

Rechazo laHipótesis

Nula

ERROR TIPO I CORRECTO

No rechazo laHipótesis

Nula

CORRECTO ERROR TIPO II



e Pasos para seleccionar la

distribución correcta

1.- Se define el nivel de significancia a usar.2.- Determinar la distribución adecuada de

probabilidad: puede ser la distribución normal o

la distribución t. Las reglas para elegir ladistribución apropiada al efectuar pruebas delas medias son:

a. Si la muestra tomada es mayor de 30

(muestras grandes), debe elegirse ladistribución normal (Z).b. Si la muestra tomada es igual o menor que

30 (muestras pequeñas), debe elegirse la

distribución t.



3. PRUEBA DE HIPÓTESIS DE

LAS MEDIAS DE MUESTRAS

GRANDES

Realizaremos algunos ejemplos, endiferentes condiciones cuando seconocen las desviaciones

estándar de la población.



a Prueba de dos extremos para las

medias

Es cuando el nivel de significancia (zona de

rechazo) abarca los dos extremos o colasde la campana de Gauss.



Ejemplo 1.-

El fabricante de una llanta especial para camiones afirmaque la duración media de la parte rodante de agarre esde 60,000 mi. La desviación estándar de los millajes esde 5,000 mi. Una empresa de transportes compró 48

llantas y halló que la duración media para sus vehículosfue de 59,500 mi. ¿Es la experiencia distinta de laexpresada por el fabricante al nivel de significación de0.05?

= 60,000 mi

= 5,000 miDatos: n = 48 llantas= 59,500 mi

= 0.05 x



Solución:

Las hipótesis se expresan de la siguiente manera:

H0 : = 60,000 mi La duración de las llantas es de 60,000 millasH1 : 60,000 mi La duración de las llantas es distinta a 60,000

millas

Primero, vamos a calcular el error estándar de la media y para elloemplearemos la expresión del error estándar:

n

x

Sustituyendo valores en ella, se tiene:

mi x x x 69.7219282.6

000,5

48

000,5



Segundo paso, vamos a obtener el valor de “Z” y para ello

vamos a apoyarnos en la gráfica siguiente:



Recurrimos a las tablas de la distribución normal y en ellas localizamos0.475, que se ubica en un valor de Z = 1.96En el tercer paso, vamos a determinar los límites superior einferior de confianza para el intervalo de la media poblacional ya

que se trata de una prueba de dos extremos. Para ello aplicaremosla expresión siguiente:

x

Sustituyendo valores en ella, se tiene:

Lc = 60,000 1.96 (721.69)

Ls = 60,000 + 1,414.51 Ls = 61,414.51 millas.

Li = 60,000 – 1,414.51 Li = 58,585.49 millas

Entonces la media de la población fluctúa entre58,585.49 y 61,414.51 millas en un nivel deconfianza del 95%.

x Z Lc H 0

á í



Regresemos a la gráfica anterior para ubicar los límites deconfianza y la media muestral. Con ello analizaremos si seacepta la hipótesis nula además de verificar si es verdadera ofalsa.



La media muestral se ubica dentro de la zona de aceptación, por loque podemos decir que la hipótesis nula es verdadera, perovamos a verificar está aseveración por medio de la expresiónsiguiente:

x

x Z

x Z

Z

693.069.721

000,60500,59

Entonces la media muestral se ubica en -0.693 y se confirma que cae

en la zona de aceptación.

Concluimos que la duración media de las llantas es muy cercana ala que afirma el fabricante de 60,000 millas, con un nivel designificancia de 0.05. Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula.

x



b Prueba de un extremo para las

medias

En este caso, el nivel de significancia (zonade rechazo) sólo abarca un extremo o colade la campana de Gauss.



Ejemplo 2.-

Una cadena de restaurantes afirma que el tiempo medio deespera de clientes por atender está distribuido normalmentecon una media de 3 minutos y una desviación estándar de 1minuto. Su departamento de aseguramiento de la calidad hallóen una muestra de 50 clientes en un cierto establecimientoque el tiempo medio de espera era de 2.75 minutos. Al nivelde significación de 0.05, ¿Es dicho tiempo menor de 3minutos?

= 3 minutos. = 1minutos.

Datos: n = 50 clientes.= 2.75 minutos. = 0.05 x



Representemos estos datos en la campana de Gauss:

Las hipótesis son:

Ho : = 3 El tiempo promedio de espera es de 3 minutos.

H1 : 3 El tiempo promedio de espera es menor de 3 minutos.

P i l l l tá d d l di



Primero calculemos el error estándar de la media:

Ahora determinemos el valor de Z, ya que tenemos una muestramayor de 30:

Como = 0.05 y es una prueba de hipótesis para un extremo, en estecaso, el extremo izquierdo, entonces, el nivel de significancia estácontenido en este extremo, por lo que el nivel de confianza es 0.5 –

0.05 = 0.45 .Buscando en las tablas de la distribución normal 0.45, encontramosque: Z= 1.64

El límite izquierdo del intervalo de confianza será:

L i = 3 – 1.64 (0.1414)L i = 3 – 0.2319Li = 2.768

Gráficamente esto se representa así:

1414.007.7

1

50

1 x x x

x



L di t l 2 75 l li l d h



La media muestral 2.75, se localiza en la zona de rechazo,por lo que se puede establecer que se rechaza lahipótesis nula y se acepta la alternativa.

Comprobemos con :

x

x Z

x Z Z Z 77.1

1414.0

25.0

1414.0

375.2

Como podemos observar 1.77 está localizado más hacia la

izquierda del límite de confianza 1.64.

Podemos concluir que el tiempo medio de espera de clientespor atender en este establecimiento es menor de 3minutos. Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula.



Ahora realizaremos un ejemplo cuando sedesconoce la desviación estándar de

la población.



Ejemplo 3.-

Una cadena grande de tiendas de autoservicio, expidesu propia tarjeta de crédito. El gerente de créditodesea averiguar si el saldo insoluto medio mensuales mayor que 400 dólares. El nivel de significación sefija en 0.05. Una revisión aleatoria de 172 saldosinsolutos reveló que la media muestral es 407dólares y la desviación estándar de la muestra es 38

dólares. ¿Debería concluir ese funcionario que lamedia poblacional es mayor que 400 dólares, o esrazonable suponer que la diferencia de 7 dólares(obtenida de 407- 400 = 7) se debe al azar?

= 400 dólares.

n = 172 saldos insolutos.Datos: = 407 dólares.s = = 38 dólares (desviación estándar

estimada). = 0.05

x ̂



Las hipótesis son:Ho :

= 400 dólares.

H1 : 400 dólares.Debido a que la hipótesis alternativa nosindica un sentido a la derecha de la

media, debemos aplicar una prueba deuna cola. Veamos la gráfica:



Si calculamos el error estándar estimados tenemos que:



Si calculamos el error estándar estimados, tenemos que:

n x

ˆˆ

897.2ˆ

115.13

38ˆ

172

38ˆ x x x

Si leemos en las tablas de la distribución normal 0.45,encontramos que: Z = 1.64

Determinando el límite superior del intervalo de confianza, se

tiene:

Ls = 400 + 1.64 (2.897)Ls = 404.75 dólares.

Gráficamente esto ocurre:

x ̂



C b d



Comprobando con:

x

x Z

ˆ

x Z Z Z ˆ416.2897.2

7

897.2

400407

Con esto comprobamos que el valor de la mediamuestral, cae dentro de la zona de rechazo, por lo

que se rechaza la hipótesis nula y se acepta laalternativa.

Con esto el gerente de crédito debe concluir que elsaldo insoluto medio mensuales es mayor que400 dólares.



4. PRUEBAS DE

HIPOTESIS DE LAS

MEDIAS DE MUESTRAS

PEQUEÑAS.



a Prueba de dos extremos para

medias

Mediante el siguiente ejemplo explicaremosel razonamiento a seguir para demostrar

una prueba de hipótesis de dos extremoscon una muestra menor a 30, en dondeaplicaremos la distribución t.



Ejemplo 1.-

Un especialista en personal que labora en una gran corporación, estáreclutando un vasto número de empleados para un trabajo en elextranjero. Durante la realización de pruebas, la gerencia preguntacómo marchan las cosas y el especialista contesta: “Bien, creo quela puntuación promedio en el test de actitudes será 90” . Cuando la

gerencia revisa 20 de los resultados de la prueba, averigua que lapuntuación media es 84 y la desviación estándar de estapuntuación es 11. Si la gerencia quiere probar la hipótesis delespecialista en personal en el nivel de significancia de 0.10, ¿cuálserá el procedimiento a que recurra?

= 90

n = 2 0Datos: = 84s = = 1 1 = 0.10

x

Las hipótesis son:



pHo: = 90’’

H1 : 90’’

El error estándar estimado de la media será:

46.2ˆ

472.411ˆ

2011ˆ

ˆˆ x x x

n x

En la tabla t de Student se localiza = 0.10, (donde: iz=

0.05 y der= 0.05 y gl = 20 – 1, o sea gl = 19 y se

encuentra que: t = 1.729

Con estos datos ya podemos determinar los limites superior

e inferior del intervalo de confianza, mediante la

expresión:

x ̂

xt Lc ˆ

Lc = 90” 1.729 (2.46) Ls = 90” + 4.246 Ls = 94.25”Li = 90” – 1.729 (2.46) Li = 90” – 4.246 Li = 85.75”

Gráficamente esto sucede:



Tabla: Distribución t Student




Como la media muestral cae en la zona de rechazo, entonces se rechaza lahipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa.

Concluimos que la gerencia tiene suficientes evidencias parademostrar que el especialista está equivocado, que lapuntuación media no es 90.



b Prueba de un extremo para medias

Para este caso, ya sabemos que el nivel designificancia (zona de rechazo) sólo

abarca un extremo o cola de la campanade Gauss.



Ejemplo 2.-

Una persona tomó una muestra aleatoria de 7 casas en unsuburbio muy elegante de una gran ciudad y encontróque el valor promedio estimado del mercado era de$560,000, con una desviación estándar de $49,000.Pruebe la hipótesis de que, para todas las casas delárea, el valor medio estimado es de $600,000, contra laalternativa de que sea menor que $600,000. Use elnivel de significancia de 0.05.

n = 7 casas= $560,000

Datos: s = = $49,000 = $600,000 = 0.05

x ̂ x

Las hipótesis son:



Ho : = $600,000H1 : $600,000Calculando el error estimado de la muestra, se tiene que:

52.518,18$ˆ

646.2000,49ˆ

7000,49ˆ

ˆˆ x x x

n x

Sabemos que el nivel de significancia es de 0.05, para una cola, por lo que se supone,

que si fuera una prueba para dos colas, cada una tendría 0.05, es decir, el nivel de

significancia = 0.10. Por lo tanto 0.10 es el valor que debemos localizar en la

tabla correspondiente de la distribución t de Student, con 6 grados de libertad (7 – 1).

Encontramos entonces que t = 1.943

Con estos datos, ya podemos determinar el límite inferior del intervalo de confianza en

donde se encuentra la verdadera media de la población.

x ̂

xt Li ˆ

Li = 600,000 – 1.943 (18,518.52) Li = $564,018.52

En la campana de Gauss:



Tabla: Distribución t Student




Como la media muestral cae la zona de rechazo, entonces se



,rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa.

Comprobando lo anterior, se tiene que:

Podemos concluir que el valor medio estimado del valorde todas las casas es menor de $600,000.

x Z Z Z 16.252.518,18

000,40

52.518,18

000,600000,560



PRUEBA DE HIPOTESIS PARA

PROPORCIONES

a) Prueba de dos extremos paraproporciones.

La prueba de hipótesis para proporciones,tiene algunas variantes en lademostración de las hipótesis respecto ala prueba de hipótesis de medias,

variantes que se irán explicando conformese vayan aplicando.



Ejemplo 1.-

Una compañía que está evaluando la promovibilidad de susempleados; es decir, está determinando la proporción deaquellos cuya habilidad, preparación y experiencia en lasupervisión los clasifica para un ascenso a niveles superiores dela jerarquía. El director de recursos humanos le dice alpresidente que el 80%,o sea el 0.8, de los empleados son “promovibles” . El presidente crea un comité especial para

valorar la promovibilidad de todo el personal. El comité realizaentrevistas en profundidad con 150 empleados y en su juicio seda cuenta que sólo el 70% de la muestra llena los requisitos dela promoción. El presidente quiere probar, en un nivel designificancia de 0.05, la hipótesis de que 0.8 de los empleadospueden ser promovidos.

p = 0.8q=0 . 2Datos: n = 150

= 0.7= 0.3

= 0.05

p

q



Las hipótesis son:Ho : p = 0.8 80% de los empleados son

promovibles.

H1 : p 0.8 La proporción de empleadospromovibles no es 80%.Primero calculamos el error estándar de la proporción,

mediante la siguiente expresión:

n

q p H H 00

Sustituyendo valores:

0327.00010666.0150

)2)(.8(. p p p

En este caso, la compañía quiere saber si la verdadera



, p qproporción es mayor o menor que la supuesta proporción.Por consiguiente, es apropiada una prueba de dosextremos para una proporción. El nivel de significancia

corresponde a las dos regiones sombreadas, cada una delas cuales contiene 0.025 del área. La región deaceptación de 0.95 se ilustra como dos áreas de 0.475cada una. Puesto que la muestra es mayor que 30,podemos recurrir la distribución normal. Basándonos enla tabla de ésta distribución, podemos calcular que elvalor correspondiente de Z para 0.475 del área bajo lacurva es 1.96 . Por tanto, los limites de la región deaceptación son:

Lc = PH0 ZLc = 0.8 1.96(0.0327)

Ls = 0.8 + 0.06409 Ls = 0.8641Li = 0.8 – 0.06409 Li = 0.7359

Viéndolo en la campana de Gauss:



La probabilidad de la muestra = 0 7 se p



La probabilidad de la muestra = 0.7, selocaliza en la zona de rechazo, por lo que serechaza la hipótesis nula y se acepta la

alternativa. Vamos a demostrarlo:

p

p Z Z Z 058.30327.0

1.0

0327.0

8.07.0

Podemos concluir que existe una diferenciasignificativa entre la supuesta proporción deempleados promovibles comunicada por eldirector de recursos humanos y la observada enla muestra, la proporción de toda la compañíano es del 80%.

b Prueba de un extremo para



proporciones

Ejemplo 2.- Un artículo reciente en el periódico Reformareportó que un empleado está disponible sólo para que unode tres egresados universitarios con grado. Las principalesrazones aportadas fueron que existe una sobreabundanciade graduados de universidad y una economía débil.Suponga que una encuesta con 200 graduados recientes dela institución de usted, revela que 80 estudiantes teníanempleo. Al nivel de significancia de 0.02, ¿se puedeconcluir que una proporción mayor de estudiantesegresados tienen trabajo?

p = 0.8

q = 0.2

Datos: n = 150

= 0.7

= 0.3

= 0.05

p

q

Las hipótesis son:



Las hipótesis son:Ho : p = 0.3333H1 : p 0.3333

Calcularemos primero el error estándar de laproporción:

n

q p p

Ho Ho

Sustituyendo valores:

0333.00011.200

2222.0

200

)6667.0()3333.0( p p p p

En este caso, se quiere saber si la verdadera proporción es mayor que lat ió P i i t i d b d



supuesta proporción. Por consiguiente, es apropiada una prueba deun extremo para una proporción. El nivel de significancia correspondea la región derecha de rechazo. La región de aceptación de 0.98 seilustra como un área de 0.5 y otra de 0.48 como la muestra es mayor

de 30, podemos recurrir a la distribución normal. Basándonos en latabla de de esta distribución el valor correspondiente de Z, para 0.48del área bajo la curva es 2.05, por tanto, el límite de la región deaceptación es:

Ls = 0.3333 + 2.05 (0.0333) Ls = 0.3333 + 0.068265 Ls =0.4016

Como = 0.4, y es menor que 0.4016, se localiza en la zona deaceptación, entonces, se acepta la hipótesis nula.Demostrando lo anterior se tiene:

p

p

p p Z

p Z Z Z 003.20333.0

0667.0

0333.0

3333.04.0

En la campana de Gauss:



Concluimos que no es mayor la proporción de estudiantesegresados que tienen trabajo.



C Prueba de hipótesis para proporciones

de muestras pequeñas.

Si usamos la distribución t para una prueba hipótesis paraproporciones en muestras pequeñas, de dos colas, seguimos elmismo procedimiento que se utilizó en la prueba para medias demuestras pequeñas.

Lo mismo sucede si se trata de una prueba de un extremo,

recordando que, para obtener el valor apropiado de t en un nivel designificancia de 0.05 con 10 grados de libertad, buscaremos en latabla de la distribución t bajo la columna 0.10, frente al renglón 10grados de libertad. Esto es verdad porque la columna 0.10 delárea bajo la curva contenida en ambos extremoscombinados; por ello también representa 0.05 del área bajola curva contenida en cada uno de los extremos. Por estarazón en lugar de buscar en la columna 0.05, se busca 0.10.



PRUEBAS NO PARAMÉTRICA

Para realizar análisis no paramétricos, debe partirse de lassiguientes consideraciones:

• La mayoría de estos análisis no requieren de supuestos

acerca de la forma de la distribución poblacional. Aceptan distribuciones no normales.• Las variables no necesariamente deben estar medidas

en un nivel por intervalo o de razón, pueden analizar

datos nominales u ordinales.• Si se quieren aplicar análisis no paramétrica a datos porintervalos o razón, éstos deben ser resumidos acategorías discretas (a unas cuantas). Las variablesdeben ser categorías.

MÉTODOS O PRUEBAS ESTADÍSTICAS NO



PARAMÉTRICAS MÁS UTILIZADAS

Las principales pruebas no paramétricas son las siguientes:Prueba de chi-cuadradoPrueba binomialPrueba de Anderson-DarlingPrueba de CochranPrueba de Cohen kappaPrueba de Fisher

Prueba de FriedmanPrueba de KendallPrueba de Kolmogórov-SmirnovPrueba de Kruskal-WallisPrueba de KuiperPrueba de Mann-Whitney o prueba de WilcoxonPrueba de McNemarPrueba de la medianaPrueba de Siegel-TukeyCoeficiente de correlación de SpearmanPrueba de Wald-Wolfowitz

Prueba de los signos de Wilcoxon

Distribución Ji-Cuadrada o



Chi-cuadrada o X

Es una prueba útil para variables categóricas yestadística, es aplicable cuando la variablenominal está compuesto por dos o más

categorías. Tiene dos aplicaciones:1. La prueba de bondad de ajuste Chi-cuadrada.2. La prueba Chi-cuadrada de asociación.

Ambas pruebas se utilizan para determinar si lasfrecuencias observadas (O) en las categoríasdifieren significativamente de las frecuenciasesperadas (E).

Es una prueba estadística para evaluar hipótesis acerca de la



p p p

relación entre dos variables categóricas.

Símbolo: X

2

Hipótesis a probar: Correlaciones

Variables

involucradas:

Dos variables (la prueba Chi-cuadrada no

considera relaciones causales).Nivel de medición de

las variables

Nominal u ordinal (o intervalos o razón reducidasa ordinales)

Procedimiento La Chi-cuadrada se calcula por medio de unatabla de contingencia o tabulación cruzada, quees una tabla de dos dimensiones y cadadimensión contiene una variable. A su vez, cadavariable se subdivide en dos o más categorías.

CARACTERÍSTICAS



Total de Fila x Total de ColumnaF. Esperada=

Total General

CARACTERÍSTICAS1. La Distribución X2 se lee con grados de libertad G.L =

(Nº de filas - 1)(Nº de columnas - 1).

2. No tiene valores negativos. El valor mínimo es 0.3. Todas las curvas son asimétricas4. Cuando aumentan los grados de libertad las curvas son

menos elevadas y más extendidas a la derecha.

5. Se utiliza para variables medidas en escala nominal uordinal.6. Las fórmulas son:

Ejemplo 1. Estudio de Tabla de contingencia 3x2:S di 1040 di d l i l d d ió



Se estudia a 1040 estudiantes de los niveles de educaciónprimaria y secundaria y a los cuales se aplica un instrumentoque mide el aprendizaje de la matemática, en las dimensionesde aprendizaje conceptual, procedimental y actitudinal. Variables: APRENDIZAJE categorías: Conceptual, Procedimental, Actitudinal.NIVEL DE EDUCACIÓN categorías: Primaria, Secundaria.

NIVEL DE EDUCACIÓN

Primaria Secundaria

APRENDIZAJEConceptual

Procedimental

Actitudinal

180 100

190 280

170 120

TABLA DE CONTINGENCIA

Tabla de frecuencias observadas (O):



NIVEL DE EDUCACIÓN TOTAL

Primaria Secundaria

APRENDIZAJEConceptual

Procedimental

Actitudinal

180 100 280

190 280 470

170 120 290

TOTAL 540 500 1040

La Chi-cuadrada es una comparación entre las tablas de

frecuencias observadas y la denominada tabla defrecuencias esperadas (la tabla que esperaríamos encontrar

si las variables fueran estadísticamente independientes o no

estuvieran relacionadas).

Tabla de frecuencias esperadas (E):



La frecuencia esperada de cada celda, casilla o recuadro, se calcula

mediante la siguiente fórmula aplicada a la tabla de frecuencias

observadas: N = es el número total de frecuencias observadas.

E = (marginal del reglón)(marginal de columna) / N.

NIVEL DE EDUCACIÓN

Marginalde filas

Primaria Secundaria

APRENDIZAJE

Conceptual

Procedimental

Actitudinal

(280)(540)/1040 (280)(500)/1040 280

(470)(540)/1040 (470)( 500)/1040 470

(290)(540)/1040 (290)(500)/1040 290

marginal de columnas 540 500 1040

Frecuencia observada:




Primaria Secundaria

APRENDIZ AJE

Conceptual

Procedimental

Actitudinal

145,4 134,6 280

244,0 226,0 470

150,6 139,4 290

TOTAL 540 500 1040


Primaria secundaria

APRENDIZAJE

Conceptual

Procedimental

Actitudinal

180 100 280

190 280 470

170 120 290

TOTAL 540 500 1040

Frecuencia esperada:

Donde:

O: frecuencia observada

en cada celda

E: frecuencia esperada

en cada celda

E

E O X

2

2



Celda O E O-E (O-E)2 (O-E)2 / E

Conceptual/Primaria 180 145,4 34,6 1197,16 8,23

Procedimental/ Primaria 190 244,4 -54,4 2959,36 12,11

Actitudinal / Primaria 170 150,6 19,4 376,36 2,50

Conceptual / Secundaria 100 134,6 -34,6 1197,16 8,69

Procedimental /Secundaria 280 226,0 54,0 2916,00 12,80

Actitudinal / Secundaria 120 139,4 -19,4 376,36 2,70X2 = 47,33

Para saber si el valor de X2 es o no significativo, debemos calcular

los grados de libertad.

G.L. = (Nº de filas - 1)(Nº de columnas - 1).

Para el ejemplo: Nº de filas = 3 y Nº de columnas = 2; entonces



j p y ;

G.L. = (3-1)(2-1) = 2.

Luego, acudimos a la “tabla de distribución de Chi-cuadrado”,eligiendo nuestro nivel de confianza ( = 0,05 ó = 0,01).

Si el valor obtenido de X2 es igual o superior al valor de la “tabla”,

decimos que las variables están relacionadas o no son

independientes.

Aplicación:

Para el nivel de confianza de =0,05 y g.l. = 2, el X2 de tabla es

5,9915 (ver tabla).X2

Obtenido = 47,33

X2Crítico = 5,9915



Prueba de hipótesis:



p

H0: No existe relación entre el aprendizaje y los

niveles de educación.

H1: Existe relación entre el aprendizaje y niveles deeducación.

X2obtenido X2

crítico entonces variables no sonindependientes; es decir existe una relación entre Aprendizaje y los niveles educativos

X2obtenido X2

crítico entonces se rechaza lahipótesis nula (H0), y por lo tanto se acepta la hipótesisalterna (H1).



Establezca la Ho a ser probada; por ejemplo,

Ho: 1 = 2 = 0,5

Especifique el nivel de significancia α, por ejemplo: α = 0.5

Haga una tabla de frecuencias obtenidasDeduzca las frecuencias esperadas a partir de Ho:

Calcule el grado de libertad: Producto de (categorías - 1)Calcule el valor de X2 a partir de las frecuencias obtenidas yfrecuencias esperadas.Mediante la tabla de X2 obtenga el valor teórico.Compara dichos valores.

Establezca la conclusión con respecto a Ho:Retenga Ho si valor de tabla > Valor calculado.Retenga Ho si valor de tabla < Valor calculado.

Paso Nº 1

Paso Nº 2

Paso Nº 3

Paso Nº 4



REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ARIAS, F. Metodología de Investigación. México: Trillas.2007

BUENDÍA, L., González, D. y Llorente, T. Temas

fundamentales en la Investigación Educativa.Madrid:La Muralla. 2004 HERNÁNDEZ, R., Fernández, C. y Baptista, P.

Metodología de la Investigación. (5. ª ed.). México: McGraw-Hill. 2010.

SÁNCHEZ, H. y Reyes, C. Metodología y diseños en lainvestigación científica. (4ª ed.). Lima: VisiónUniversitaria. 2006




Trabajo individual

Presentar:

Avance del desarrollodel proyecto deinvestigación.



GRACIAS

Docente:Dr. Ing. Jhonny Valverde Flores

[email protected]



Date post:	06-Jul-2018
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